4.5 增长速度的比较-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 知识点一　函数的平均变化率 1．函数y＝2x＋1在区间[1，2]上的平均变化率为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为＝2.故选C. 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：＝＝－1.故选B. 3．在对数函数y＝log2x的图象上，从x＝2到x＝4的平均变化率是________．此变化率的几何意义是________________________． 答案：　过对数函数y＝log2x图象上两点(2，1)，(4，2)的直线的斜率 解析：从x＝2到x＝4的平均变化率为＝＝.此变化率的几何意义是过对数函数y＝log2x图象上两点(2，1)，(4，2)的直线的斜率． 知识点二　平均变化率的大小比较 4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，若这两个函数在区间[1，4]上的平均变化率分别为k1，k2，则k1________k2(填“>”“<”或“＝”)． 答案：> 解析：k1＝＝＝，所以函数f(x)＝3x在区间[1，4]上的平均变化率为＝26.k2＝＝＝，所以函数g(x)＝log2x在区间[1，4]上的平均变化率为＝＝.故k1>k2. 5．函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大． 答案：3 解析：在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.对任意Δx有k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大． 6．(2024·河南洛阳期末)婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快． 答案：一 解析：∵＝＝0.625，＝＝0.25，∴＞，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快． 知识点三　函数平均变化率的应用 7．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间上的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间上的平均变化率大，则f(5)－f(2)________9.(用“＞”“＜”或“＝”填空) 答案：＞ 解析：函数g(x)＝3x－4在任意区间上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在[2，5]上的平均变化率大于3.即＝>3，所以f(5)－f(2)>9. 8．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，如图是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 解：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝，∴hBC>hAB.∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多． 一、单项选择题 1．函数f(x)＝从x＝到x＝2的平均变化率为(　　) A．2 B． C． D． 答案：B 解析：由题意知函数f(x)＝从x＝到x＝2的增量为Δf＝f(2)－f＝－＝2－1＝1，∴f(x)＝从x＝到x＝2的平均变化率为＝＝.故选B. 2．(2024·河北沧衡八校联盟期中)已知函数f(x)＝x2＋1，则f(x)在[1，1＋Δx]上的平均变化率为(　　) A．2＋Δx B．2Δx C．2 D．3 答案：A 解析：f(x)在[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝＝2＋Δx.故选A. 3．(2024·山东济南期末)下列函数增长速度最快的是(　　) A．y＝1.1x B．y＝2024x2 C．y＝log2024x D．y＝2024x 答案：A 解析：y＝1.1x为单调递增的指数函数，y＝2024x2为二次函数，y＝log2024x为单调递增的对数函数，y＝2024x为单调递增的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．故选A. 4．(2024·河北九师联盟月考)某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等．在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段内的增长量相等，设为M，则M＝v1t1＝v2t2＝v3t3，整个时段内的平均增长速度为＝＝.故选D. 5．为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；②在[0，t1]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；③在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③④ C．②③ D．①③ 答案：D 解析：对于①，在t1时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；对于②，根据图象可知，在[0，t1]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不同，故②错误；对于③，根据图象可知，在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，故③正确；对于④，根据图象可知，在[t1，t2]这个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化率大于在[t2，t3]这个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化率，故④错误．故选D. 二、多项选择题 6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为，在[x2，x3]上的平均变化率为2，则下列叙述正确的是(　　) A．直线AB的斜率为－ B．直线BC的斜率为2 C．直线AB的斜率大于直线BC的斜率 D．直线AB的斜率小于直线BC的斜率 答案：BD 解析：函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是直线AB的斜率，为，在[x2，x3]上的平均变化率就是直线BC的斜率，为2.故选BD. 7．已知a>1，函数f(x)＝ln x，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是大于1 B．函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是小于1 C．函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而增大 D．函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而减小 答案：BD 解析：＝＝ln (a＋1)－ln a＝ln ＝ln ，因为a>1，所以ln <ln (1＋1)＝ln 2<1，所以A错误，B正确；又当a>1时，1＋随着a的增大而减小，ln 随着1＋的减小而减小，所以随着a的增大而减小，所以C错误，D正确． 三、填空题 8．函数f(x)＝xex在区间[1，3]上的平均变化率为________． 答案： 解析：＝＝. 9．设函数f(x)＝3x与g(x)＝3x在[a，a＋1]上的平均变化率分别为k1，k2，当k2>k1时，实数a的取值范围为________． 答案： 解析：对于f(x)＝3x，k1＝＝＝3，对于g(x)＝3x，k2＝＝＝2×3a，当k2>k1，即2×3a>3时，得a>log3，所以a∈. 10．(2024·广西玉林期中)甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点．若甲、乙两车的位移s关于时间t的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是________． ①丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域；②丙在Ⅰ区域，丁在Ⅲ区域；③丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域；④丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域． 答案：① 解析：∵丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，∴丙车速度最大，丁车速度最小，即丙车的图象增长得最快，丁车的图象增长得最慢． 四、解答题 11．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解：＝＝6，＝＝6，＝＝36，＝＝28.所以在区间[2，4]上的平均变化率由大到小依次为>>＝. 12．地高辛是用来治疗心脏病的一种药物，若某病人血液中地高辛的初始剂量为0.5 mg，且x天后血液中剩余的剂量为y mg，y与x的部分数据如下表所示． x 0 1 2 3 4 5 y 0.5 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078 将y看成x的函数，分别求函数在[0，2]和[3，5]上的平均变化率． 解：由题意知，该函数在[0，2]上的平均变化率为＝－0.131， 在[3，5]上的平均变化率为＝－0.043. 13．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](n>m)上的平均变化率为m＋n.求证：函数f(x)是一个二次函数． 证明：函数f(x)在区间[m，n]上的平均变化率为＝＝m＋n. 变形得f(n)－f(m)＝n2－m2，f(n)－n2＝f(m)－m2. 令f(n)－n2＝f(m)－m2＝c，c为常数， 所以有f(x)＝x2＋c.所以函数f(x)是一个二次函数． 14．已知某气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率(精确到0.01)，并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么意义？ 解：(1)体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3， 即V＝πr3，则r3＝，所以r＝， 所以r(V)＝. (2)气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中半径r的平均变化率为＝－＝≈0.62， 气球的体积V从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率为＝－≈0.78－0.62＝0.16， 可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快，说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$