3.3.1 抛物线及其标准方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

目录 第三章　圆锥曲线的方程 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 15分钟对点练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 知识点一　抛物线的定义 1．已知动点M的坐标满足方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 解析　方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|可化为eq \r(x2＋y2)＝eq \f(|3x＋4y－12|,5)，它表示点M(x，y)到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 2．(2023·四川成都高二期中)动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 解析　∵动点P到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，∴动点P到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，∴由抛物线的定义知，该动点的轨迹是以点(3，0)为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　解法一：∵y＝4，∴x2＝4y＝16，∴x＝±4，∴A(±4，4)，又焦点坐标为(0，1)，∴所求距离为eq \r(42＋（4－1）2)＝5. 解法二：抛物线的准线方程为y＝－1，∴点A到准线的距离为5，∵点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等，∴所求距离为5. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ②③ 答案 * 4．[易错题]给出下列命题： ①到定点F(－1，0)的距离和到定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线； ②到定点F(2，1)的距离和到定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在y轴上． 其中假命题是__________(填序号)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　由抛物线的定义，知①为真命题；因为定点F(2，1)在定直线3x－2y－4＝0上，可知动点P的轨迹为一条直线，所以②为假命题；因为抛物线的焦点可以在x轴上，所以③为假命题． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [易错分析]　本题容易忽视抛物线定义中的限制条件“定直线不经过定点”，而误认为②是真命题． * 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 答案 * 知识点二　抛物线的标准方程 5．焦点在坐标轴上的抛物线过点(－2，3)，则它的标准方程是(　　) A．x2＝－eq \f(9,2)y或y2＝eq \f(4,3)x B．y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y C．x2＝eq \f(4,3)y D．y2＝－eq \f(9,2)x 解析　∵点(－2，3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或y2＝－2p1x(p1>0)，把(－2，3)代入，得(－2)2＝2p·3或9＝－2p1·(－2)，∴2p＝eq \f(4,3)或－2p1＝－eq \f(9,2).故所求抛物线的标准方程为x2＝eq \f(4,3)y或y2＝－eq \f(9,2)x. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 6．[易错题]抛物线y＝2x2的焦点坐标是________，准线方程为________． 解析　由抛物线方程即x2＝eq \f(1,2)y，可知焦点在y轴上，且eq \f(p,2)＝eq \f(1,8)，所以焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，准线方程为y＝－eq \f(1,8). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))) y＝－eq \f(1,8) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [易错分析]　本题容易忽视抛物线标准方程的形式特征而致误． * 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 7．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)； (3)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解　(1)双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，其左顶点为(－3，0)，由题意，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，则抛物线的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，－eq \f(p,2)＝－3，解得p＝6，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－12x. (2)可设方程为y2＝mx或x2＝ny，将点P的坐标代入方程求得m＝8，n＝－1，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝－y. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * (3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，则抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)， 由抛物线定义得5＝|AF|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(p,2)))，又(－3)2＝2pm，显然p，m同号，从而得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m·p＝9，,2m＋p＝10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m·p＝9，,2m＋p＝－10，))解得p＝±1或p＝±9，所以所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 知识点三　与抛物线有关的最值问题 8．(2023·辽宁辽阳高二期末)已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 解析　连接MF，MC，过点M作准线的垂线MP，垂足为P，如图所示，由抛物线的定义知|MP|＝|MF|.当M，A，P三点共线时，|MA|＋|MF|的值最小，且最小值为|CP|－1.因为抛物线的准线方程为y＝－1，而C(1，4)，所以|CP|＝4＋1＝5.所以(|MA|＋|MF|)min＝5－1＝4.故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [名师点拨]　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和或差的最值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． * 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 答案 * 9．已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F(1，0)，A(4，3)，则|PA|－|PF|的最大值为________，最小值为________． 解析　可判断A，F都在抛物线的内侧，∴||PA|－|PF||≤|FA|，即－|FA|≤|PA|－|PF|≤|FA|，而|FA|＝3eq \r(2)，∴|PA|－|PF|的最大值是3eq \r(2)，最小值是－3eq \r(2). 3eq \r(2) －3eq \r(2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 * 知识点四　抛物线的实际应用 10.河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8 m，拱圈内水面宽24 m，一条船在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽6 m. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的标准方程； (2)近日水位暴涨了1.6 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？ 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 解　(1)设抛物线型拱桥与水面的两交点分别为A，B，以AB的垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则A(－12，－8)，B(12，－8)， 设拱桥所在抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)， 因为点A(－12，－8)在抛物线上，代入解得p＝9， 故拱桥所在抛物线的标准方程是x2＝－18y. (2)因为x2＝－18y，故当x＝3时，y＝－0.5， 故当水位暴涨1.6 m后，船身至少应降低6.5＋1.6－(8－0.5)＝0.6 m， 故船身至少应降低0.6 m，才能通过桥洞． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 * 11.如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知灯口圆的直径为60 cm，灯的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变，求探照灯的深度． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 解　(1)如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系， 以抛物线的顶点为原点，旋转轴为x轴(抛物线的开口方向是x轴的正方向)，1 cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)． 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40，30)， 代入抛物线方程，得302＝2p×40， 解得p＝eq \f(45,4)，则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(45,8)，0)). 故光源应安置在旋转轴上与顶点相距eq \f(45,8) cm＝5.625 cm处． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * (2)由(1)可得，抛物线的方程为y2＝eq \f(45,2)x. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点的纵坐标变为eq \f(66,2)＝33， 故将y＝33代入抛物线方程，解得x＝eq \f(332×2,45)＝48.4， 此时探照灯的深度为48.4 cm. 30分钟综合练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 一、选择题 1．抛物线y2＝8x的准线方程是(　　) A．x＝－2 B．x＝－4 C．y＝－2 D．y＝－4 解析　∵y2＝8x＝2·4x，∴p＝4，准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq \r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq \r(2)，则△POF的面积为(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．4 解析　抛物线C的准线方程为x＝－eq \r(2)，焦点F(eq \r(2)，0)，由|PF|＝4eq \r(2)及抛物线的定义知，点P的横坐标xP＝3eq \r(2)，从而yP＝±2eq \r(6)，∴S△POF＝eq \f(1,2)|OF|·|yP|＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(6)＝2eq \r(3). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 3．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析　设动圆的半径为r，圆心为O′(x，y)，则O′到点(2，0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到点(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义，得动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 4．(2023·三湘名校高二联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　) A．|P1F|＋|P2F|＝|P3F| B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2 C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F| D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F| 解析　由点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋eq \f(p,2)＋x3＋eq \f(p,2)，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 5．[多选]已知点F(1，0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为(　　) A．y2＝4x B．x2＝4y C.eq \f(x2,cos2θ)＋eq \f(y2,sin2θ)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))) D.eq \f(x2,cos2θ)－eq \f(y2,sin2θ)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，A正确；x2＝4y的焦点坐标为(0，1)，B不正确；当θ＝eq \f(π,4)时，eq \f(x2,cos2θ)＋eq \f(y2,sin2θ)＝1表示圆，当θ≠eq \f(π,4)时，eq \f(x2,cos2θ)＋eq \f(y2,sin2θ)＝1表示的曲线的焦点为(±eq \r(cos2θ－sin2θ)，0)或(0，±eq \r(sin2θ－cos2θ))，又0＜θ＜eq \f(π,2)，所以cos2θ－sin2θ＝cos2θ≠1，sin2θ－cos2θ＝－cos2θ≠1，均不满足，C不正确；eq \f(x2,cos2θ)－eq \f(y2,sin2θ)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))的焦点坐标为(±1，0)，D正确．故选AD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x＝－2 解析 答案 * 二、填空题 6．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2，0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与对称轴平行)． 解析　由直线y＝－2平行于抛物线的对称轴知A(2，0)为抛物线的焦点，故抛物线的准线方程为x＝－2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 7．已知点A(0，2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B点作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________． 解析　由抛物线的定义可得|BM|＝|BF|，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，又AM⊥MF，故点B为线段FA的中点，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)，1))，所以1＝2p×eq \f(p,4)⇒p＝eq \r(2). eq \r(2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解析 答案 * 8．(2024·山东日照高二期中)河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则当水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距________ m时，小船开始不能通航． 解析　如图，以拱桥的拱顶为原点，过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝eq \f(8,5)，得x2＝－eq \f(16,5)y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 三、解答题 9．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程． 解　抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))， 则直线l的方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))， 它与y轴的交点为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))， ∴△OAF的面积为eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝4， 解得a＝±8. ∴抛物线的方程为y2＝±8x. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d， 于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值． 如图，连接AF，交抛物线于点P， 则最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2eq \r(3)， 因为2eq \r(3)＞2，所以点B在抛物线内部． 过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)， 由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 目录 　　　　　　　　　　　　　 R $$