2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 知识点一　两条直线平行 1．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　) A．l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8) B．l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，l2平行于x轴，且不经过点P C．l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5) D．l1的一个方向向量为(1，1)，l2的倾斜角为 答案　BC 解析　对于A，由题意得kAB＝＝2，所以l1与l2平行或重合，故A不满足题意；对于B，由题意得kPQ＝＝0，因为l2平行于x轴，且不经过点P，所以l1∥l2，故B满足题意；对于C，由题意得kMN＝＝，kRS＝＝，kMR＝＝－1，所以l1∥l2，故C满足题意；对于D，直线l1的斜率为＝1，直线l2的斜率为tan＝，所以l1与l2不平行，故D不满足题意．故选BC. [名师点拨]　在判断两条直线平行时，要注意区分平行与重合，因为两条直线重合也可以推出两条直线的斜率相等． 2．过点A(4，a)，B(5，b)的直线与直线l平行，又直线l的斜率为1，则a与b满足(　　) A．b－a＝1 B．a－b＝1 C．b＋a＝1 D．b＋a＝－1 答案　A 解析　依题意，直线AB与l平行，且直线l的斜率为1，故kAB＝＝1，所以b－a＝1.故选A. 3．过A(m，3)，B(－1，m)两点的直线与直线l平行，直线l的倾斜角为45°，则m＝________． 答案　1 解析　因为直线l的倾斜角为45°，所以直线l的斜率k＝tan45°＝1，过A(m，3)，B(－1，m)两点的直线的斜率kAB＝，又直线AB与直线l平行，所以＝1，解得m＝1. 知识点二　两条直线垂直 4．已知过A(m，1)，B(－1，m)两点的直线与过P(1，2)，Q(－5，0)两点的直线垂直，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　D 解析　由题意可知kPQ＝＝，∴kAB＝＝－3，解得m＝－2.故选D. 5．(2023·济南一中高二期中)已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝________． 答案　1或3 解析　∵k1＝，l1⊥l2，∴直线l2的斜率存在．∴kAB＝＝－，又l1⊥l2，∴－·＝－1，解得a＝1或a＝3. 6．已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解　若∠A为直角，则AC⊥AB， ∴kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC， ∴kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC， ∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 知识点三　平行与垂直的应用 7．已知点A(2，0)，B(1，－1)，C(3，3)，在坐标平面内找一点P，使PA∥CB且PC⊥AB. 解　kCB＝＝2，kAB＝＝1， ∴直线PA和PC的斜率存在且不为0， 设点P的坐标为(x，y)， 则kPA＝，kPC＝. 又PA∥CB且PC⊥AB， ∴∴ ∴点P的坐标为. 8．已知四边形ABCD的四个顶点是A(2，2＋2)，B(－2，2)，C(0，2－2)，D(4，2)，求证：四边形ABCD为矩形． 证明　因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在， 所以kAB＝＝， kBC＝＝－， kCD＝＝， kAD＝＝－， 所以kAB＝kCD，kBC＝kAD， 所以AB∥CD，BC∥AD， 所以四边形ABCD为平行四边形． 又kAB·kBC＝×(－)＝－1， 所以四边形ABCD为矩形． [规律方法]　使用斜率公式判定两条直线垂直的步骤 一看：看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步． 二代：将点的坐标代入斜率公式． 三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应注意对参数进行讨论． 一、选择题 1．(2023·长沙一中高二期中)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点A为直角顶点的直角三角形 D．以点B为直角顶点的直角三角形 答案　C 解析　kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝＝，因为kABkAC＝－1，所以AB⊥AC，所以三角形是以点A为直角顶点的直角三角形． 2．已知点A(0，1)，B(4，2)，若点P在坐标轴上，则满足PA⊥PB的点P的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　当点P在x轴上时，设其坐标为P(x，0)，当x＝0或4时，PA与PB不垂直．由PA⊥PB可得×＝－1，即x2－4x＋2＝0，由于Δ＝(－4)2－4×1×2＝8>0，故方程有两解，有两个点符合题意；当点P在y轴上时，PA的斜率不存在，则PB的斜率为0，故点P的坐标为(0，2)．综上可知，满足PA⊥PB的点P的个数是3. 3．过点与点(7，0)的直线l1，过点(2，1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为(　　) A．3 B．－3 C．－6 D．6 答案　A 解析　由题意知l1⊥l2，所以kl1kl2＝－1，即·＝－1，解得k＝3.故选A. 4．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　) A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)＝0 D．|b－a3|＋＝0 答案　C 解析　显然∠O不能为直角(否则得a＝0，不能组成三角形)．若∠A为直角，则根据点A，B的纵坐标相等，得b－a3＝0；若∠B为直角，则利用kOBkAB＝－1，得b－a3－＝0.所以可得(b－a3)＝0. 5．[多选](2024·山西临汾高二校考阶段练习)下列各对直线不互相平行的是(　　) A．直线l1经过点A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过点M(－1，3)，N(2，0) B．直线l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，直线l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2) C．直线l1经过点A(1，2)，B(1，3)，直线l2经过点C(1，－1)，D(1，4) D．直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1，－1)，N(3，2) 答案　BCD 解析　对于A，因为kl1＝＝－1，kl2＝＝－1，kAN＝＝－≠kl1，所以l1∥l2；对于B，因为kl1＝＝2，kl2＝＝－，所以直线l1，l2不平行；对于C，由直线l1经过点A(1，2)，B(1，3)，直线l2经过点C(1，－1)，D(1，4)，得直线l1，l2的斜率都不存在，且两直线重合；对于D，因为直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，所以直线l1的斜率不存在，而kl2＝＝，所以直线l1，l2不平行． 二、填空题 6．若直线l过点A(－2，1)，B(a，2)，且直线l与y轴平行，则a＝________． 答案　－2 解析　因为直线l过点A(－2，1)，B(a，2)，且直线l与y轴平行，所以直线l与x轴垂直，故A，B的横坐标相等，则a＝－2. 7．(2023·辽宁抚顺六校高二期末)已知△ABC的三个顶点分别是A(2，3)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________，直线DC的斜率为________． 答案　3　2 解析　由题意得AD⊥BC，则有kADkBC＝－1，所以·＝－1，解得m＝3，所以D(3，1)，故直线DC的斜率为＝2. 8．已知直线l1的斜率是－，直线l2过点A(－1，－2)，B(x，6)，且l1⊥l2，则logx＝________． 答案　－ 解析　∵l1⊥l2，∴－×＝－1，解得x＝3，∴logx＝log3＝－. 三、解答题 9.如图，在▱OABC中，O为坐标原点，点C(1，3)． (1)求OC所在直线的斜率； (2)过点C作CD⊥AB于点D，求直线CD的斜率． 解　(1)∵点O(0，0)，C(1，3)， ∴OC所在直线的斜率kOC＝＝3. (2)在▱OABC中，AB∥OC. ∵CD⊥AB，∴CD⊥OC， ∴kOC·kCD＝－1， ∴kCD＝＝－. 故直线CD的斜率为－. 10．已知点A，B，C(2－2a，1)，D(－a，0)．求当a为何值时，直线AB与CD： (1)平行？ (2)垂直？ 解　(1)∵直线AB与CD平行，直线AB的斜率存在， ∴直线CD的斜率存在，且kAB＝kCD. ∵kAB＝＝－， kCD＝＝(a≠2)． ∴－＝，即a2－2a－3＝0. ∴a＝3或a＝－1. 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB， ∴AB与CD平行； 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝， ∴AB与CD重合． 综上，当a＝3时，直线AB与CD平行． (2)当直线CD的斜率存在时， ∵直线AB与CD垂直， ∴－·＝－1，解得a＝； 当直线CD的斜率不存在时，a＝2， ∴kAB＝－， ∴直线AB与CD不垂直． 综上，当a＝时，直线AB与CD垂直． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$