2.3.1 两条直线的交点坐标-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

目录 第二章　直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标 与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 15分钟对点练 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 知识点一　两条直线的交点问题 1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4，1) B．(1，4) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3))) 解析　由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,2x＋y－3＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(1,3)，))即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))). 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)·x＋y－2＝0相交，交点的纵坐标为8，则a的值为(　　) A．eq \f(5,27) B．－eq \f(5,27) C．－eq \f(2,9) D．eq \f(2,9) 解析　由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4ax＋y＋2＝0，,（1－3a）x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,1－7a)，,y＝\f(2a＋2,7a－1)，))由题意知eq \f(2a＋2,7a－1)＝8，即a＝eq \f(5,27). 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,2x－3y＋3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(1,3)，))故交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))，由所求直线平行于直线y＝x，可得所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y－eq \f(1,3)＝x＋1，化为一般式方程为3x－3y＋4＝0. 3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和2x－3y＋3＝0的交点，且平行于直线y＝x的直线的一般式方程为________________． 3x－3y＋4＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 解 * 4．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点坐标： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：4x＋2y＋5＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋5＝0，,2x＋y－3＝0))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 * [名师点拨]　判断两条直线的位置关系，关键是看两条直线的方程组成的方程组的解的情况． 目录 1 2 3 4 5 6 7 解析 答案 * 知识点二　直线过定点问题 5．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－3x＋6＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限．故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 * [规律方法]　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(A1B2－A2B1≠0)，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 6．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线eq \f(2x,a)＋eq \f(y,2b)＝1过一定点，则定点坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) B．(1，3) C．(－3，－2) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，2)) 解析　∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴eq \f(1,2b)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3a).∵eq \f(2x,a)＋eq \f(y,2b)＝1，∴eq \f(2x,a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,3a)))y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋y＝0，,y－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝3，))∴定点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)). 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 知识点三　对称问题 7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2过定点(0，2)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 解 * 8．若光线沿直线7x－y－3＝0入射到直线2x－y＋2＝0后反射，求反射光线所在直线的方程． 解　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x－y－3＝0，,2x－y＋2＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，)) 即直线7x－y－3＝0与直线2x－y＋2＝0的交点为N(1，4)．在直线7x－y－3＝0上取点H(0，－3)，设点H(0，－3)关于2x－y＋2＝0的对称点为H′(m，n)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(m＋0,2)－\f(n－3,2)＋2＝0，,\f(n＋3,m－0)×2＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－1，))即H′(－4，－1)．因为kNH′＝eq \f(4＋1,1＋4)＝1，所以反射光线所在直线的方程为y－4＝x－1，即x－y＋3＝0. 30分钟综合练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 一、选择题 1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝(　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{(3，1)} D．∅ 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,2x－y－5＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))故A∩B＝{(3，1)}． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．(2023·长沙一中高二期末)过两条直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 解析　过两条直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直线方程为x－3y＋4－eq \f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 3．已知一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－y＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．2x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－17＝0 C．4x＋3y－17＝0 D．3x＋2y－12＝0 解析　设点P(－1，5)关于直线x－y＝0的对称点为P′(a，b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,a＋1)×1＝－1，,\f(a－1,2)－\f(b＋5,2)＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－1，))故反射光线所在直线过点P′(5，－1)与点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为4x＋3y－17＝0.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 解析　解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,x＋2y－5＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以l1与l2的交点M的坐标为(1，2)．三条直线不能围成三角形，有以下三种情况：①l3经过点M：1－2a－3＝0，a＝－1；②l3∥l1：－3a＝1×(－1)，a＝eq \f(1,3)；③l3∥l2：－a＝1×2，a＝－2.综上，a＝eq \f(1,3)或a＝－2或a＝－1. 4．[多选]已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的值可以是(　　) A．1 B．－2 C.eq \f(1,3) D．－1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 5．[多选]若直线l：y＝kx－eq \r(3)与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率k的取值可能为(　　) A．eq \f(\r(3),6) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(3),2) D．2 解析　易知直线l过定点(0，－eq \r(3))，画出图象如图所示，由图分析，可知直线l的斜率k＞kAB＝eq \f(\r(3),3)，结合选项，易知选CD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 －3 解析 答案 * 二、填空题 6．已知A＝{(x，y)|2x－y－1＝0}，B＝{(x，y)|x＋3y－11＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B)⊆C，则b＝________. 解析　A∩B＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0))))))＝{(2，3)}，把(2，3)代入y＝3x＋b，得b＝－3. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (－2，7) 解析 答案 * 7．点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是________． 解析　设点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是A′(m，n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋3,2)－\f(n＋2,2)＋4＝0，,\f(n－2,m－3)·1＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝7，))故点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是(－2，7)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解析 答案 * 8．(2023·河北保定高二期中)直线l和两条直线l1：x－3y＋10＝0及l2：2x＋y－8＝0都相交，且以这两个交点为端点的线段的中点是P(0，1)，则直线l的方程是______________，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为________． 解析　由直线l和两条直线l1，l2均有交点，知这两个交点必分别在l1，l2上，设两交点坐标分别为A(3y1－10，y1)，B(x2，－2x2＋8)．∵线段AB的中点是P(0，1)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3y1－10＝0，,－2x2＋8＋y1＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＝2，,x2＝4，))∴A，B两点的坐标分别为A(－4，2)，B(4，0)，∴过A，B的直线方程为x＋4y－4＝0，即直线l的方程为x＋4y－4＝0.令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝4，故直线l与坐标轴围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×4×1＝2. x＋4y－4＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * 三、解答题 9．在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，3)，D(4，6)，M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. (1)求直线CM的方程； (2)求点P的坐标． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　(1)设点C的坐标为(x，y)．在平行四边形ABCD中，因为线段AC与线段BD的中点重合，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,2)＝\f(7＋4,2)，,\f(1＋y,2)＝\f(3＋6,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝8，))所以C(10，8)． 因为M为AB的中点，所以点M的坐标为(4，2)． 因为C(10，8)，M(4，2)，所以直线CM的方程为x－y－2＝0. (2)因为B(7，3)，D(4，6)，所以直线BD的方程为x＋y－10＝0. 联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,x＋y－10＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4，))所以点P的坐标为(6，4)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * 10．某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0.若在河边l上建一座供水站P，使其分别到A，B两镇的管道之和最省，则供水站P应建在什么地方？ 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站只能建在P处，才能使得所用管道最省． 设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)＋2×\f(b＋2,2)－10＝0，,\f(b－2,a－1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝6，)) 即A′(3，6)． 所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋y－24＝0，,x＋2y－10＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(38,11)，,y＝\f(36,11).)) 所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,11)，\f(36,11))). 故供水站P应建在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,11)，\f(36,11)))处． 目录 　　　　　　　　　　　　　 R $$