1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 1．3.2　空间向量运算的坐标表示 知识点一　空间直角坐标系及空间向量的坐标 1．已知O为原点，＝2a＋b＋3c，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量在基底{i，j，k}下的坐标为(　　) A．(7，3，12) B．(3，7，12) C．(2，4，6) D．(8，3，12) 答案　D 解析　＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)． 2.[多选]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案　ACD 解析　由题图及已知可得，点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B对称的点为(8，5，－3)，点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，因此A，C，D正确．故选ACD. [名师点拨]　求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于Oyz平面的对称点是(－x，y，z)． 知识点二　空间向量的坐标运算 3．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝(　　) A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1) C．(9，3，0) D．(9，0，0) 答案　C 解析　a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．故选C. 4．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______． 答案　2 解析　根据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 5．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，则点P的坐标是________． 答案　(－1，3，3) 解析　解法一：设点P(x，y，z)，则由＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，则解得即P(－1，3，3)． 解法二：设O为原点，∵＝2，∴－＝2(－)，∴3＝＋2，∴＝＋＝(－1，3，1)＋(－1，3，4)＝＋＝(－1，3，3)，即P(－1，3，3)． 知识点三　平行与垂直问题 6．(2024·河北邢台高二月考)已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(m，－1，n)，若a∥b，则m＋n＝________． 答案　－2 解析　由题意可知b＝λa，所以有解得所以m＋n＝－2. 7．已知向量a＝(2，0，2)，b＝(1，2，0)，c＝(2，2，x)．若(a＋3b)⊥c，则x＝________． 答案　－11 解析　因为a＝(2，0，2)，b＝(1，2，0)，c＝(2，2，x)，所以a＋3b＝(5，6，2)，又(a＋3b)⊥c，所以5×2＋6×2＋2x＝0，解得x＝－11. 知识点四　夹角与距离问题 8．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________． 答案　120° 解析　(2a＋b)·c＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，∴cos〈b，c〉＝＝－.∵0°≤〈b，c〉≤180°，∴〈b，c〉＝120°. 9．(2023·广东江门高二统考期末)若两个单位向量＝(m，n，0)，＝(n，0，p)与向量＝(1，1，1)的夹角都为45°，则cos∠AOB＝________． 答案　 解析　∵两个单位向量＝(m，n，0)，＝(n，0，p)与向量＝(1，1，1)的夹角都为45°，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，||＝，||＝||＝1，∴·＝||||cos45°＝×1×＝，||2＝m2＋n2＝1，又·＝m＋n，则m＋n＝，∴2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝－12＝，即mn＝，∵·＝mn，∴cos∠AOB＝＝mn＝. 10.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值． 解　(1)如图，建立空间直角坐标系． ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)． 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得 PD＝2，∴P(0，0，2)． ∴BP＝＝4. (2)由(1)得，＝(2，0，－2)，＝(－2，－3，0)， ∴cos〈，〉 ＝ ＝－， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为. 一、选择题 1．下列说法中不正确的是(　　) A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底 B．竖坐标为0的非零向量平行于x轴与y轴所确定的平面 C．纵坐标为0的向量都共面 D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直 答案　A 解析　单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．故选A. 2．(2024·安徽省宿松中学开学考试)已知a＝(1，－2，m)，b＝(n，4，6)，a与b共线，则m－2n＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．3 答案　A 解析　∵a与b共线，∴a＝λb，∴∴∴m－2n＝－3－2×(－2)＝1.故选A. 3．设点B是A(2，3，5)关于坐标平面Oxy的对称点，则||＝(　　) A．10 B. C．38 D. 答案　A 解析　因为点B是A(2，3，5)关于坐标平面Oxy的对称点，所以B(2，3，－5)，所以||＝＝10. 4．若△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　) A．5 B. C．4 D．2 答案　A 解析　设＝λ，又＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ)．又＝(－4，5，0)，∴＝＋＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴||＝5.故选A. 5．[多选]已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是(　　) A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝|b| C．a⊥(5a＋6b) D．a与b夹角的余弦值为－ 答案　BCD 解析　对于A，因为2a＋b＝(－1，2，7)，≠≠，故A不正确；对于B，因为|a|＝＝，|b|＝＝5，所以5|a|＝|b|＝5，故B正确；对于C，因为a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝30＋6×(－6－4＋5)＝0，所以a⊥(5a＋6b)，故C正确；对于D，因为a·b＝－6－4＋5＝－5，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，故D正确．故选BCD. 二、填空题 6．(2023·山东枣庄三中高二期末)对于任一基底{a，b，c}，若p＝xa＋yb＋zc，则把(x，y，z)叫做向量p在基底{a，b，c}下的坐标．若p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________． 答案　 解析　由条件，知p＝2a＋b－c.设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a，b，c不共面，∴解得 即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 7．已知空间中的点A(－1，1，2)，B(－3，0，4)，若|c|＝3，c∥，则c＝________． 答案　(－2，－1，2)或(2，1，－2) 解析　∵＝(－2，－1，2)，且c∥，∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，∴|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1，∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． 8．(2023·河北石家庄二中高二期中)已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________． 答案　(－∞，－6)∪ 解析　由a·b＝－10＋3t<0，得t<，当a∥b时，t＝－6，此时a，b反向共线，所以实数t的取值范围为(－∞，－6)∪. 三、解答题 9．如图，在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体OABC－O′A′B′C′，且OA＝6，OC＝8，OO′＝5. (1)写出点B′的坐标，并将用单位正交基底{i，j，k}表示； (2)求的坐标． 解　(1)因为OA＝6，OC＝8，OO′＝5， 所以点B′的坐标为(6，8，5)， 从而＝(6，8，5)＝6i＋8j＋5k. (2)因为OA＝6，OC＝8，OO′＝5，易得点C′的坐标为(0，8，5)，所以＝(0，8，5)． 10.(2023·上海黄浦格致中学阶段练习)如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点．若异面直线BD与AC所成角的大小为，求： (1)该几何体的体积； (2)直线BD与AB所成角的大小． 解　(1)连接A1D，由题意得A1，D关于平面B1BCC1对称， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1＝h(h>0)， 则A(0，0，0)，B(0，2，0)， C(2，0，0)，D(2，2，h)， 所以＝(2，0，h)，＝(2，0，0)， 因为异面直线BD与AC所成角的大小为， 所以＝＝，解得h＝2， 该几何体的体积V＝AB·AC·h＋×π××h ＝×2×2×2＋×π×22×2＝8＋4π. (2)＝(2，0，2)，＝(0，2，0)， 因为·＝0， 所以直线BD与AB所成角的大小为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$