2.3.4 两条平行直线间的距离-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

目录 第二章　直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标 与距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 15分钟对点练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 知识点一　两条平行直线间的距离 1．两条平行直线l1：4x－3y＋2＝0与l2：4x－3y－1＝0之间的距离d是(　　) A．3 B．eq \f(3,5) C．eq \f(1,5) D．1 解析　由两平行直线间的距离公式得d＝eq \f(|2－（－1）|,\r(42＋（－3）2))＝eq \f(3,5). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * [规律方法]　两条平行直线间的距离的求法 (1)公式法：将两条平行直线的方程化为一般式，且两条平行直线的方程中x，y的系数化为相同的，代入两条平行直线间的距离公式． (2)转化法：在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 解析　因为直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：(a＋2)x－ay－1＝0平行，所以a× (－a)－(a＋2)×(－1)＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：－x－y＋1＝0与l2：x＋y－1＝0重合，不符合题意；当a＝2时，l1：2x－y＋1＝0与l2：4x－2y－1＝0平行，符合题意，此时，l1：2x－y＋1＝0可化为4x－2y＋2＝0，则l1与l2之间的距离d＝eq \f(|2－（－1）|,\r(42＋（－2）2))＝eq \f(3\r(5),10).故选D. 2．(2024·江西新余高二期末)若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：(a＋2)x－ay－1＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　) A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5) C．eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(3\r(5),10) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 解析　当两平行线与直线AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝5，所以0<d≤5. 3．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A．0<d≤3 B．0<d≤5 C．0<d<4 D．3≤d≤5 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 4．已知两条平行直线l1：x－2y＋1＝0，l2：ax－y＋b＝0间的距离为eq \r(5)，则|a－b|＝(　　) A．eq \f(3,2) B．eq \f(5,2) C．3 D．4 解析　因为l1∥l2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝－2a，,－2b≠－1，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b≠\f(1,2)，))l2：eq \f(1,2)x－y＋b＝0，即x－2y＋2b＝0，因为直线l1与l2间的距离为eq \r(5)，所以eq \f(|1－2b|,\r(12＋（－2）2))＝eq \r(5)，解得b＝3或b＝ －2，所以|a－b|＝eq \f(5,2).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 * 5．已知△ABC的边AB所在直线的方程是x＋y－3＝0，边AC所在直线的方程是x－2y＋3＝0，边BC所在直线的方程是2x－y－3＝0.若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　) A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \r(2) C．eq \f(3\r(2),2) D．eq \r(5) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 * 解析　联立直线方程，易得点A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是分别过A，B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝eq \r(2)，故这两条平行直线间的距离的最小值是eq \r(2). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 6．当m变化时，两条平行直线3x－4y＋m－1＝0和3x－4y＋m2＝0间的距离d 的最小值为________． 解析　d＝eq \f(|m2－m＋1|,5)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))\s\up20(2)＋\f(3,4),5)≥eq \f(3,20)，当且仅当m＝eq \f(1,2)时取等号． eq \f(3,20) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 * 7．(2023·长沙一中高二期中)若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5＝0所截得的线段长为eq \f(3\r(2),4)，则直线m的倾斜角为________． 解析　由两平行线间的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2))),\r(2))＝eq \f(3\r(2),4)，直线m被两条平行线截得的线段长为eq \f(3\r(2),4)，可得直线m和这两条平行线的夹角为90°.由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°. 135° 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * 知识点二　两条平行直线间距离公式的应用 8.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形ABCD的面积为4，求直线l2的方程． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 * 解　∵l1∥l2，可设l2的方程为x＋y－m＝0. 由题意，得A(1，0)，D(0，1)，B(m，0)，C(0，m)． ∵l2在l1的上方，∴m>1. |AD|＝eq \r(（1－0）2＋（0－1）2)＝eq \r(2)， |BC|＝eq \r(（m－0）2＋（0－m）2)＝eq \r(2)m. 直线l1与直线l2间的距离为eq \f(|－1＋m|,\r(12＋12))＝eq \f(m－1,\r(2)). S梯形ABCD＝eq \f(1,2)×(eq \r(2)＋eq \r(2)m)×eq \f(m－1,\r(2))＝eq \f(m2－1,2)＝4， 解得m＝3或m＝－3(舍去)． 故直线l2的方程为x＋y－3＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 * 9．正方形ABCD一条边AB所在直线的方程为x＋3y－5＝0，另一条边CD所在直线的方程为x＋3y＋7＝0. (1)求过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程； (2)设正方形的中心G(x0，y0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围． 解　(1)设过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程为x＋3y＋C＝0， 由平行线间的距离公式得eq \f(|C＋5|,\r(12＋32))＝eq \f(|C－7|,\r(12＋32))， 解得C＝1. 所以过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程为x＋3y＋1＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 * (2)由平行线间的距离公式得正方形的边长为 d＝eq \f(|7＋5|,\r(12＋32))＝eq \f(12,\r(10)). 设正方形的边BC所在直线的方程为3x－y＋m＝0， 由于中心G(x0，y0)到BC的距离等于eq \f(d,2)＝eq \f(6,\r(10))， 那么eq \f(|3x0－y0＋m|,\r(32＋（－1）2))＝eq \f(6,\r(10))， 解得m＝±6－3x0＋y0，① 又因为G在直线x＋3y＋1＝0上，那么x0＋3y0＋1＝0，即y0＝－eq \f(x0＋1,3)，② 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 * 把②代入①得m＝±6－eq \f(10x0＋1,3)，③ 联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y－5＝0，,3x－y＋m＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－3m＋5,10)，,y＝\f(m＋15,10).)) 由于正方形只有两个点在第一象限，那么eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－3m＋5,10)＞0，,\f(m＋15,10)＞0，))解得－15＜m＜eq \f(5,3)，④ 把③代入④得到－15＜±6－eq \f(10x0＋1,3)＜eq \f(5,3)，解得eq \f(6,5)＜x0＜eq \f(13,5).故x0的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(13,5))). 30分钟综合练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 一、选择题 1．(2023·辽宁名校联盟高二联考)已知直线l1：2x－y＋1＝0，直线l2：4x－2y＋3＝0，则直线l1与l2的距离为(　　) A．eq \f(\r(5),10) B．eq \f(\r(5),5) C．eq \r(5) D．2eq \r(5) 解析　因为直线l2可化为2x－y＋eq \f(3,2)＝0，所以l1∥l2，所以直线l1与l2的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2))),\r(22＋（－1）2))＝eq \f(\r(5),10).故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　) A．2eq \r(3) B．eq \r(2) C．2eq \r(2) D．eq \f(3\r(2),2) 解析　由题意得a＋b＝－1，ab＝－2，∴|a－b|＝eq \r(（a＋b）2－4ab)＝eq \r(1＋8)＝3， ∵直线x＋y＋a＝0与x＋y＋b＝0平行，∴两条直线之间的距离d＝eq \f(|a－b|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 3．若直线l1：x＋my＋1＝0与l：2x－y＝0垂直，直线l2的方程为2x＋2my＋3＝0，则l1与l2间的距离为(　　) A．eq \f(2\r(5),5) B．eq \f(4\r(5),5) C．eq \f(\r(5),10) D．eq \f(\r(5),5) 解析　由直线l1：x＋my＋1＝0与l：2x－y＝0垂直，得m＝2，所以直线l1：x＋2y＋1＝0，直线l2：2x＋4y＋3＝0，即x＋2y＋eq \f(3,2)＝0，则直线l1与l2间的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1)),\r(1＋4))＝eq \f(\r(5),10).故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 解析　由题意得直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0平行，又直线l2：2x＋6y－3＝0可化为x＋3y－eq \f(3,2)＝0，∴两条直线间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,2))),\r(10))＝eq \r(10)，得m＝－eq \f(23,2)或m＝eq \f(17,2).∵m>0，∴m＝eq \f(17,2). 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0间的距离为eq \r(10)，则m＝(　　) A．eq \f(9,2) B．eq \f(15,2) C．eq \f(17,2) D．eq \f(23,2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 解析　依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7，m≠－5)，根据平行线间的距离公式得eq \f(|m＋7|,\r(2))＝eq \f(|m＋5|,\r(2))，所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为eq \f(|－6|,\r(2))＝3eq \r(2).故选A. 5．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3eq \r(2) B．2eq \r(2) C．3eq \r(3) D．4eq \r(2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 二、填空题 6．已知直线l与两条直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为________________． 解析　设直线l的方程为2x－y＋C＝0(C≠3，C≠－1)，因为直线l与直线l1和直线l2的距离相等，所以eq \f(|C－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(|C＋1|,\r(22＋（－1）2))，解得C＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0. 2x－y＋1＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 7．若直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程为____________________． 解析　设直线l的方程为x－2y＋C＝0(C≠4)，则eq \f(|C－4|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(|C|,\r(12＋（－2）2))，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0. x－2y＋2＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 8．在同一平面内，已知直线l1：2x＋3y＝1和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1，则直线l的方程为_______________________________________________． 解析　直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0.易知l1∥l2∥l，所以可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9)．由题意，可得eq \f(|C＋2|,\r(42＋62))＝2×eq \f(|C＋9|,\r(42＋62))，解得C＝ －16或C＝－eq \f(20,3).故直线l的方程为4x＋6y－16＝0或4x＋6y－eq \f(20,3)＝0，即2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0. 2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 三、解答题 9．求由四条直线2x＋y＝0，2x＋y＝6，x－2y＝0，x－2y＝3围成的图形的面积． 解　由斜率判断直线间的平行垂直关系易得四条直线2x＋y＝0，2x＋y＝6，x－2y＝0，x－2y＝3围成的图形是矩形，其中两条平行直线2x＋y＝0，2x＋y＝6的距离为eq \f(6,\r(5))，两条平行直线x－2y＝0，x－2y＝3的距离为eq \f(3,\r(5))，所以这四条直线围成的图形的面积为eq \f(6,\r(5))×eq \f(3,\r(5))＝eq \f(18,5). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 10．过A(－4，0)，B(0，－3)两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线的方程： (1)两条平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕A，B旋转，使它们之间的距离取最大值． 解　(1)当两条直线的斜率都不存在时，方程分别为x＝－4，x＝0，满足题意； 当两条直线的斜率都存在时，设方程分别为y＝k(x＋4)与y＝kx－3，即kx－y＋4k＝0与kx－y－3＝0，由题意得eq \f(|4k＋3|,\r(k2＋1))＝4，解得k＝eq \f(7,24)，∴所求的直线方程分别为7x－24y＋28＝0，7x－24y－72＝0. 综上，所求的直线方程为7x－24y＋28＝0，7x－24y－72＝0或x＝－4，x＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (2)由(1)知，当两条直线的斜率都存在时，两直线间的距离d＝eq \f(|4k＋3|,\r(k2＋1))， ∴d2＝eq \f(16k2＋24k＋9,k2＋1)，∴(d2－16)k2－24k＋d2－9＝0， ∵k∈R，∴Δ≥0，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d2－16≠0，,d4－25d2≤0，))又d>0，∴0<d≤5且d≠4， ∴dmax＝5，此时k＝eq \f(4,3). 当两条直线的斜率都不存在时，d＝4. ∴dmax＝5，此时两条直线的方程分别为4x－3y＋16＝0，4x－3y－9＝0. 目录 　　　　　　　　　　　　　 R $$