3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

目录 第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 15分钟对点练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 知识点一　由椭圆方程研究简单几何性质 1．椭圆25x2＋9y2＝1的范围为(　　) A．|x|≤5，|y|≤3 B．|x|≤eq \f(1,5)，|y|≤eq \f(1,3) C．|x|≤3，|y|≤5 D．|x|≤eq \f(1,3)，|y|≤eq \f(1,5) 解析　椭圆方程可化为eq \f(x2,\f(1,25))＋eq \f(y2,\f(1,9))＝1，所以a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,5)，所以|x|≤eq \f(1,5)，|y|≤eq \f(1,3).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．[多选]下面是关于曲线4x2＝12－3y2对称性的一些叙述，其中正确的是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析　曲线方程4x2＝12－3y2可化为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆，由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称．将曲线方程中的x换成y，y换成x，得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，与原曲线方程不同，故该曲线不关于直线y＝x对称．故选ABC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 3．下列结论正确的是(　　) A．eq \f(x2,2)＋y2＝1与eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的离心率 B．eq \f(x2,2)＋y2＝1与eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点 C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1与eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的顶点 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1与eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的离心率 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　对于A，eq \f(x2,2)＋y2＝1的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，离心率不同，故A错误；对于B，eq \f(x2,2)＋y2＝1的焦点为(±1，0)，eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为(±1，0)，焦点相同，故B正确；对于C，eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1的顶点为(±eq \r(3)，0)，(0，±2)，eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的顶点为(±2，0)，(0，±eq \r(3))，顶点不同，故C错误；对于D，eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，离心率不同，故D错误．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 知识点二　由椭圆的几何性质求方程 4．已知直线2x＋y－2＝0经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点与右焦点，则椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1 C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1 解析　直线2x＋y－2＝0与坐标轴的交点坐标为(1，0)，(0，2)，由题意得c＝1，b＝2，所以a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(5)，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 5．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，离心率是eq \f(\r(6),3)，则椭圆C的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B．x2＋eq \f(y2,3)＝1 C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1 解析　因为eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，且c＝eq \r(2)，所以a＝eq \r(3)，b＝eq \r(a2－c2)＝1.所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 6．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则(　　) A．a2＝25，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25 C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9 解析　因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 7．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是_______________． 解析　由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝eq \f(18,3)＝6，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程是eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1. eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 知识点三　椭圆的离心率问题 8．(2023·山东烟台高二期中)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则椭圆C的离心率为(　　) A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3) C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \r(3)－1 解析　在Rt△PF1F2中，∵PF1⊥PF2，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c.由椭圆的定义得eq \r(3)c＋c＝2a，∴椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 解析　由题意可知椭圆的焦点在x轴上，不妨设F(c，0)，P(c，y0)，因为点P(c，y0)在椭圆上，所以eq \f(c2,a2)＋2,0)eq \f(y,b2) ＝1，解得y0＝±eq \f(b2,a)，不妨设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，则Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，又△POQ为等腰直角三角形，所以|PF|＝|OF|，即eq \f(b2,a)＝c，即a2－c2＝ac，所以e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－1－\r(5),2)(舍去)． 9．(2024·浙江师范大学附属中学高二校考阶段练习)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的一个焦点，P为椭圆上一点，PF⊥x轴，PF与椭圆的另一个交点为Q，△POQ为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________． 　eq \f(\r(5)－1,2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 解析　由题意得，左焦点F1(－c，0)，上顶点(0，b)，所以直线l的方程为eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，因为过椭圆的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，所以以AB为直径的圆的圆心为右焦点F2(c，0)，半径为r＝eq \f(b2,a)，因为以AB为直径的圆与l存在公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即eq \f(|2bc|,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，即2c≤b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,\r(b2＋c2))≤eq \f(c,\r(5c2))＝eq \f(\r(5),5)，所以0<e≤eq \f(\r(5),5). 10．过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是______________． 　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * [规律方法]　求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 注意：椭圆的离心率e的取值范围为0<e<1. 30分钟综合练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 一、选择题 1．与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点，且短轴长为4eq \r(5)的椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,20)＝1 B.eq \f(y2,80)＋eq \f(x2,85)＝1 C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1 解析　椭圆4x2＋9y2＝36可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，可知焦点在x轴上，焦点坐标为(±eq \r(5)，0)，故可设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5).又2b＝4eq \r(5)，即b＝2eq \r(5)，所以a2＝b2＋c2＝25，则所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 2．已知点P(3，4)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上，则以点P为其中一个顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是(　　) A．12 B．24 C．48 D．与a，b的值有关 解析　根据椭圆的对称性，以点P为其中一个顶点的椭圆的内接矩形PABC的宽为6，长为8，故其面积为6×8＝48. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 3.[多选]某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆．如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(（m＋R）（n＋R）) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则由题意可知，a－c－R＝m，a＋c－R＝n，得a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，A，B正确；2a＝m＋n＋2R，2c＝n－m，则a＝eq \f(m＋n,2)＋R，c＝eq \f(n－m,2)，b2＝a2－c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＋R)) eq \s\up20(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－m,2))) eq \s\up20(2)＝(m＋R)(n＋R)，故b＝eq \r(（m＋R）（n＋R）)，C错误，D正确．故选ABD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 4．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，|PF1|＝λ|PF2|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤λ≤2))，∠F1PF2＝eq \f(π,2)，则椭圆离心率的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(5),3))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(\r(5),3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，1)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　设F1(－c，0)，F2(c，0)，由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a，可设|PF2|＝t，可得|PF1|＝λt，即有(λ＋1)t＝2a　①，由∠F1PF2＝eq \f(π,2)，可得|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即为(λ2＋1)t2＝4c2　②，由②÷①2，可得e2＝eq \f(λ2＋1,（λ＋1）2).令m＝λ＋1，可得λ＝m－1，即有e2＝eq \f(m2－2m＋2,m2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)－\f(1,2))) eq \s\up20(2)＋eq \f(1,2)，由eq \f(1,2)≤λ≤2，可得eq \f(3,2)≤m≤3，即eq \f(1,3)≤eq \f(1,m)≤eq \f(2,3)，则当m＝2时，e2取得最小值eq \f(1,2)；当m＝eq \f(3,2)或m＝3时，e2取得最大值eq \f(5,9)，即eq \f(1,2)≤e2≤eq \f(5,9)，解得eq \f(\r(2),2)≤e≤eq \f(\r(5),3).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 5．[多选]已知椭圆C：eq \f(x2,12－m)＋eq \f(y2,m－4)＝1(8<m<12)的焦距为4，则(　　) A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的eq \r(3)倍 C．椭圆C的离心率为eq \f(\r(6),3) D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为eq \r(6)＋eq \r(2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　因为8<m<12，所以12－m<4<m－4，所以椭圆C的焦点在y轴上，故A不正确；又因为焦距为4，所以c＝2，所以(m－4)－(12－m)＝c2＝4，所以m＝10，所以长轴长为2eq \r(m－4)＝2eq \r(10－4)＝2eq \r(6)，短轴长为2eq \r(12－m)＝2eq \r(12－10)＝2eq \r(2)，因为eq \f(2\r(6),2\r(2))＝eq \r(3)，故B正确；因为a＝eq \r(m－4)＝eq \r(6)，c＝2，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(6))＝eq \f(\r(6),3)，故C正确；椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c＝eq \r(6)＋2，故D不正确．故选BC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 答案 * 二、填空题 6．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于eq \r(5)，则此椭圆的标准方程是____________________． 解析　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(eq \r(5))2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,4)＋x2＝1. eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,4)＋x2＝1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ① 解析 答案 * 7．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的形状，则________更扁(填序号)． 解析　x2＋9y2＝36化为标准方程得eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,4)＝1，故离心率e1＝eq \f(4\r(2),6)＝eq \f(2\r(2),3)，椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的离心率e2＝eq \f(2,3).因为e1>e2，故①更扁． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 35 解析 答案 * 8.如图，把椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________． 解析　由椭圆的对称性及定义，知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 三、解答题 9．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)离心率是eq \f(1,3)，焦距是2； (2)在x轴上的一个顶点A1与短轴两个端点B1，B2的连线的夹角∠B1A1B2＝60°，且短半轴长为3. 解　(1)由已知得2c＝2，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，∴a＝3，c＝1. ∴b2＝a2－c2＝9－1＝8. ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,8)＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * (2)设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1B1B2为等边三角形，且|A1B2|＝2|OB2|＝6，|OA1|＝eq \r(62－32)＝3eq \r(3)， ∴a＝3eq \r(3)，又b＝3， ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,9)＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 10.如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求： (1)椭圆的标准方程； (2)eq \o(PF,\s\up18(→))·eq \o(PA,\s\up18(→))的最大值和最小值． 解　(1)由题意知a＝2， ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * (2)设点P的坐标为(x0，y0)． 由(1)知，－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3). 又F(－1，0)，A(2，0)， eq \o(PF,\s\up18(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \o(PA,\s\up18(→))＝(2－x0，－y0)， ∴eq \o(PF,\s\up18(→))·eq \o(PA,\s\up18(→))＝xeq \o\al(2,0)－x0－2＋yeq \o\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \o\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2. 当x0＝2时，eq \o(PF,\s\up18(→))·eq \o(PA,\s\up18(→))取得最小值0； 当x0＝－2时，eq \o(PF,\s\up18(→))·eq \o(PA,\s\up18(→))取得最大值4. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 解　(1)依题意e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)⇒a＝2b， 又S△OAB＝eq \f(1,2)ab＝1⇒ab＝2， 解得a＝2，b＝1， 所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. 11．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * (2)证明：设点P(x0，y0)，而A(2，0)，B(0，1)，且－2≤x0<2，－1≤y0<1，xeq \o\al(2,0)＋4yeq \o\al(2,0)＝4， 当x0≠0时，直线PA：y＝eq \f(y0,x0－2)(x－2)，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2y0,2－x0)))， |BM|＝|1－yM|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2y0,x0－2)))， 直线PB：y－1＝eq \f(y0－1,x0)x，点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,1－y0)，0))， |AN|＝|2－xN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x0,y0－1)))， 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * |AN|·|BM|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x0,y0－1)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2y0,x0－2))) ＝2,0)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4yeq \o\al(2,0)＋4x0y0－4x0－8y0＋4,x0y0－x0－2y0＋2))) ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4x0y0－4x0－8y0＋8,x0y0－x0－2y0＋2))) ＝4， 当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4， 所以|AN|·|BM|为定值． 目录 　　　　　　　　　　　　　 R $$