1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

目录 第一章　空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 15分钟对点练 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 知识点一　空间中点、直线和平面的向量,表示) 1．[多选]由下列各式，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.eq \o(OP,\s\up18(→))＝eq \o(OA,\s\up18(→))＋keq \o(AB,\s\up18(→)) B.eq \o(OP,\s\up18(→))＝eq \o(OB,\s\up18(→))＋keq \o(AB,\s\up18(→)) C.eq \o(OP,\s\up18(→))＝eq \o(OB,\s\up18(→))＋keq \o(OA,\s\up18(→)) D.eq \o(AP,\s\up18(→))＝eq \o(OP,\s\up18(→))＋keq \o(OB,\s\up18(→)) 解析　由点P在直线上的充要条件可知，选AB. 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 2．已知空间三点的坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　) A．1 B．－2 C．0 D．－1 解析　由题意，知eq \o(AP,\s\up18(→))＝(－4，x－1，2)，eq \o(AB,\s\up18(→))＝(－1，2，－1)，eq \o(AC,\s\up18(→))＝(－3，－2，3)．由A，B，C，P四点共面，则eq \o(AP,\s\up18(→))＝λeq \o(AB,\s\up18(→))＋μeq \o(AC,\s\up18(→))＝(－λ－3μ，2λ－2μ，－λ＋3μ)＝(－4，x－1，2)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－λ－3μ＝－4，,2λ－2μ＝x－1，,－λ＋3μ＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,μ＝1，,x＝1.))则实数x的值为1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 知识点二　直线的方向向量 3．[多选]已知一直线经过点A(2，3，2)，B(－1，0，5)，下列向量中是该直线的方向向量的是(　　) A．a＝(1，1，1) B．a＝(－1，－1，1) C．a＝(－3，－3，3) D．a＝(1，1，－1) 解析　由题意知，eq \o(AB,\s\up18(→))＝(－3，－3，3)，则与向量eq \o(AB,\s\up18(→))共线的非零向量均为该直线的方向向量．故选BCD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 解 * 4.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设eq \o(BC,\s\up18(→))＝a，eq \o(BD,\s\up18(→))＝b，eq \o(BA,\s\up18(→))＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线EF的一个方向向量． 解　eq \o(EF,\s\up18(→))＝eq \o(EA,\s\up18(→))＋eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(BF,\s\up18(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up18(→))－eq \o(BD,\s\up18(→)))－eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up18(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up18(→))－eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up18(→))－eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up18(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c，故直线EF的一个方向向量为eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c. 目录 1 2 3 4 5 6 7 [名师点拨]　求直线的方向向量的关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 　 * 目录 1 2 3 4 5 6 7 解析 答案 * 知识点三　平面的法向量 5．已知平面α内有两点M(－2，3，1)，N(2，4，1)，若平面α的一个法向量为n＝(6，a，6)，则a＝(　　) A．－eq \f(3,2) B．eq \f(3,2) C．－24 D．24 解析　由题意可得eq \o(MN,\s\up18(→))＝(4，1，0)，因为平面α的一个法向量为n＝(6，a，6)，所以n⊥eq \o(MN,\s\up18(→))，所以n·eq \o(MN,\s\up18(→))＝(6，a，6)·(4，1，0)＝6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24. 目录 1 2 3 4 5 6 7 答案 解析 * 6．(2023·广西河池高二联考)已知向量eq \o(OA,\s\up18(→))＝(1，2，3)，eq \o(OB,\s\up18(→))＝(2，m，3)，eq \o(OC,\s\up18(→))＝(4，2，k)，若eq \o(OA,\s\up18(→))是平面ABC的一个法向量，则mk＝(　　) A．3 B．2 C．6 D．4 解析　由题意可得eq \o(AB,\s\up18(→))＝eq \o(OB,\s\up18(→))－eq \o(OA,\s\up18(→))＝(1，m－2，0)，eq \o(AC,\s\up18(→))＝eq \o(OC,\s\up18(→))－eq \o(OA,\s\up18(→))＝(3，0，k－3)，又eq \o(OA,\s\up18(→))为平面ABC的一个法向量，∴eq \o(OA,\s\up18(→))·eq \o(AB,\s\up18(→))＝1×1＋2×(m－2)＋3×0＝2m－3＝0，解得m＝eq \f(3,2)，eq \o(OA,\s\up18(→))·eq \o(AC,\s\up18(→))＝1×3＋2×0＋3(k－3)＝3k－6＝0，解得k＝2，∴mk＝3.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 解 * 7.(2023·广东江门高二期末)如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面ABB1A1的一个法向量； (2)求平面MD1B的一个法向量． 解　(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1， 所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量． 目录 1 2 3 4 5 6 7 解 * (2)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1， 所以M(0，3，2)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)， 因此eq \o(MB,\s\up18(→))＝(3，0，－2)，eq \o(MD1,\s\up18(→))＝(0，－3，1)， 设n2＝(x，y，z)是平面MD1B的法向量， 则n2⊥eq \o(MB,\s\up18(→))，n2⊥eq \o(MD1,\s\up18(→))， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2·\o(MB,\s\up18(→))＝3x－2z＝0，,n2·\o(MD1,\s\up18(→))＝－3y＋z＝0，)) 取z＝3，则x＝2，y＝1. 于是n2＝(2，1，3)是平面MD1B的一个法向量． 目录 1 2 3 4 5 6 7 * [规律方法]　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量eq \o(AB,\s\up18(→))，eq \o(AC,\s\up18(→)). (3)列方程组：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up18(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up18(→))＝0))列出方程组． (4)解方程组． (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 30分钟综合练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 一、选择题 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则不能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A.eq \o(AA1,\s\up18(→)) B.eq \o(C1E,\s\up18(→)) C.eq \o(AB,\s\up18(→)) D.eq \o(A1A,\s\up18(→)) 解析　一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就是直线AA1的一个方向向量，故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　) A．(0，1，2) B．(3，6，9) C．(－1，－2，3) D．(3，6，8) 解析　由题意知，与a共线的非零向量都能作为平面γ的法向量，由(3，6，9)＝3(1，2，3)知，向量(3，6，9)与向量a＝(1，2，3)共线．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 3．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又eq \o(AB,\s\up18(→))＝(0，－1，1)，eq \o(BC,\s\up18(→))＝(－1，1，0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up18(→))·n＝－y＋z＝0，,\o(BC,\s\up18(→))·n＝－x＋y＝0，))∴x＝y＝z，又单位向量的模为1，故只有B符合题意． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 * 4．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果eq \o(PM,\s\up18(→))＝eq \o(PB1,\s\up18(→))＋7eq \o(BA,\s\up18(→))＋6eq \o(AA1,\s\up18(→))－4eq \o(A1D1,\s\up18(→))，那么点M必(　　) A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内 C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内 解析　因为eq \o(PM,\s\up18(→))＝eq \o(PB1,\s\up18(→))＋7eq \o(BA,\s\up18(→))＋6eq \o(AA1,\s\up18(→))－4eq \o(A1D1,\s\up18(→))＝eq \o(PB1,\s\up18(→))＋eq \o(BA,\s\up18(→))＋6eq \o(BA1,\s\up18(→))－4eq \o(A1D1,\s\up18(→))＝eq \o(PB1,\s\up18(→))＋eq \o(B1A1,\s\up18(→))＋6eq \o(BA1,\s\up18(→))－4eq \o(A1D1,\s\up18(→))＝eq \o(PA1,\s\up18(→))＋6(eq \o(PA1,\s\up18(→))－eq \o(PB,\s\up18(→)))－4(eq \o(PD1,\s\up18(→))－eq \o(PA1,\s\up18(→)))＝11eq \o(PA1,\s\up18(→))－6eq \o(PB,\s\up18(→))－4eq \o(PD1,\s\up18(→))，且11－6－4＝1，所以M，B，A1，D1四点共面，故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 * 5．[多选]在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(其中abc≠0)，定点P0(x0，y0，z0)，异于点P0的动点P(x，y，z)，则以下说法正确的是(　　) A．若u为直线PP0的方向向量，则eq \f(x－x0,a)＝eq \f(y－y0,b)＝eq \f(z－z0,c) B．若u为直线PP0的方向向量，则a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0 C．若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则eq \f(x－x0,a)＝eq \f(y－y0,b)＝eq \f(z－z0,c) D．若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 * 解析　eq \o(P0P,\s\up18(→))是直线P0P的一个方向向量，eq \o(P0P,\s\up18(→))＝(x－x0，y－y0，z－z0)，u为直线PP0的方向向量，则eq \f(x－x0,a)＝eq \f(y－y0,b)＝eq \f(z－z0,c)，A正确，B错误；P0P在平面α内，u为平面α的法向量，则u⊥eq \o(P0P,\s\up18(→))，所以u·eq \o(P0P,\s\up18(→))＝a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，C错误，D正确．故选AD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 解析 答案 * 二、填空题 6．(2023·天津河东区高二期中)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝________． 解析　∵直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，∴eq \o(AB,\s\up18(→))＝(－1，2－a，b－3)，且eq \f(－1,2)＝eq \f(2－a,－1)＝eq \f(b－3,3)，解得a＝eq \f(3,2)，b＝eq \f(3,2).∴a＋b＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2∶3∶(－4) 解析 答案 * 7．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1，\f(5,8)))是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝___________________． 解析　∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1，\f(5,8)))，∴eq \o(AB,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，－\f(7,4)))，eq \o(AC,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(7,4))).又平面α的法向量a＝(x，y，z)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up18(→))＝0，,a·\o(AC,\s\up18(→))＝0，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y－\f(7,4)z＝0，,－2x－y－\f(7,4)z＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)y，,z＝－\f(4,3)y，))∴x∶y∶z＝eq \f(2,3)y∶y∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)y))＝2∶3∶(－4)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 解析 答案 * 8．(2024·陕西榆林高二校考阶段练习)在空间直角坐标系Oxyz中，点M(2，0，2)在平面α内，且OM⊥α，N(a，b，c)为平面α内任意一点，则a＋c＝________． 解析　由题意知，eq \o(MN,\s\up18(→))＝(a－2，b，c－2)，根据OM⊥α可知，eq \o(OM,\s\up18(→))＝(2，0，2)是平面α的一个法向量，则eq \o(MN,\s\up18(→))·eq \o(OM,\s\up18(→))＝0，所以2(a－2)＋0×b＋2(c－2)＝0，整理可得a＋c＝4. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 * 三、解答题 9.如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设eq \o(AB,\s\up18(→))＝a，eq \o(AC,\s\up18(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up18(→))＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，分别求直线AD，AE的一个方向向量． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 解　eq \o(AD,\s\up18(→))＝eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(A1D,\s\up18(→))＝eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(A1C1,\s\up18(→))＋eq \o(C1D,\s\up18(→))＝eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(A1C1,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(C1B1,\s\up18(→))＝eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up18(→))－\f(1,2)\o(AC,\s\up18(→))))＝eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \o(AA1,\s\up18(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋c. eq \o(AE,\s\up18(→))＝eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \o(CE,\s\up18(→))＝eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up18(→))＝eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up18(→))＋\o(AA1,\s\up18(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up18(→)))) ＝eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up18(→))＝eq \f(3,4)b＋eq \f(1,2)c， 所以直线AE的一个方向向量是eq \f(3,4)b＋eq \f(1,2)c. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 * 10.(2023·河南南阳高二校考阶段练习)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC.建立适当的空间直角坐标系，并求出平面BED的一个法向量． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 解　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(0，2，1)， 则有eq \o(DE,\s\up18(→))＝(0，2，1)，eq \o(DB,\s\up18(→))＝(2，2，0)， 设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)， 则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up18(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up18(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＋z＝0，,2x＋2y＝0，)) 令x＝1，得y＝－1，z＝2， 故平面BED的一个法向量为n＝(1，－1，2)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 * 11.(2024·江苏镇江中学高二阶段考试)如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，点D在平面Oyz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求： (1)直线CD的一个方向向量； (2)平面ADC的一个法向量． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * 解　(1)在Rt△BCD中，BC＝2，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°， ∴CD＝BCcos30°＝eq \r(3)，BD＝BCsin30°＝1. 过D作DE⊥BC于点E， 则DE＝CDsin30°＝eq \f(\r(3),2)， OE＝OB－BDcos60°＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)， ∴点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))， 又C(0，1，0)， ∴eq \o(CD,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))， 即直线CD的一个方向向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,2)，\f(\r(3),2))). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 * (2)eq \o(AD,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－1，\f(\r(3),2)))， 设平面ADC的法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up18(→))·n＝0，,\o(CD,\s\up18(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)x－y＋\f(\r(3),2)z＝0，,－\f(3,2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，)) 取z＝eq \r(3)，可得y＝1，x＝eq \f(\r(3),3)， ∴平面ADC的一个法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1，\r(3))). 目录 　　　　　　　　　　　　　 R $$