5.1.2 数据的数字特征-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 5．1.2　数据的数字特征 知识点一　最值 1．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则这组数据的最大值和最小值分别是(　　) A．15，17 B．10，17 C．12，17 D．17，10 答案：D 解析：这组数据的最大值是17，最小值是10.故选D. 知识点二　平均数 2．在某项比赛中，七位评委给某位选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93.若计分规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分，则该选手的最后得分为(　　) A．90分 B．91分 C．92分 D．93分 答案：C 解析：去掉一个最高分95分与一个最低分89分后，所得的5个得分分别是90，90，93，94，93，所以该选手的最后得分为＝＝92(分)．故选C. 3．某小区有1000户家庭，每户家庭的人口数如下表： 每户家庭人口数 1 2 3 4 5 6 7 户数 156 181 320 236 69 24 14 则该小区每户家庭平均人口数为________． 答案：3.009 解析：由已知得平均人口数＝＝3.009. 知识点三　中位数、百分位数、众数 4．某校年级组长为了解本校高三一模考试的数学成绩，随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示： 110 144 125 63 89 121 145 123 74 96 97 142 115 68 83 116 139 124 85 98 132 147 128 133 99 117 107 113 96 141 则这30名学生的一模数学成绩的中位数为________，25%分位数为________，70%分位数为________． 答案：115.5　96　126.5 解析：把这30名学生的数学成绩按从小到大顺序排列为63，68，74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113，115，116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142，144，145，147.因为处于中间位置的两个数为115，116，所以这30名学生的一模数学成绩的中位数为＝115.5.因为25%×30＝7.5，70%×30＝21，所以这30名学生的一模数学成绩的25%分位数为96，70%分位数为＝126.5. 5．某商场一天中售出某品牌运动鞋20双，其中各种尺码鞋的销量如下表所示： 鞋的尺码/cm 23.5 24 24.5 25 25.5 26 销售量/双 3 4 4 7 1 1 则这20双鞋的尺码组成的一组数据中，众数是________，中位数是________，在众数和中位数中，商场最感兴趣的是________． 答案：25　24.5　众数 解析：因为这组数据中，25出现的次数最多，所以这组数据的众数是25；将该组数据从小到大排列后，处于中间位置的是第10个数和第11个数，均为24.5，故该组数据的中位数是24.5；在众数和中位数中，商场最感兴趣的是众数． 知识点四　极差、方差与标准差 6．[多选]下列说法正确的是(　　) A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大 B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小 C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平不稳定 答案：BD 解析：平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小，所以B正确；方差公式s2＝ (xi－)2，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D正确．故选BD. 7．下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度： 时刻/时 4 8 12 16 20 24 温度/℃ 甲地 －5 7 15 14 －4 －3 乙地 1 4 10 7 2 0 计算这两组温度数据的平均数、极差和标准差(标准差精确到0.1)． 解：①甲＝×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4； 乙＝×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4. ②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20； 乙地温度极差＝10－0＝10. ③标准差：s甲＝ ≈8.4； s乙＝ ≈3.5. 一、单项选择题 1．在一次“爱心互助”捐款活动中，高一某班第一小组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示： 金额/元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 则这8名同学捐款金额的最大值、最小值、平均数分别为(　　) A．10，5，3.5 B．10，5，6 C．10，5，6.5 D．10，5，7 答案：C 解析：这8名同学捐款金额的最大值为10，最小值为5，平均数为＝6.5.故选C. 2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数、中位数和75%分位数分别为(　　) A．84，68，83 B．84，78，83 C．84，81，84 D．78，81，84 答案：C 解析：将所给数据按从小到大的顺序排列是68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81.因为10×75%＝7.5，所以这一组数据的75%分位数为84.故选C. 3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　) A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6 答案：D 解析：每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变． 4．(2024·河南洛阳阶段练习)在高一新生入学时，某班体育委员统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转来一位新同学，若该同学中考体育成绩恰好是这个班级之前中考体育成绩的平均分，则在这位同学转来之后，该班级的中考体育成绩的(　　) A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大 C．平均分变大，方差变小 D．平均分变小，方差变大 答案：A 解析：设该班原有n位同学，中考体育成绩的平均分为，方差为s2，则＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，故x1＋x2＋…＋xn＝n，(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2＝ns2，则转来一位新同学后，该班中考体育成绩的平均分为＝＝，方差为[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2＋(－)2]＝<s2，故该班中考体育成绩的平均分不变，方差变小．故选A. 5．(2024·辽宁阶段练习)某校学生会皮尔逊统计小组联合李比希有机化学小组对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是(　　) A．这组数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．这组数据中可能有极端大的值 D．这组数据中的众数可能和中位数相同 答案：B 解析：如果这组数据中较小的数个数较多，而大数很大，且个数较少，则中位数比平均数小很多，可能众数和中位数相同，故A，C，D可能发生；若这组数据是近似对称的，则这组数据的中位数与平均数相同或相近，故B错误．故选B. 二、多项选择题 6．(2024·河南南阳高一期末)已知100个数据的中位数是8，则下列说法错误的是(　　) A．这100个数据中一定有且仅有50个数小于或等于8 B．把这100个数据从小到大排列后，8是第50个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，8是第50个和第51个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，8是第50个和第49个数据的平均数 答案：ABD 解析：若这100个数都是8，则这100个数据的中位数是8，故A错误；因为100为偶数，所以第50个和第51个数据的平均数为中位数，故C正确，B，D错误．故选ABD. 7．一组实数满足a≤b≤c≤d≤e≤f≤g，则(　　) A．这组数据的60%分位数是d B．b，c，d，e，f的极差不超过a，b，c，d，e，f，g的极差 C．b，c，d，e，f的平均数不超过a，b，c，d，e，f，g的平均数 D．b，c，d，e，f的标准差不超过a，b，c，d，e，f，g的标准差 答案：BD 解析：依题意可知，这组数据从小到大排列为a，b，c，d，e，f，g，因为7×60%＝4.2，所以这组数据的60%分位数是第5个数e，故A错误；因为b，c，d，e，f的极差为f－b，a，b，c，d，e，f，g的极差为g－a，且g－a－(f－b)＝(g－f)＋(b－a)≥0，则g－a≥f－b，故B正确；例如1，4，4，4，4，4，5的平均数为×(1＋4＋4＋4＋4＋4＋5)＝，4，4，4，4，4的平均数为×(4＋4＋4＋4＋4)＝4，且<4，即b，c，d，e，f的平均数可能会超过a，b，c，d，e，f，g的平均数，故C错误；因为a，g分别为数据中的最小值和最大值，剔除最大值和最小值后，b，c，d，e，f的波动性不超过a，b，c，d，e，f，g的波动性，所以b，c，d，e，f的标准差不超过a，b，c，d，e，f，g的标准差，故D正确．故选BD. 三、填空题 8．将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37，若该组数据的30%分位数为19，则a＝________． 答案：21 解析：这组数据有10个数，所以10×30%＝3，则该组数据的30%分位数为，故＝19，解得a＝21. 9．某班8名学生的体重(单位：kg)分别是42，48，40，47，43，58，47，45，则这组数据的极差是________，中位数是________，25%分位数是________． 答案：18　46　42.5 解析：因为所给数据的最大值是58，最小值是40，所以极差是58－40＝18.将所给数据按从小到大的顺序排列是40，42，43，45，47，47，48，58.因为这组数据共8个，处于中间位置的是第4个数和第5个数，故这组数据的中位数是＝46.因为8×25%＝2，所以这组数据的25%分位数是＝42.5. 10．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据． 观测序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据ai 40 41 43 43 44 46 47 48 上述统计数据的平均数是________，方差是________． 答案：44　7 解析：统计数据的平均数为×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，方差为×[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7. 四、解答题 11．某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下： 甲：104，101，97，98，103，98，99； 乙：110，115，90，85，75，115，110. (1)写出甲车间所抽查数据的中位数和众数； (2)计算甲、乙两个车间所抽查数据的平均数与方差． 解：(1)由甲车间所抽查数据可知其中位数为99，众数为98. (2)甲＝×(104＋101＋97＋98＋103＋98＋99)＝100， 乙＝×(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100， s＝×(16＋1＋9＋4＋9＋4＋1)＝， s＝×(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝. 12．某销售公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示(单位：万元)： 部门 A B C D E F G 人数 1 1 2 1 5 3 20 每人所创年利润 5.5 5 3.5 3 2.5 2 1.5 (1)求该公司职工每人所创年利润的平均数、中位数、众数、极差(平均数精确到0.1)； (2)假设部门A所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数、极差又是多少(平均数精确到0.1)? (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？ 解：(1)＝≈2.1，中位数为1.5，众数为1.5，极差为4. (2)1＝≈3.3，中位数为1.5，众数为1.5，极差为28.5. (3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平． 13．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为(　　) A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 答案：D 解析：平均数′＝3－2＝3×2－2＝4，方差s′2＝9s2＝9×＝3. 14．(2024·湖南邵阳期中)如果将一组数据5，4，6，5，4，13，5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是(　　) A．中位数和众数都是5 B．众数是10 C．中位数是4 D．中位数、平均数都是5 答案：A 解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的数是5，每个数重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5，这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，B，C错误；平均数为＝6，故D错误．故选A. 15．(2024·山东潍坊高一期末)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列叙述一定没有发生大规模群体感染的是________． ①众数为1且中位数为4；②平均数为3且极差小于或等于2；③标准差为且平均数为2；④平均数为2且中位数为3. 答案：②③④ 解析：根据题意，设连续7天数据中，最小值为a，最大值为b，依次分析：对于①，数据1，1，1，4，5，6，7满足众数为1且中位数为4，但不满足“每天新增疑似病例不超过5人”，不符合题意；对于②，若数据的平均数为3，其数据的最小值a≤3，又极差小于或等于2，故数据中的最大值b≤5，符合题意；对于③，标准差为，则其方差为2，假设b≥6，则方差大于＝＞2，与标准差为矛盾，故必有b≤5，符合题意；对于④，假设b≥6，由于其中位数为3，则平均数的最小值为×(0＋0＋0＋3＋3＋3＋6)＝＞2，与平均数为2矛盾，故必有b≤5，符合题意． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$