1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

目录 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 15分钟对点练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 知识点一　空间向量的有关概念 1．下列说法中错误的是(　　) A．向量eq \o(AB,\s\up18(→))与eq \o(BA,\s\up18(→))的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 解析　共线的单位向量是相等向量或相反向量． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．[易错题]下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 解析　零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [易错分析]　本题容易忽略单位向量的方向，而认为所有单位向量都相等．注意两个向量相等的条件是方向相同且模相等，二者缺一不可． * 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 3．[多选](2023·北京首都师范大学附属中学高二阶段练习)下列命题中为真命题的是(　　) A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b C．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up18(→))＝eq \o(A1C1,\s\up18(→)) D．若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故A为假命题；对于B，向量相等即模相等和方向相同，故B为假命题；对于C，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，得eq \o(AC,\s\up18(→))＝eq \o(A1C1,\s\up18(→))，故C为真命题；对于D，根据向量相等的定义，明显成立，故D为真命题． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 4．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： (1)与eq \o(BB1,\s\up18(→))相等的向量； (2)与eq \o(BC1,\s\up18(→))相反的向量； (3)与eq \o(BA1,\s\up18(→))平行的向量． 解　(1)与eq \o(BB1,\s\up18(→))相等的向量为eq \o(AA1,\s\up18(→))，eq \o(CC1,\s\up18(→))，eq \o(DD1,\s\up18(→)). (2)与eq \o(BC1,\s\up18(→))相反的向量为eq \o(C1B,\s\up18(→))，eq \o(D1A,\s\up18(→)). (3)与eq \o(BA1,\s\up18(→))平行的向量为eq \o(A1B,\s\up18(→))，eq \o(CD1,\s\up18(→))，eq \o(D1C,\s\up18(→)). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 知识点二　空间向量的线性运算 5．如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则eq \o(MG,\s\up18(→))－eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))＝(　　) A．eq \f(3,2) eq \o(DB,\s\up18(→)) B．3eq \o(MG,\s\up18(→)) C．3eq \o(GM,\s\up18(→)) D．2eq \o(MG,\s\up18(→)) 解析　eq \o(MG,\s\up18(→))－eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))＝eq \o(MG,\s\up18(→))－(eq \o(AB,\s\up18(→))－eq \o(AD,\s\up18(→)))＝eq \o(MG,\s\up18(→))－eq \o(DB,\s\up18(→))＝eq \o(MG,\s\up18(→))＋eq \o(BD,\s\up18(→))＝eq \o(MG,\s\up18(→))＋2eq \o(MG,\s\up18(→))＝3eq \o(MG,\s\up18(→)).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 6．(2023·河北张家口高二期末)在三棱锥O－ABC中，M是OA的中点，P是△ABC的重心．设a＝eq \o(OA,\s\up18(→))，b＝eq \o(OB,\s\up18(→))，c＝eq \o(OC,\s\up18(→))，则eq \o(MP,\s\up18(→))＝(　　) A．eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b＋eq \f(1,3)c B．eq \f(1,3)a－eq \f(1,2)b＋c C．－eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c D．－a＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,2)c 解析　如图，取AB的中点D，连接CD，MC，OD，则eq \o(MP,\s\up18(→))＝eq \o(MC,\s\up18(→))＋eq \o(CP,\s\up18(→))＝(eq \o(OC,\s\up18(→))－eq \o(OM,\s\up18(→)))＋eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up18(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up18(→))))＋eq \f(2,3)(eq \o(OD,\s\up18(→))－eq \o(OC,\s\up18(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)a))＋eq \f(2,3) eq \o(OD,\s\up18(→))－eq \f(2,3)c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)a))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \o(OB,\s\up18(→)))－eq \f(2,3)c＝c－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,3)(a＋b)－eq \f(2,3)c＝－eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 答案 * 知识点三　向量共线 7．(2024·河北邢台月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在对角线D1B上，且D1E＝eq \f(1,3)EB，点F在棱D1C1上，若A，E，F三点共线，D1F＝λFC1，则λ＝________． 解析　因为eq \o(D1B,\s\up18(→))＝eq \o(D1A,\s\up18(→))＋eq \o(AB,\s\up18(→))＝eq \o(D1A,\s\up18(→))＋eq \o(D1C1,\s\up18(→))，又D1F＝λFC1，D1E＝eq \f(1,3)EB，所以4eq \o(D1E,\s\up18(→))＝eq \o(D1A,\s\up18(→))＋eq \f(λ＋1,λ) eq \o(D1F,\s\up18(→))，即eq \o(D1E,\s\up18(→))＝eq \f(1,4) eq \o(D1A,\s\up18(→))＋eq \f(λ＋1,4λ) eq \o(D1F,\s\up18(→))，因为A，E，F三点共线，所以eq \f(1,4)＋eq \f(λ＋1,4λ)＝1，解得λ＝eq \f(1,2). eq \f(1,2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 * 8.如图，在四面体ABCD中，M，N分别为△BCD，△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． 证明　设eq \o(AB,\s\up18(→))＝a，eq \o(AC,\s\up18(→))＝b，eq \o(AD,\s\up18(→))＝c，则eq \o(BG,\s\up18(→))＝eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \o(AG,\s\up18(→))＝eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AM,\s\up18(→))＝－a＋eq \f(1,4)(a＋b＋c)＝－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c，eq \o(BN,\s\up18(→))＝eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \o(AN,\s\up18(→))＝eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→)))＝－a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c＝eq \f(4,3) eq \o(BG,\s\up18(→))， ∴eq \o(BN,\s\up18(→))∥eq \o(BG,\s\up18(→)). 又BN∩BG＝B， ∴B，G，N三点共线． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 知识点四　向量共面 9.如图所示，在四面体OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量eq \o(OA,\s\up18(→))，eq \o(OB,\s\up18(→))，eq \o(OC,\s\up18(→))表示向量eq \o(MN,\s\up18(→))，eq \o(OG,\s\up18(→))； (2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面． 解　(1)eq \o(MN,\s\up18(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up18(→))， eq \o(OG,\s\up18(→))＝eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \o(AG,\s\up18(→))＝eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up18(→))＝eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(OD,\s\up18(→))－eq \o(OA,\s\up18(→)))＝eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up18(→))＋eq \o(OC,\s\up18(→)))－eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up18(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \o(OB,\s\up18(→))＋eq \o(OC,\s\up18(→)))． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * (2)证明：因为eq \o(GH,\s\up18(→))＝eq \o(OH,\s\up18(→))－eq \o(OG,\s\up18(→))＝eq \f(2,3) eq \o(OD,\s\up18(→))－eq \o(OG,\s\up18(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up18(→))＋eq \o(OC,\s\up18(→)))－eq \o(OG,\s\up18(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(OB,\s\up18(→))＋eq \o(OC,\s\up18(→)))－eq \f(1,3)(eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \o(OB,\s\up18(→))＋eq \o(OC,\s\up18(→)))＝－eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up18(→))， eq \o(MN,\s\up18(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up18(→))，所以eq \o(MN,\s\up18(→))＝eq \f(3,2) eq \o(GH,\s\up18(→)). 所以M，N，G，H四点共面． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 10．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足eq \o(OM,\s\up18(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up18(→)). (1)判断eq \o(MA,\s\up18(→))，eq \o(MB,\s\up18(→))，eq \o(MC,\s\up18(→))三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内． 解　(1)∵eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \o(OB,\s\up18(→))＋eq \o(OC,\s\up18(→))＝3eq \o(OM,\s\up18(→))， ∴eq \o(OA,\s\up18(→))－eq \o(OM,\s\up18(→))＝(eq \o(OM,\s\up18(→))－eq \o(OB,\s\up18(→)))＋(eq \o(OM,\s\up18(→))－eq \o(OC,\s\up18(→)))＝eq \o(BM,\s\up18(→))＋eq \o(CM,\s\up18(→)). ∴eq \o(MA,\s\up18(→))＝eq \o(BM,\s\up18(→))＋eq \o(CM,\s\up18(→))＝－eq \o(MB,\s\up18(→))－eq \o(MC,\s\up18(→)). ∴向量eq \o(MA,\s\up18(→))，eq \o(MB,\s\up18(→))，eq \o(MC,\s\up18(→))共面． (2)由(1)知向量eq \o(MA,\s\up18(→))，eq \o(MB,\s\up18(→))，eq \o(MC,\s\up18(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [名师点拨]　向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅要会正用，也要能够逆用它求参数的值． * 30分钟综合练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 * 一、选择题 1．以下说法正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b C．不相等的两个空间向量的模必不相等 D．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| 解析　长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故A错误；向量是不能比较大小的，故B错误；不相等的两个空间向量的模也可以相等，故C错误；由向量加法的几何意义可知D正确．故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 * 2．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析　记c＝2a－b，由共面向量的判定方法易知，a，b，c三个向量是共面向量．故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 * 3．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与eq \o(CD,\s\up18(→))相等的向量是(　　) A．eq \o(AB,\s\up18(→)) B．eq \o(A1C1,\s\up18(→)) C．eq \o(B1A1,\s\up18(→)) D．eq \o(AA1,\s\up18(→)) 解析　由于ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，所以|eq \o(CD,\s\up18(→))|＝|eq \o(B1A1,\s\up18(→))|，且eq \o(CD,\s\up18(→))与eq \o(B1A1,\s\up18(→))方向相同，故eq \o(B1A1,\s\up18(→))＝eq \o(CD,\s\up18(→)).故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 * 4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且eq \o(DF,\s\up18(→))＝αeq \o(AB,\s\up18(→))＋βeq \o(AC,\s\up18(→))，则(　　) A．α＝eq \f(1,2)，β＝－1 B．α＝－eq \f(1,2)，β＝1 C．α＝1，β＝－eq \f(1,2) D．α＝－1，β＝eq \f(1,2) 解析　根据向量加法的多边形法则以及已知可得，eq \o(DF,\s\up18(→))＝eq \o(DC,\s\up18(→))＋eq \o(CB,\s\up18(→))＋eq \o(BF,\s\up18(→))＝eq \f(1,2) eq \o(C1C,\s\up18(→))＋eq \o(CB,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA1,\s\up18(→))＝eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up18(→))＋eq \o(AB,\s\up18(→))－eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up18(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up18(→))－eq \o(AC,\s\up18(→))，∴α＝eq \f(1,2)，β＝－1.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 * 5．[多选]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为eq \o(AC1,\s\up18(→))的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \o(D1D,\s\up18(→)) B．eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(B1C1,\s\up18(→))＋eq \o(D1C1,\s\up18(→)) C．eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(C1C,\s\up18(→))＋eq \o(B1C1,\s\up18(→)) D．eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(DC,\s\up18(→))＋eq \o(B1C1,\s\up18(→)) 解析　对于A，eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \o(D1D,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \o(A1A,\s\up18(→))＝eq \o(A1C1,\s\up18(→))＋eq \o(A1A,\s\up18(→))＝eq \o(A1C,\s\up18(→))；对于B，eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(B1C1,\s\up18(→))＋eq \o(D1C1,\s\up18(→))＝eq \o(AD1,\s\up18(→))＋eq \o(D1C1,\s\up18(→))＝eq \o(AC1,\s\up18(→))；对于C，eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(C1C,\s\up18(→))＋eq \o(B1C1,\s\up18(→))＝eq \o(A1B,\s\up18(→))＋eq \o(B1C1,\s\up18(→))＝eq \o(A1B,\s\up18(→))＋eq \o(BC,\s\up18(→))＝eq \o(A1C,\s\up18(→))；对于D，eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(DC,\s\up18(→))＋eq \o(B1C1,\s\up18(→))＝eq \o(AB1,\s\up18(→))＋eq \o(B1C1,\s\up18(→))＝eq \o(AC1,\s\up18(→)). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平行四边形 解析 答案 * 二、填空题 6．在四边形ABCD中，若eq \o(AC,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))，则四边形ABCD的形状一定是________． 解析　因为eq \o(AC,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))，所以四边形ABCD是以AB与AD为邻边，AC为对角线的平行四边形． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 * 7.(2024·广东东莞高二校考阶段练习)如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设eq \o(OA,\s\up18(→))＝a，eq \o(OB,\s\up18(→))＝b，eq \o(OC,\s\up18(→))＝c，用a，b，c表示eq \o(OP,\s\up18(→))＝_______________． 解析　eq \o(OP,\s\up18(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OM,\s\up18(→))＋eq \o(ON,\s\up18(→)))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(OA,\s\up18(→))＋\f(1,2)（\o(OB,\s\up18(→))＋\o(OC,\s\up18(→))）))＝eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up18(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OB,\s\up18(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OC,\s\up18(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c. eq \f(1,3)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 解析 答案 * 8．(2024·济南一中高二月考)在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up18(→))－eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up18(→))－eq \o(AD,\s\up18(→))的结果为________． 解析　如图，延长DE交边BC于点F，连接AF，则eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up18(→))＝eq \o(AF,\s\up18(→))，eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))＝eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \o(DF,\s\up18(→))＝eq \o(AF,\s\up18(→))，故eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up18(→))－eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up18(→))－eq \o(AD,\s\up18(→))＝eq \o(AF,\s\up18(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(DE,\s\up18(→))＋\o(AD,\s\up18(→))))＝eq \o(AF,\s\up18(→))－eq \o(AF,\s\up18(→))＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 * 三、解答题 9.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE.求证：向量eq \o(MN,\s\up18(→))，eq \o(CD,\s\up18(→))，eq \o(DE,\s\up18(→))共面． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 * 证明　因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD， 所以eq \o(MB,\s\up18(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up18(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up18(→)). 同理eq \o(AN,\s\up18(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up18(→)). 所以eq \o(MN,\s\up18(→))＝eq \o(MB,\s\up18(→))＋eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \o(AN,\s\up18(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up18(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up18(→))))＋eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up18(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up18(→))))＝eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up18(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up18(→)). 又eq \o(CD,\s\up18(→))与eq \o(DE,\s\up18(→))不共线， 根据向量共面的充要条件可知，向量eq \o(MN,\s\up18(→))，eq \o(CD,\s\up18(→))，eq \o(DE,\s\up18(→))共面． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 * 10．如图，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中： (1)化简eq \o(A1F1,\s\up18(→))－eq \o(EF,\s\up18(→))－eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \o(FF1,\s\up18(→))＋eq \o(CD,\s\up18(→))＋eq \o(F1A1,\s\up18(→))，并在图中标出化简结果； (2)化简eq \o(DE,\s\up18(→))＋eq \o(E1F1,\s\up18(→))＋eq \o(FD,\s\up18(→))＋eq \o(BB1,\s\up18(→))＋eq \o(A1E1,\s\up18(→))，并在图中标出化简结果． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 * 解　(1)eq \o(A1F1,\s\up18(→))－eq \o(EF,\s\up18(→))－eq \o(BA,\s\up18(→))＋eq \o(FF1,\s\up18(→))＋eq \o(CD,\s\up18(→))＋eq \o(F1A1,\s\up18(→))＝eq \o(AF,\s\up18(→))＋eq \o(FE,\s\up18(→))＋eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(BB1,\s\up18(→))＋eq \o(CD,\s\up18(→))＋eq \o(DC,\s\up18(→))＝eq \o(AE,\s\up18(→))＋eq \o(AB1,\s\up18(→))＋0＝eq \o(AE,\s\up18(→))＋eq \o(ED1,\s\up18(→))＝eq \o(AD1,\s\up18(→)). eq \o(AD1,\s\up18(→))在图中所示如下： (2)eq \o(DE,\s\up18(→))＋eq \o(E1F1,\s\up18(→))＋eq \o(FD,\s\up18(→))＋eq \o(BB1,\s\up18(→))＋eq \o(A1E1,\s\up18(→))＝eq \o(DE,\s\up18(→))＋eq \o(EF,\s\up18(→))＋eq \o(FD,\s\up18(→))＋eq \o(BB1,\s\up18(→))＋eq \o(B1D1,\s\up18(→))＝0＋eq \o(BD1,\s\up18(→))＝eq \o(BD1,\s\up18(→)). eq \o(BD1,\s\up18(→))在图中所示如下： 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 * 11．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(C1C,\s\up18(→))＝2eq \o(EC,\s\up18(→))，eq \o(A1C,\s\up18(→))＝3eq \o(FC,\s\up18(→)). (1)求证：A，F，E三点共线； (2)若点G是平行四边形B1BCC1的中心，求证：D，F，G三点共线． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 * 证明　(1)由题意，eq \o(C1C,\s\up18(→))＝2eq \o(EC,\s\up18(→))，eq \o(A1C,\s\up18(→))＝3eq \o(FC,\s\up18(→))， 故eq \o(AF,\s\up18(→))＝eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(A1F,\s\up18(→))＝eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up18(→))＝eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))－eq \o(AA1,\s\up18(→)))＝eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up18(→))＝eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up18(→))＋\o(AD,\s\up18(→))＋\f(1,2)\o(AA1,\s\up18(→))))， eq \o(AE,\s\up18(→))＝eq \o(AC,\s\up18(→))＋eq \o(CE,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up18(→))， 故eq \o(AF,\s\up18(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AE,\s\up18(→))，由于eq \o(AF,\s\up18(→))，eq \o(AE,\s\up18(→))有公共点A， 故A，F，E三点共线． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 * (2)由题意，点G是平行四边形B1BCC1的中心， 故eq \o(DF,\s\up18(→))＝eq \o(DC,\s\up18(→))＋eq \o(CF,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))－eq \f(1,3) eq \o(A1C,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))－eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(AD,\s\up18(→))－eq \o(AA1,\s\up18(→)))＝eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up18(→))－eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up18(→))＝eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up18(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up18(→))＋\f(1,2)\o(AA1,\s\up18(→))))， eq \o(DG,\s\up18(→))＝eq \o(DC,\s\up18(→))＋eq \o(CG,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CB1,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up18(→))－eq \o(AD,\s\up18(→)))， 故eq \o(DF,\s\up18(→))＝eq \f(2,3) eq \o(DG,\s\up18(→))，因为eq \o(DF,\s\up18(→))，eq \o(DG,\s\up18(→))有公共点D，故D，F，G三点共线． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 * 12.(2023·山东枣庄高二统考期中)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝eq \f(1,3)AA1，CN＝eq \f(1,3)CC1.求证：D，M，B1，N共面． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 * 证明　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，连接MD，DN，NB1，B1M， 因为A1M＝eq \f(1,3)AA1， CN＝eq \f(1,3)CC1， 所以eq \o(MB1,\s\up18(→))＝eq \o(MA1,\s\up18(→))＋eq \o(A1B1,\s\up18(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(A1B1,\s\up18(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(AB,\s\up18(→))， eq \o(DN,\s\up18(→))＝eq \o(DC,\s\up18(→))＋eq \o(CN,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \f(1,3) eq \o(CC1,\s\up18(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up18(→))＋eq \o(AB,\s\up18(→))， 所以eq \o(DN,\s\up18(→))＝eq \o(MB1,\s\up18(→))，即DN＝MB1且DN∥MB1， 所以D，M，B1，N共面． 目录 　　　　　　　　　　　　　 R $$