4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 4．2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的概念、性质与图象 知识点一　对数函数的概念 1．下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log(－x)(x<0)；⑥y＝2log4(x－1)(x>1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：符合对数函数的定义的只有③④. 2．若函数f(x)＝(a2＋2a－7)logax为对数函数，则f＝(　　) A．3 B．－3 C．－log36 D．－log38 答案：B 解析：∵函数f(x)＝(a2＋2a－7)logax为对数函数，∴解得a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f＝log2＝－3.故选B. 3．已知对数函数f(x)的图象过点M(8，3)，则f＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：设f(x)＝logax(a>0且a≠1)．由函数f(x)的图象过点M(8，3)，得3＝loga8，解得a＝2，所以f(x)＝log2x，所以f＝log2＝－1.故选B. 知识点二　对数函数的图象及对数型函数的图象 4．函数y＝loga(x＋3)＋1的图象过定点 (　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(－3，1) D．(－2，1) 答案：D 解析：令x＋3＝1，即x＝－2，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋3)＋1的图象过定点(－2，1)． 5．当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是(　　) 答案：A 解析：当a>1时，y＝a－x＝在R上单调递减，过定点(0，1)，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，过定点(1，0)．故选A. 6．[多选]函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象一定过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：BCD 解析：函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，所以该函数的图象一定过第二、三、四象限．故选BCD. 7．如图是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为________． 答案：，，， 解析：C1，C2的底数都大于1，当x>1时，底数大的图象低(第一象限内)，所以C1，C2对应的a值分别为，，C3，C4的底数都大于0小于1，当x>1时，底数大的图象低(第四象限内)，所以C3，C4对应的a值分别为，，综合以上分析，可得C1，C2，C3，C4对应的a值依次为，，，. 知识点三　利用对数函数的单调性比较大小 8．已知logb＜loga＜logc，则(　　) A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b 答案：B 解析：由于函数y＝logx为减函数，因此由logb＜loga＜logc，可得b＞a＞c，又函数y＝7x为增函数，所以7b＞7a＞7c. 9．比较下列各组中两个值的大小(e为自然对数的底数)： (1)log0.5与log0.6； (2)log1.51.6与log1.51.4； (3)log0.57与log0.67； (4)ln 3与log3e. 解：(1)∵函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，且0.5<0.6，∴log0.5>log0.6. (2)∵函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数，且1.6>1.4， ∴log1.51.6>log1.51.4. (3)∵0>log70.6>log70.5， ∴<， 即log0.67<log0.57. (4)∵ln 3>ln e＝1，log3e<log33＝1， ∴ln 3>log3e. 一、单项选择题 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝loga(2x) B．y＝lg 10x C．y＝loga(x2＋x) D．y＝lg x 答案：D 解析：由对数函数的概念，知D是对数函数． 2．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x B．y＝log4x C．y＝logx D．y＝logx 答案：A 解析：设函数为y＝logax(a>0且a≠1)，依题可知，2＝loga4，解得a＝2，所以该对数函数的解析式为y＝log2x.故选A. 3．函数y＝－lg (x＋1)的图象大致是(　　) 答案：B 解析：当x＝0时，y＝0，而且函数为减函数，可见只有B符合． 4．已知a>0且a≠1，函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(－a)＝(　　) A．2 B． C．－ D．－ 答案：C 解析：因为a>0，所以f(a)＝logaa＋a＝3，解得a＝2，符合题意，所以f(－a)＝f(－2)＝3－2＋1－1＝－1＝－.故选C. 5．若不等式(x－1)2＜logax(a＞0且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，2) B．(1，2) C．(1， ] D．(，2) 答案：B 解析：若0＜a＜1，当x∈(1，2]时，logax＜0，而(x－1)2≥0，故(x－1)2＜logax无解；若a＞1，当x∈(1，2]时，logax＞0，而(x－1)2≥0，令f(x)＝logax，g(x)＝(x－1)2，画出两函数图象，如图所示．若要(x－1)2＜logax在x∈(1，2]内恒成立，则loga2＞1，解得a∈(1，2)．故选B. 二、多项选择题 6．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的大致图象不可能是(　　) 答案：BCD 解析：函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝loga|x|＋1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(0<a<1)为减函数，且过定点(1，1)，故函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的大致图象不可能为B，C，D.故选BCD. 7．(2024·山东淄博期末)已知实数x，y，z满足ln x＝ey＝，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．z＞x＞y D．z＞y＞x 答案：ABC 解析：令t＝ln x＝ey＝，则x，y，z表示直线y＝t与函数y＝ln x，y＝ex，y＝图象交点的横坐标，不妨记x＝a，y＝b，z＝c，在平面直角坐标系中作出y＝ln x，y＝ex，y＝的图象．当y＝t与y＝ln x，y＝ex，y＝的位置关系如图①所示时，b＜c＜a，即x＞z＞y；当y＝t与y＝ln x，y＝ex，y＝的位置关系如图②所示时，c＜b＜a，即x＞y＞z；当y＝t与y＝ln x，y＝ex，y＝的位置关系如图③所示时，b＜a＜c，即z＞x＞y.综上所述，可能成立的关系式是x＞y＞z或x＞z＞y或z＞x＞y.故选ABC. 三、填空题 8．若f(x)＝logax＋a2－4a－5是对数函数，则a＝________. 答案：5 解析：∵f(x)＝logax＋a2－4a－5是对数函数，∴∴a＝5. 9．函数y＝loga(x＋k)(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，0)，则函数y＝log(x－k)的图象恒过点________． 答案：(2，0) 解析：由题意，得logak＝0，∴k＝1，∴y＝log(x－k)＝log(x－1)的图象恒过点(2，0)． 10．已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为________． 答案：c<b<a 解析：由题知，a＝log45>1，b＝＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a. 四、解答题 11．(2024·辽宁葫芦岛期末)已知f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log(x＋4)＋m. (1)求m的值，并求出f(x)在(－∞，0)上的解析式； (2)若f(a)＞1，求a的取值范围． 解：(1)由题意可知f(0)＝－2＋m＝0， 即m＝2，经检验符合题意， 令x＜0，则－x＞0，f(－x)＝log(－x＋4)＋2， 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝log(－x＋4)＋2， 故f(x)＝－log(－x＋4)－2， 故f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝－log(－x＋4)－2. (2)由函数性质可知f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)在R上单调递减． 又因为f(－4)＝－log8－2＝1， 所以f(a)＞1，即f(a)＞f(－4)， 所以当a＜－4时，f(a)＞1，即a的取值范围为(－∞，－4)． 12．比较下列各组数的大小： (1)log2π与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3； (3)log0.76，0.76与60.7；(4)log20.4与log30.4. 解：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π＞0.9，所以log2π＞log20.9. (2)因为log20.3＜log21＝0，log0.20.3＞log0.21＝0， 所以log20.3＜log0.20.3. (3)因为60.7＞60＝1，0＜0.76＜0.70＝1， 又log0.76＜log0.71＝0， 所以60.7＞0.76＞log0.76. (4)底数不同，但真数相同，根据y＝logax的图象在a＞1，0＜x＜1时，a越大，图象越靠近x轴，知log30.4＞log20.4. 13．(2024·天津市南开区质量监测)函数f(x)＝ln 的图象可能是(　　) 答案：D 解析：令f(x)＝ln ＝0，得x－＝1，即x2－x－1＝0，此方程有两根，故f(x)有两个零点，排除A；由函数f(x)＝ln 有意义，得x－＞0，解得x＞1或－1＜x＜0，当x＜－1时函数无意义，排除B，C；对于D，函数的定义域符合，零点个数符合，又当－1＜x＜0及x＞1时，函数y＝x－单调递增，结合对数函数的单调性可得函数f(x)＝ln 单调递增，故单调性也符合，所以f(x)的图象可能是D.故选D. 14．已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间． 解：(1)要使函数f(x)＝loga有意义， 则>0，即(x＋1)(x－1)>0， 解得x>1或x<－1， 故函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)由(1)可得函数f(x)的定义域关于原点对称， ∵f(－x)＝loga＝loga ＝－loga＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． f(x)＝loga＝loga， 设u＝1＋，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 则函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上均单调递减， 所以当a>1时，y＝logau在(0，＋∞)上单调递增， 故f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，y＝logau在(0，＋∞)上单调递减， 故f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增． 故当a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间； 当0<a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递减区间． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$