1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 知识点一　点到直线的距离、相互平行的,直线之间的距离) 1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，N为BB1的中点，则点N到直线AC1的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　如图，连接AN，以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，1)，C1(1，1，0)，N，所以＝(1，1，－1)，取a＝＝，u＝＝(1，1，－1)，则a2＝，a·u＝.所以点N到直线AC1的距离为＝. [规律方法]　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)设点到直线的距离为d，根据勾股定理可得d＝. 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，若CC1的中点为E，CD的中点为F，则直线AB1与EF的距离为________． 答案　 解析　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∴A(0，0，0)，B1(1，0，3)，＝(1，0，3)．∵E，F分别为CC1，CD的中点，∴E，F，＝，则有＝－2，∴∥，即AB1∥EF，∴点F到直线AB1的距离即为直线AB1与EF的距离，连接AF，∵＝，∴点F到直线AB1的距离为d＝＝＝.∴直线AB1与EF的距离为. 知识点二　点到平面的距离 3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)．因为O为A1C1的中点，所以O，＝.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(1，0，1)，所以点O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝. 4．(2024·武汉一中高二月考)在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，O是AD的中点，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，则点D到平面ABC的距离为________，点O到平面ABC的距离为________． 答案　　 解析　如图所示，以AD的中点O为原点，OD，OC所在直线分别为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，D，∴＝，＝，＝.设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则∴y＝－x，z＝－x，取x＝－，则y＝1，z＝3，∴n＝(－，1，3)，代入d＝，得d＝＝，即点D到平面ABC的距离是.∵O是AD的中点，∴点O到平面ABC的距离是×＝. [规律方法]　利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量． (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量． (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． 5.如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，则点B到平面FEG的距离为________． 答案　 解析　以C为原点，CD，CB，CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则G(0，0，2)，B(0，4，0)，A(4，4，0)，D(4，0，0)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，故＝(4，2，－2)，＝(2，4，－2)． 设n0＝(x，y，z)是平面FEG的单位法向量， 则有即取z>0， 得x＝y＝，z＝， ∴n0＝(1，1，3)，连接GB，则＝(0，4，－2)， ∴d＝|n0·|＝＝， 即点B到平面FEG的距离为. 知识点三　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离) 6.如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． 解　易得A1B1∥平面ABE.如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)． 过点C作AB的垂线交AB于点F， 易得BF＝，则AB＝2， ∴B(1，2，0)，∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)． 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)． ∵＝(0，0，2)， ∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离， ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 7.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点．求： (1)直线MN与平面OCD的距离； (2)平面MNR与平面OCD的距离． 解　(1)∵OA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形， ∴AB，AD，AO两两垂直， 以A为原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)，R(0，1，0)， ∵M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD， ∵MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD， ∴MR∥平面OCD， ∵底面ABCD是正方形，R，N分别为AD，BC的中点， ∴RN∥CD， ∵RN⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴RN∥平面OCD， ∵MR∩RN＝R，MR，RN⊂平面MNR， ∴平面MNR∥平面OCD， ∵MN⊂平面MNR，∴MN∥平面OCD， 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(2，0，0)，＝(0，－2，2)， 则取y＝1，可得n＝(0，1，1)，＝(0，1，0)， ∴直线MN与平面OCD的距离为d1＝＝＝. (2)∵平面MNR∥平面OCD， ∴平面MNR与平面OCD的距离为d2＝＝＝. [名师点拨]　相互平行的直线与平面之间的距离、相互平行的平面与平面之间的距离都可以转化为点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解． 一、选择题 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　) A．a B． C． D． 答案　D 解析　解法一：连接BD，AC交于点O(图略)，连接D1O，则D1O＝＝为所求． 解法二：如图，建立空间直角坐标系，易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)，取a＝＝(－a，0，2a)，u＝＝，则点D1到直线AC的距离为＝＝. 2．(2023·河北邯郸高二统考期末)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，AB＝，BD＝PB＝2，则△PCD的重心到平面PAD的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设AC与BD交于点O，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(－2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，－1，2)，＝(－2，1，0)，＝(2，1，－2)．设平面PAD的法向量为m＝(x，y，z)，则令x＝1，得m＝(1，2，2)．因为△PCD的重心G的坐标为，即，所以＝，故点G到平面PAD的距离为＝.故选C. 3．(2023·山东潍坊高二统考期中)已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为(　　) A．0 B． C． D． 答案　B 解析　如图，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，1，2)，M(1，0，0)，N(0，2，1)，所以＝(1，1，2)，＝(－1，2，1)，＝(－2，2，0)，设平面EMN的法向量为m＝(x，y，z)，则 令x＝1，可得m＝(1，1，－1)，所以·m＝0，即⊥m，又AC⊄平面EMN，所以AC∥平面EMN，故点A到平面EMN的距离即为直线AC与平面EMN之间的距离，又＝(1，0，0)，所以点A到平面EMN的距离为＝＝，即直线AC与平面EMN之间的距离为.故选B. 4．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1之间的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M，N，C(0，1，0)，∴＝(－1，0，1)，＝.∴＝，又直线AD1与MN不重合， ∴MN∥AD1，又MN⊄平面ACD1，∴MN∥平面ACD1.∵＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则∴∴x＝y＝z，令x＝1，则n＝(1，1，1)．连接AM，则＝，∴点M到平面ACD1的距离为＝＝，即直线MN与平面ACD1之间的距离为. 5.[多选]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，E，F分别为PD，PB的中点，则(　　) A．EF⊥平面PAC B．AB∥平面EFC C．点F到直线CD的距离为 D．点A到平面EFC的距离为 答案　AD 解析　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意可知，A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(0，1，1)，F(1，0，1)，D(0，2，0)，所以＝(1，－1，0)，＝(0，0，2)，＝(2，2，－2)，＝(2，1，－1)．因为·＝0＋0＋0＝0，所以⊥，即EF⊥AP，·＝2－2＋0＝0，所以⊥，即EF⊥PC.又AP∩PC＝P，AP，PC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC，故A正确；设平面EFC的法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝1，z＝3，所以m＝(1，1，3)．因为＝(2，0，0)，所以·m＝2≠0，故B不正确；设点F到直线CD的距离为h，＝(－1，－2，1)，＝(－2，0，0)，则h2＝2－＝5，即h＝，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确；设点A到平面EFC的距离为d，＝(2，2，0)，则d＝＝＝，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确． 二、填空题 6．(2023·河北邢台高二统考期中)若空间中有三点A(1，0，－1)，B(0，1，1)，C(1，2，0)，则点A到直线BC的距离为________，点P(1，2，3)到平面ABC的距离为________． 答案　　 解析　由A(1，0，－1)，B(0，1，1)，C(1，2，0)，得＝(1，－1，－2)，＝(1，1，－1)，则cos〈，〉＝＝＝，又〈，〉∈[0，π]，则sin〈，〉＝，则点A到直线BC的距离为||sin〈，〉＝×＝. 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝3，则n＝(3，－1，2)，又＝(0，－2，－4)，则点P(1，2，3)到平面ABC的距离为＝＝. 7．(2024·黑龙江哈尔滨高二校考阶段练习)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为________． 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0)，设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，1)，则即解得 故m＝(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 8.(2023·安徽合肥市第八中学高二联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝6，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为________． 答案　 解析　 要使得空间四边形PMND的周长最小，只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，延长DC至D′，使得DC＝CD′＝2，于是点N在线段DD′的垂直平分线上，所以ND＝ND′，因为PD为定值，故当点P，M，N和D′共线时，空间四边形PMND的周长最小，易得△PAM∽△NCD′∽△PDD′，所以＝＝，即＝＝，所以AM＝1，NC＝4，BN＝6－4＝2，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，6，0)，由题意可得M(1，0，0)，N(2，2，0)，Q(0，3，1)，则＝(1，0，－2)，＝(2，2，－2)，设n＝(x，y，z)是平面PMN的法向量，则即令z＝1，得x＝2，y＝－1，n＝(2，－1，1)，＝(0，3，－1)，所以点Q到平面PMN的距离d＝＝＝. 三、解答题 9.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到直线BD的距离． 解　如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，所以＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，取a＝＝(3，0，－1)，u＝＝，则a2＝10，a·u＝－，所以点P到直线BD的距离为＝＝. 10.(2023·广东肇庆高二校考期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为AB的中点，H为DD1的中点，K为BB1的中点． (1)求直线A1H到直线KC的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 解　(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C(0，1，1)，A(1，0，1)，C1(0，1，0)，H，K，F，E， 所以＝，＝， 所以＝，则∥，即A1H∥KC， 所以直线A1H到直线KC的距离可转化为点A1到直线KC的距离， ＝，||＝＝， 在上的投影向量的长度为＝，||＝＝， 所以点A1到直线KC的距离d＝＝. 所以直线A1H到直线KC的距离为. (2)由(1)可得＝，＝，＝(－1，1，－1)， 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 由 令y＝2，则x＝1，z＝1，得n＝(1，2，1)， 因为·n＝0，所以⊥n，则FC∥平面AEC1， 所以直线FC到平面AEC1的距离可转化为点C到平面AEC1的距离，又＝(0，0，－1)， 所以直线FC到平面AEC1的距离d1＝＝＝. 11.(2023·山东枣庄高二期末)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝DC＝2，AA1＝AB＝4，E为棱AA1的中点． (1)证明：BC⊥C1E； (2)设＝λ(0<λ<1)，若点C1到平面BB1M的距离为，求λ的值． 解　(1)证明：以A为原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，4)，C(2，0，2)，E(0，2，0)，C1(2，4，2)，B1(0，4，4)， 所以＝(2，0，－2)，＝(2，2，2)， 所以·＝2×2＋0×2＋(－2)×2＝0， 所以⊥，故BC⊥C1E. (2)因为＝(0，4，0)，＝(－2，2，－2)， 所以＝＋＝＋λ＝(2－2λ，2λ，－2－2λ)， 设平面BB1M的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1＋λ，则n＝(1＋λ，0，1－λ)， 因为＝(2，0，－2)， 所以点C1到平面BB1M的距离 d＝＝＝， 解得λ＝. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$