2.1.1 倾斜角与斜率-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 知识点一　直线的倾斜角 1．给出下列说法： ①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝，则α＝45°. 其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　任意一条直线有唯一的倾斜角，故①正确；直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，故②错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故③错误；④中α＝0°时，sinα＝0，故④错误；⑤中α有可能为135°，故⑤错误．故选A. 2．已知直线l过点(m，1)，(m＋1，1－tanα)，则(　　) A．α一定是直线l的倾斜角 B．α一定不是直线l的倾斜角 C．180°－α不一定是直线l的倾斜角 D．180°－α一定是直线l的倾斜角 答案　C 解析　设θ为直线l的倾斜角，则tanθ＝＝－tanα.当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－，此时θ＝150°.比较各选项可知选C. 知识点二　直线的斜率 3．已知直线l1的斜率为，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　D 解析　直线l1的斜率为，设直线l1的倾斜角为α，则tanα＝，所以α＝60°，所以直线l2的倾斜角为2α＝120°，斜率为tan120°＝－. 4．[多选]下列叙述正确的是(　　) A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应 C．与y轴垂直的直线的斜率为0 D．与x轴垂直的直线的斜率不存在 答案　ACD 解析　每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率，故A正确，B错误；垂直于y轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0，故C正确；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故D正确．故选ACD. 知识点三　斜率公式的应用 5．(1)求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率： ①A(－2，1)，B(2，－3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)． (2)(2023·山东潍坊高二期末)已知直线l的一个方向向量为(1，)，求直线l的倾斜角． (3)[易错题]已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围． (4)(2024·岳阳一中高二月考)若过两点A(3－n－n2，－2n)，B(n2＋2，3－n2)的直线的倾斜角为135°，求n的值． 解　(1)①∵A(－2，1)，B(2，－3)， ∴kAB＝＝＝－1， ∴直线AB的倾斜角为135°. ②∵A(3，2)，B(5，2)，∴kAB＝＝0， ∴直线AB的倾斜角为0°. ③∵A(3，－1)，B(3，3)， ∴直线AB的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l的倾斜角为θ，0°≤θ＜180°，由题意得tanθ＝， ∴θ＝60°. (3)设直线l的斜率为k，倾斜角为α， 当m＝2时，A(2，1)，B(2，3)． 直线AB的倾斜角为90°，斜率k不存在； 当m＞2时，k＝＝＞0， 此时直线l的倾斜角为锐角，即0°<α<90°； 当m＜2时，k＝＝＜0， 此时直线l的倾斜角为钝角，即90°<α<180°. [易错分析]　本题容易忽略斜率不存在的情况． (4)依题意可得，直线的斜率为－1，又直线过两点A(3－n－n2，－2n)，B(n2＋2，3－n2)，即＝－1. 整理，得＝1，且2n2＋n－1≠0. 解得n＝－2. 知识点四　三点共线问题 6．若A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则＋＝________． 答案　－ 解析　由题意得kAC＝kBC，即＝，ab＋2(a＋b)＝0，故＋＝－. [名师点拨]　用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中任意两点的连线的斜率是否存在．当任意两点的连线的斜率不存在时，则三点横坐标相等，三点共线．当任意两点连线的斜率存在时，只要斜率相等，则三点共线． 一、选择题 1．已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(　　) A．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案　D 解析　因为直线l的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜195°. 2．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1.故选B. 3．若直线l的斜率为k，且二次函数y＝x2－2kx＋1的图象与x轴没有交点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．{α|0°<α<90°} B．{α|135°<α<180°} C．{α|0°≤α<45°或135°<α<180°} D．{α|0°≤α<180°} 答案　C 解析　由二次函数y＝x2－2kx＋1的图象与x轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<45°或135°<α<180°}．故选C. 4．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k满足(　　) A．k≥或k≤－4 B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ D．≤k≤4 答案　A 解析　如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB.①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤kPA.②直线l与线段AB的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为锐角，斜率的范围是k≥kPB.因为kPA＝＝－4，kPB＝＝，所以直线l的斜率k满足k≥或k≤－4. 5．[多选]如图所示，已知四条直线l1，l2，l3，l4的斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，则下列关系正确的是(　　) A．k2<k1<k4<k3 B．k3<k2<k1<k4 C．α2<α1<α4<α3 D．α3<α2<α1<α4 答案　BC 解析　直线l1，l2，l3，l4的斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，由倾斜角的定义知0<α1<α4<，α3>，α2＝0，∴α2<α1<α4<α3，故C正确，D错误；由k＝tanα，知k2＝0，k3<0，0<k1<k4，∴k3<k2<k1<k4，故A错误，B正确．故选BC. 二、填空题 6．已知M(2m，m＋1)，N(m－2，1)，则当m＝________时，直线MN的倾斜角为直角． 答案　－2 解析　若直线MN的倾斜角为直角，则2m＝m－2，解得m＝－2. 7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为________． 答案　(1，－5) 解析　设点P的坐标为(x，y)，则解得即点P的坐标为(1，－5)． 8．若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线斜率不存在，则实数a＝________；若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 答案　　 解析　若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线斜率不存在，则1－a＝2a，故a＝.若直线PQ的倾斜角为钝角，则直线PQ的斜率k＝＝<0，解得a<. 三、解答题 9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P，使得直线PA的倾斜角为60°，求点P的坐标． 解　①当点P在x轴上时，设点P(a，0)． ∵A(1，2)，∴kPA＝＝. 又直线PA的倾斜角为60°， ∴＝，解得a＝1－， ∴点P的坐标为. ②当点P在y轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b＝2－， ∴点P的坐标为(0，2－)． 综上，点P的坐标为或(0，2－)． 10．已知点M(x，y)在函数y＝－x＋3的图象上，当1≤x≤3且x≠2时，求的取值范围． 解　的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率． 因为点M在函数y＝－x＋3的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，其中A，B. 由于kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$