4.1.2 第2课时 指数函数性质的应用-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评word（人教B版2019）

数学 必修·第二册[人教B版]作业与测评 第2课时　指数函数性质的应用 知识点一　与指数函数有关的定义域和值域 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．R B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：D 解析：由2x－1≠0，得2x≠1，即x≠0，故函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2．函数y＝的值域是(　　) A． B．(－∞，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 答案：C 解析：y＝＝1－，∵3x>0，∴3x＋1>1，∴0<<1，∴0<1－<1，即原函数的值域为(0，1)． 知识点二　指数型函数的单调性 3．若函数f(x)＝3|x－2|，则f(x)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案：B 解析：将原函数f(x)看成y＝3u，u＝|x－2|的复合函数，外层函数对u是增函数，u在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数．由复合函数的性质知，f(x)的单调递增区间是[2，＋∞)． 4．讨论函数f(x)＝的单调性，并求其值域． 解：∵函数f(x)的定义域是R， 令t＝x2－2x，u＝， 又t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，u＝在其定义域内是减函数， ∴函数f(x)在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数． ∴f(x)≤f(1)＝5，又>0， ∴f(x)的值域为(0，5]． 知识点三　解指数不等式 5．不等式4x<42－3x的解集是________． 答案： 解析：∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<.故所求不等式的解集是. 6．不等式＞的解集为________． 答案：(1，2) 解析：因为y＝是减函数，且＞，所以x2－2x－2＜x－4，即x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2. 知识点四　指数函数的综合应用 7．已知函数f(x)＝ax＋(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数． (1)求实数t的值； (2)若f(1)>0，不等式f(x2＋bx)＋f(4－x)>0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围． 解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝0，∴1＋(1－t)＝0，得t＝2， 此时f(x)＝ax－，满足f(－x)＝－ax＝－＝－f(x)，f(x)为奇函数， ∴t＝2. (2)由(1)，知f(x)＝ax－(a>0且a≠1)， ∵f(1)>0，∴a－>0，又a>0且a≠1， ∴a>1， ∴f(x)＝ax－在R上单调递增， 又f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(x2＋bx)＋f(4－x)>0，即f(x2＋bx)>f(x－4)， ∴x2＋bx>x－4，即x2＋(b－1)x＋4>0在x∈R上恒成立， ∴Δ＝(b－1)2－16<0，即－3<b<5， ∴实数b的取值范围为(－3，5)． 一、单项选择题 1．(2024·广西河池联考)设函数f(x)＝，则函数f的定义域为(　　) A．(－∞，4] B．(－∞，1] C．(0，4] D．(0，1] 答案：A 解析：由9－3x≥0，即3x≤9，解得x≤2，所以f(x)的定义域为(－∞，2]，令≤2，可得x≤4，所以函数f的定义域为(－∞，4]．故选A. 2．(2024·湖南长沙月考)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A． B． C．(－1，0) D．{－1，0} 答案：D 解析：f(x)＝＝＝1－，∵3x＋2＞2，∴0＜＜，∴－＜－＜0，∴－＜1－＜1，当－＜f(x)＜0时，y＝[f(x)]＝－1；当0≤f(x)＜1时，y＝[f(x)]＝0.故选D. 3．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为函数f(x)＝在R上单调递增，所以解得≤a<3，所以实数a的取值范围是.故选D. 4．函数f(x)＝4x－2x＋2－5(x∈R)的值域为(　　) A．[1，＋∞) B．(－5，＋∞) C．[－9，＋∞) D．(3，＋∞) 答案：C 解析：令2x＝t，则t＞0，可得y＝t2－4t－5＝(t－2)2－9(t＞0)，当t＝2时，ymin＝－9，故函数f(x)的值域为[－9，＋∞)． 5．若x∈(－∞，－1]，不等式(m－m2)4x＋2x＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m<－2或m>3} B．{m|m≤0或m≥1} C．{m|－2<m<3} D．{m|0≤m≤1} 答案：C 解析：不等式可化为m－m2>－＝－＝－＋.因为x≤－1，所以≥2，所以－＋的最大值为－6.所以m－m2>－6，解得－2<m<3.故选C. 二、多项选择题 6．函数f(x)＝(　　) A．是偶函数 B．在(0，＋∞)上是增函数 C．在(0，＋∞)上是减函数 D．是奇函数 答案：CD 解析：因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为y＝3x在R上是增函数，y＝3－x在R上是减函数，故函数f(x)＝在R上是减函数．故选CD. 7．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝2－x时，下列结论中正确的是(　　) A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2) B．f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2) C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 D．f< 答案：ACD 解析：f(x)＝2－x，f(x1＋x2)＝2－(x1＋x2)，f(x1)f(x2)＝2－x1×2－x2＝2－(x1＋x2)，故A正确；f(x1x2)＝2－x1x2≠2－x1＋2－x2＝f(x1)＋f(x2)，故B错误；因为f(x)＝2－x＝为减函数，所以当x1>x2时，有f(x1)<f(x2)，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，所以(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，故C正确；f＝ 2＝，＝，由均值不等式可知f<，D正确．故选ACD. 三、填空题 8．不等式2x>的解集是________． 答案：(0，2) 解析：由2x>，得2x>2x2－x，所以x>x2－x，即x2－2x<0，解得0<x<2.故所求不等式的解集是(0，2)． 9．若函数y＝2－x2＋ax－1在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案：[6，＋∞) 解析：y＝2－x2＋ax－1在(－∞，3)上单调递增，即二次函数f(x)＝－x2＋ax－1在(－∞，3)上单调递增，因此需要对称轴x＝≥3，解得a≥6. 10．若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m＝0有实根，则实数m的取值范围为________． 答案：[－3，0) 解析：方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m＝0有实根，即(5－|x＋1|)2－4·5－|x＋1|－m＝0有实根，令5－|x＋1|＝t，因为－|x＋1|≤0，所以0＜t≤1，所以t2－4t＝m在t∈(0，1]上有解，又因为当t∈(0，1]时，t2－4t∈[－3，0)，所以实数m的取值范围为[－3，0)． 四、解答题 11．设函数f(x)＝，a是不为零的常数． (1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范围； (2)当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值． 解：(1)由f(3)＝，即＝， 得10－3a＝1，解得a＝3. 由f(x)＝≥4＝，得10－3x≤－2， 解得x≥4.故x的取值范围为[4，＋∞)． (2)当a>0时，函数f(x)＝在x∈[－1，2]上为增函数，则当x＝2时，函数取最大值＝16， 即10－2a＝－4，解得a＝7； 当a<0时，函数f(x)＝在x∈[－1，2]上为减函数，则当x＝－1时，函数取最大值＝16， 即10＋a＝－4，解得a＝－14. 综上可得，a＝7或a＝－14. 12．已知函数f(x)＝a3x＋1，g(x)＝，其中a>0且a≠1. (1)若0<a<1，求不等式f(x)<1的解集； (2)求不等式f(x)≥g(x)的解集． 解：(1)当0<a<1时，f(x)＝a3x＋1在R上为减函数． 由f(x)<1，得a3x＋1<a0，所以3x＋1>0，解得x>－， 故所求不等式的解集为. (2)由不等式f(x)≥g(x)，得a3x＋1≥a2x－5. 当0<a<1时，可得3x＋1≤2x－5，解得x≤－6， 所以不等式的解集为{x|x≤－6}； 当a>1时，可得3x＋1≥2x－5，解得x≥－6， 所以不等式的解集为{x|x≥－6}． 综上，当0<a<1时，所求不等式的解集为{x|x≤－6}；当a>1时，所求不等式的解集为{x|x≥－6}． 13．若函数f(x)＝3|x|＋x2，则不等式f(x＋1)≥f(2x－4)的解集为(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，2] C．[2，3] D．[1，5] 答案：D 解析：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝3|－x|＋(－x)2＝3|x|＋x2＝f(x)，所以f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称．当x≥0时，f(x)＝3x＋x2，又y＝3x，y＝x2在[0，＋∞)上均为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，0]上为减函数．由f(x＋1)≥f(2x－4)可得|x＋1|≥|2x－4|，即(x＋1)2≥(2x－4)2，解得1≤x≤5，即不等式f(x＋1)≥f(2x－4)的解集为[1，5]． 14．已知函数f(x)＝2x－＋1. (1)判断f(x)的单调性，并用定义证明； (2)若关于x的方程f(2f(x))＋f(t－4x)＝0有解，求t的取值范围． 解：(1)f(x)在R上单调递增．证明如下： 易知f(x)的定义域为R， 设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－＋1－2x2＋－1＝2(x1－x2)＋， 因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，3x1＜3x2， 所以3 x1－3 x2＜0，又3 x1＋1＞0，3 x2＋1＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，则f(x)在R上单调递增． (2)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝－2x－＋1＋2x－＋1＝－＋2＝0， 所以f(x)是奇函数． 由已知，方程f(2f(x))＋f(t－4x)＝0有解， 由f(x)的奇偶性可知f(2f(x))＝f(4x－t)有解， 由f(x)的单调性可知2f(x)＝4x－t有解， 得方程－＋2＝－t有解， 即方程－2＝t有解． 因为3x＋1>1，所以0＜＜1，则0＜＜4， 所以－2＜－2＜2，故t的取值范围是(－2，2)． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$