本册综合测评-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 本册综合测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x B．y＝2－x C．y＝logx D．y＝ 答案：A 解析：y＝x在(0，＋∞)上单调递增，y＝2－x＝，y＝logx，y＝在(0，＋∞)上均单调递减．故选A. 2．lg 2－lg －eln 2－＋的值为(　　) A．－1 B． C．3 D．－5 答案：A 解析：原式＝lg 2＋lg 5－2－2＋2＝lg 10－2＝1－2＝－1.故选A. 3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　) A．30 B．25 C．20 D．15 答案：C 解析：抽样比是＝，则样本中松树苗的数量为×4000＝20. 4．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 解析：由于向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，则a－2b＝(，3)，由于a－2b与c共线，则×＝3k，所以k＝1.故选D. 5．已知a＝5 log23.4，b＝5 log43.6，c＝0.3，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b 答案：C 解析：∵－log30.3＝log3>1，且<3.4，∴log3<log33.4<log23.4.∵log43.6<1，log3>1，∴log43.6<log3.∵y＝5x为增函数，∴5log23.4>5log3>5log43.6，即5log23.4>0.3>5log43.6，故a>c>b. 6．电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意，可知从A到C未连通的概率是＝，连通的概率是1－＝.从E到F连通的概率是＝，未连通的概率是1－＝，故从C到B未连通的概率是＝，故从C到B连通的概率是1－＝，故从A到B连通的概率是×＝.故选B. 7．函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　) 答案：B 解析：∵y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除C；当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除A，D.故选B. 8．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天蓄水池中的存水量最少的时刻为(　　) A．4时 B．时 C．时 D．时 答案：D 解析：设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝60＋150，∴当u＝，即t＝时，蓄水池中的存水量最少． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，6，7，8，9，则(　　) A．这组数据的极差是6 B．这组数据的平均数是5 C．这组数据的70%分位数是6 D．这组数据的方差是3.5 答案：AD 解析：极差为9－3＝6，故A正确；平均数＝＝6，故B错误；因为8×70%＝5.6，所以第6个数7为70%分位数，故C错误；s2＝×[(3－6)2＋(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(9－6)2]＝3.5，故D正确．故选AD. 10．某小区居委会为了了解居民对居委会工作的满意度，从小区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分)，根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在[80，100]内的居民有180人．则以下说法正确的是(　　) A．a＝0.025 B．调查的总人数为4000 C．从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数 D．根据以上抽样调查数据，可以认为该小区居民对居委会工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体居民的20%”的规定 答案：ACD 解析：由频率分布直方图知，(0.002＋0.004＋0.014＋0.020＋0.035＋a)×10＝1，即10×(0.075＋a)＝1，解得a＝0.025，故A正确；设总共调查了n人，则＝(0.035＋0.025)×10，解得n＝300，即调查的总人数为300，故B错误；由(0.002＋0.004＋0.014＋0.020)×10＝0.4<0.5，0.4＋0.035×10＝0.75>0.5，得中位数位于区间[80，90]内，设中位数为m，则0.4＋(m－80)×0.035＝0.5，解得m＝，由频率分布直方图知各段的频率分别为0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，设平均数为，则＝45×0.02＋55×0.04＋65×0.14＋75×0.20＋85×0.35＋95×0.25＝80.7，＞80.7，故C正确；评分在[40，70]的居民占调查总人数的20%，故D正确． 11．设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f(x)满足：①f(x)在[a，b]上是单调函数；②f(x)在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f(x)的“和谐区间”．下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)＝x2(x≥0)存在“和谐区间” B．函数f(x)＝2x(x∈R)存在“和谐区间” C．函数f(x)＝(x≥0)存在“和谐区间” D．函数f(x)＝ln (ex＋1)存在“和谐区间” 答案：ABC 解析：对于A，当x≥0时，f(x)＝x2在[0，2]上是增函数，且f(x)在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在“和谐区间”，A正确；对于B，当x∈R时，f(x)＝2x在[1，2]上是增函数，且f(x)在[1，2]上的值域是[2，4]，∴存在“和谐区间”，B正确；对于C，f(x)＝在[0，1]上为增函数，且f(x)在[0，1]上的值域为[0，2]，∴存在“和谐区间”，C正确；对于D，f(x)＝ln (ex＋1)是增函数，假设存在[a，b]满足题意，则f(a)＝2a，且f(b)＝2b，即ln (ea＋1)＝2a，且ln (eb＋1)＝2b，∴e2a－ea－1＝0，且e2b－eb－1＝0，∴ea，eb为方程x2－x－1＝0的两个不同正根，又易知方程x2－x－1＝0的两根一正一负，∴假设不成立，即函数不存在“和谐区间”，D错误．故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则的值为________，甲这5次测验的数学分数的75%分位数为________． 答案：6　91 解析：乙的中位数为90，设的值为x，所以90＝，解得x＝6.将甲这5次测验的数学分数由小到大排列为86，88，89，91，96，因为5×75%＝3.75，所以甲这5次测验的数学分数的75%分位数为91. 13．已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现从口袋中随机逐个取出两个球，则取出的两个球是一黑一白的概率是________． 答案： 解析：记3个白球为A1，A2，A3，1个黑球为B，所有样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，B)，(B，A1)，(B，A2)，(B，A3)，共12个，其中取出的两个球是一黑一白的有6个，所以取出的两个球是一黑一白的概率是. 14．已知函数h(x)＝(0≤x≤2)的图象与函数f(x)＝log2x及函数g(x)＝2x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋x的值为________． 答案：4 解析：因为函数f(x)＝log2x与g(x)＝2x互为反函数，所以图象关于直线y＝x对称，又函数h(x)＝(0≤x≤2)的反函数为其本身，所以图象也关于直线y＝x对称，且与函数f(x)＝log2x及函数g(x)＝2x的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以y1＝x2，从而点A的坐标为(x1，x2)．由题意得点(x1，x2)在函数h(x)＝(0≤x≤2)的图象上，所以x2＝，所以x＋x＝4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值； (2)若向量d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求向量d的坐标． 解：(1)由已知条件以及a＝mb＋nc， 可得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)．∴解得 (2)设向量d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)． ∵(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝， ∴ 解得或 ∴向量d的坐标为(3，－1)或(5，3)． 16．(本小题满分15分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求“星队”至少猜对3个成语的概率． 解：记事件A：“甲第一轮猜对”， 记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”， 记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC， 由事件的独立性与互斥性，得 P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)·P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()·P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)·P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. 17．(本小题满分15分)如图，平行四边形ABCD中，＝，N为线段CD的中点，E为线段MN上的点且＝2. (1)若＝λ＋μ，求λμ的值； (2)延长MN，AD交于点P，F在线段NP上(包含端点)，若＝t＋(1－t)，求实数t的取值范围． 解：(1)∵＝2，∴－＝2(－)，∴＝＋， 由已知，得＝＋，＝＋，∴＝＋，∴λ＝，μ＝，∴λμ＝. (2)∵DP∥MC，N为CD的中点， 易证△DNP≌△CNM，则＝， 设＝k，则1≤k≤2， ∵－＝k(－)，∴＝(1－k)·＋k，∵＝t＋(1－t)，∴1－k＝t，k＝1－t，∴1≤1－t≤2，∴－1≤t≤0， ∴实数t的取值范围为[－1，0]． 18．(本小题满分17分)某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组[55，60)，第二组[60，65)，…，第八组[90，95]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．已知第一组和第八组的人数相同，第七组的人数为3. (1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数(精确到0.1)； (2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x，y，从下面两个条件中选一个，求事件E的概率P(E)． ①事件E：|x－y|∈[0，5]； ②事件E：|x－y|∈(5，15]． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)由频率分布直方图，得第一组的频率为0.008×5＝0.04， 第二组的频率为0.016×5＝0.08， 第三组的频率为0.040×5＝0.2， 第四组的频率为0.040×5＝0.2， 第五组的频率为0.060×5＝0.3， 第七组的频率为＝0.06， 所以第六组的频率为1－0.04×2－0.08－0.2×2－0.3－0.06＝0.08， 由于0.04＋0.08＋0.2＋0.2＋0.3＝0.82＜0.85， 0．82＋0.08＝0.9＞0.85， 设优秀成绩的最低分数为x，则80≤x＜85， 则0.08÷5×(x－80)＝0.03，解得x≈81.9， 所以优秀等级的最低分数为81.9. (2)因为成绩在第六组的频率是0.08， 所以第六组[80，85)抽取的人数为0.08×50＝4， 设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组[90，95]抽取的人数为0.04×50＝2，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名学生，其样本空间为{ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB}，共包含15个样本点． 若选择条件①： 由题意知，事件E发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组， 所以事件E包含的样本点为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7个，所以P(E)＝. 若选择条件②： 由题意知，事件E发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，所以事件E包含的样本点为aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，共8个，所以P(E)＝. 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x>0时，f(x)>0. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2，6]上的最值； (3)是否存在实数m，使f(2(log2x)2－4)＋f(4m－2log2x)>0对任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：令x＝0，y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (2)任取x1，x2∈R，且x1<x2， ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)为奇函数， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)． ∵当x>0时，f(x)>0，且x1<x2， ∴f(x2－x1)>0，即f(x2)>f(x1)， ∴f(x)为增函数， ∴当x＝－2时，函数有最小值， f(x)最小值＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－2×＝－1. 当x＝6时，函数有最大值， f(x)最大值＝f(6)＝6f(1)＝6×＝3. (3)存在． ∵函数f(x)为奇函数， ∴不等式f(2(log2x)2－4)＋f(4m－2log2x)>0， 可化为f(2(log2x)2－4)>f(2log2x－4m)． 又f(x)为R上的增函数， ∴2(log2x)2－4>2log2x－4m. 令t＝log2x，若x∈[1，2]，则0≤t≤1， 问题转化为2t2－4>2t－4m在t∈[0，1]上恒成立， 即4m>－2t2＋2t＋4对任意t∈[0，1]恒成立， 令y＝－2t2＋2t＋4， 则y＝－2t2＋2t＋4＝－2＋(0≤t≤1)， ∴当t＝时，y最大值＝， 则4m>，m>. ∴实数m的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$