3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

目录 第三章　圆锥曲线的方程 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 15分钟对点练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 知识点一　由双曲线的标准方程研究几何性质 1．双曲线eq \f(y2,2)－x2＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±eq \f(1,2)x C．y＝±eq \r(2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x 解析　双曲线eq \f(y2,2)－x2＝1，焦点在y轴上，且a2＝2，b2＝1，故a＝eq \r(2)，b＝1，则其渐近线方程为y＝±eq \r(2)x. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．若直线x＝a与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1有两个公共点，则a的取值范围是____________________________． 解析　∵双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若直线x＝a与双曲线有两个公共点，则a>2或a<－2. (－∞，－2)∪(2，＋∞) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 3．等轴双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为________． 解析　由题意可知，双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1为等轴双曲线，故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，即a＝b，所以渐近线方程为y＝±x，又2c＝4，所以c＝2，所以双曲线C的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以一个焦点到一条渐近线的距离为d＝eq \f(|2|,\r(12＋12))＝eq \r(2). eq \r(2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 4．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程． 解　把方程化为标准形式为x2－eq \f(y2,22)＝1， 由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2. 顶点坐标是(－1，0)，(1，0)． c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)， 即焦点坐标是(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0)． 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)， 渐近线方程为x±eq \f(y,2)＝0，即y＝±2x. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 知识点二　求双曲线的离心率 5．[多选]下列方程表示的曲线中，离心率为eq \f(\r(6),2)的是(　　) A．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 D．eq \f(x2,20)－eq \f(y2,10)＝1 解析　∵e＝eq \f(c,a)，c2＝a2＋b2，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2))) eq \s\up20(2)＝eq \f(3,2)，故eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，观察各曲线方程得B，D符合．故选BD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于eq \f(2\r(5),5)a，其离心率e的取值范围为(　　) A．[eq \r(3)，＋∞) B．[eq \r(5)，＋∞) C．(1，eq \r(3)] D．(1，eq \r(5)] 解析　依题意，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于eq \f(2\r(5),5)a，∴eq \f(|ba＋0|,\r(b2＋a2))≤eq \f(2\r(5),5)a，得e≤eq \r(5).又e>1，∴1<e≤eq \r(5).故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 7．设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． 解析　如图，不妨设点P在双曲线右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a，))又|F1F2|＝2c， ∴|PF2|最小．由余弦定理，得eq \f(16a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cos30°， ∴2eq \r(3)ac＝3a2＋c2，等式两边同除以a2，得 e2－2eq \r(3)e＋3＝0，∴e＝eq \r(3). eq \r(3) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 8．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，经过F1且垂直于x轴的直线交双曲线于P，Q两点，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1， ∴y＝±eq \f(b2,a). 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， ∴eq \f(b2,a)＝2c，∴c2－2ac－a2＝0. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a))) eq \s\up20(2)－2×eq \f(c,a)－1＝0，即e2－2e－1＝0. ∴e＝1＋eq \r(2)或e＝1－eq \r(2)(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋eq \r(2). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * [规律方法]　求双曲线离心率的三种方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up20(2))求解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 知识点三　由双曲线的几何性质求标准方程 9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(4eq \r(3)，0)，过F和P(0，2b)两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(　　) A．eq \f(x2,36)－eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,36)＝1 C．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,32)＝1 D．eq \f(x2,32)－eq \f(y2,16)＝1 解析　右焦点为F(4eq \r(3)，0)，则a2＋b2＝(4eq \r(3))2＝48，过F和P(0，2b)两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则eq \f(2b,－4\r(3))＝－eq \f(b,a)，解得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(48－（2\r(3)）2)＝6，所以双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,36)＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 10．中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P(1，3)，离心率为eq \r(2)的双曲线的标准方程为________． 解析　由离心率为eq \r(2)，得e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝2，即a＝b.故设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，所以所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,8)＝1. eq \f(y2,8)－eq \f(x2,8)＝1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [名师点拨]　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0)．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)． * 30分钟综合练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 一、选择题 1．双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1的虚轴长为(　　) A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3 D．6 解析　∵b2＝9，∴b＝3.∴双曲线C的虚轴长为2b＝6.故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．如果椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，那么双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为(　　) A.eq \f(\r(5),2) B．eq \f(5,4) C．eq \r(2) D．2 解析　由已知椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)，得eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，∴a2＝4b2.∴e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5b2,4b2)＝eq \f(5,4).∴双曲线的离心率e＝eq \f(\r(5),2). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 3.如图，已知双曲线x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点．若|QF1|＝|QP|，且eq \o(PF2,\s\up18(→))＝λeq \o(F2Q,\s\up18(→))，则λ的值为(　　) A．3 B．2 C．eq \f(8,3) D．eq \f(5,2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　由题意知c＝eq \r(2)a，|F1F2|＝2eq \r(2)a，|QF1|－|QF2|＝|QP|－|QF2|＝|PF2|＝2a，则|PF1|＝|PF2|＋2a＝4a.在△PF1F2中，cos∠F1F2P＝eq \f(（2\r(2)a）2＋（2a）2－（4a）2,2×2\r(2)a×2a)＝－eq \f(\r(2),4).在△QF1F2中，cos∠F1F2Q＝－cos∠F1F2P＝eq \f(\r(2),4)，设|QF2|＝m，则|QF1|＝m＋2a，由|QF1|2＝|F1F2|2＋|QF2|2－2|F1F2|·|QF2|cos∠F1F2Q得(2a＋m)2＝(2eq \r(2)a)2＋m2－2×2eq \r(2)a×m×eq \f(\r(2),4)，解得m＝eq \f(2,3)a，又eq \o(PF2,\s\up18(→))＝λeq \o(F2Q,\s\up18(→))，所以λ＝eq \f(|PF2|,|QF2|)＝eq \f(2a,\f(2,3)a)＝3. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 4．[多选]在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，则(　　) A．实轴长为2 B．渐近线方程为y＝±eq \r(3)x C．离心率为2 D．一条渐近线与直线x＝1的交点到另一条渐近线的距离为3 解析　由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2eq \r(3)，c＝4，所以实轴长为2a＝4，A不正确；渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x，离心率eq \f(c,a)＝2，所以B，C正确；设渐近线y＝eq \r(3)x与直线x＝1的交点为A，两个方程联立可得A(1，eq \r(3))，另一条渐近线的方程为eq \r(3)x＋y＝0，所以A到它的距离为d＝eq \f(|\r(3)×1＋\r(3)|,2)＝eq \r(3)，所以D不正确．故选BC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C的右支上一点，若tan∠PF1F2＝eq \f(1,3)，且△PF1F2的面积为3，则双曲线C的焦距为(　　) A．2eq \r(5) B．10 C．4 D．2 解析　设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的虚半轴长为b，半焦距为c，由题意得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，又|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝4c2，两式相减可得|PF1|·|PF2|(1－cos∠F1PF2)＝2(c2－a2)＝2b2， 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 则|PF1|·|PF2|＝eq \f(2b2,1－cos∠F1PF2)，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(b2sin∠F1PF2,1－cos∠F1PF2)＝eq \f(b2,tan\f(∠F1PF2,2))，又△PF1F2的面积为3，b2＝3，所以S△PF1F2＝eq \f(3,tan\f(∠F1PF2,2))＝3，得taneq \f(∠F1PF2,2)＝1，∠F1PF2∈(0，π)，所以∠F1PF2＝eq \f(π,2)，因为tan∠PF1F2＝eq \f(1,3)，所以eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(1,3)，即|PF1|＝3|PF2|，又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，所以(2c)2＝(3a)2＋a2，得c2＝eq \f(5,2)a2，又因为c2＝a2＋3，且c>0，所以c＝eq \r(5)，所以双曲线C的焦距为2eq \r(5). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析 答案 * 二、填空题 6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝________，b＝________． 解析　由题意知，一条渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知eq \f(b,a)＝2，由c＝eq \r(5)，c2＝a2＋b2，可得a＝1，b＝2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 7．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线的方程是________． 解析　由双曲线的实轴在x轴上，知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4，0)，故双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4.设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以所求等轴双曲线的方程为x2－y2＝8. x2－y2＝8 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 8．设F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________． 解析　设F(c，0)，P(m，n)，PF的中点为M(0，b)，即有m＝－c，n＝2b，将点(－c，2b)代入双曲线方程可得，eq \f(c2,a2)－eq \f(4b2,b2)＝1，可得e2＝eq \f(c2,a2)＝5，解得e＝eq \r(5). eq \r(5) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 9．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)＝1的一个焦点为(2，0)，点N(x，y)是双曲线上的任意一点，则点M(4，0)与点N的距离|MN|的最小值为________． 3 解析　由题意可知，m＋3m＝4，∴m＝1.∴双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.由x2－eq \f(y2,3)＝1，得y2＝3x2－3，∴|MN|＝eq \r(（x－4）2＋y2)＝eq \r(4x2－8x＋13)＝eq \r(4（x2－2x＋1）＋9)＝eq \r(4（x－1）2＋9).∵x≤－1或x≥1，∴当x＝1时，|MN|取得最小值3. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 三、解答题 10．(2023·辽宁名校高二联考)根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0，6)，且离心率是eq \f(3,2)； (2)与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同渐近线，且过点(－3，2eq \r(3))． 解　(1)∵顶点为(0，6)，设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)， ∴a＝6. 又e＝eq \f(3,2)，∴c＝a×e＝6×eq \f(3,2)＝9，b2＝c2－a2＝45. 故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,36)－eq \f(x2,45)＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (2)解法一：双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x， 令x＝－3，则y＝±4，因为2eq \r(3)<4，故点(－3，2eq \r(3))在射线y＝－eq \f(4,3)x(x≤0)及x轴负半轴之间的区域， ∴双曲线的焦点在x轴上． 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(（－3）2,a2)－\f(（2\r(3)）2,b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4.)) ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,4)＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解法二：设双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ(λ≠0)， ∴eq \f(（－3）2,9)－eq \f(（2\r(3)）2,16)＝λ. ∴λ＝eq \f(1,4)， ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,4)＝1. 目录 　　　　　　　　　　　　　 R $$