4.5 增长速度的比较-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.5　增长速度的比较 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　函数的平均变化率 1．函数y＝2x＋1在区间[1，2]上的平均变化率为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 3．在对数函数y＝log2x的图象上，从x＝2到x＝4的平均变化率是____．此变化率的几何意义是____________________________________________________． 答案 解析 过对数函数y＝log2x图象上两点(2，1)，(4，2)的直线的斜率 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 知识点二　平均变化率的大小比较 4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，若这两个函数在区间[1，4]上的平均变化率分别为k1，k2，则k1________k2(填“>”“<”或“＝”)． 答案 解析 > 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 5．函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大． 答案 解析 3 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 6．(2024·河南洛阳期末)婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快． 答案 解析 一 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点三　函数平均变化率的应用 7．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间上的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间上的平均变化率大，则f(5)－f(2)________9.(用“＞”“＜”或“＝”填空) 答案 解析 ＞ 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 8．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山” 之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢 又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，如图是一段登 山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较 轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 40分钟综合练 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 2．(2024·河北沧衡八校联盟期中)已知函数f(x)＝x2＋1，则f(x)在[1，1＋Δx]上的平均变化率为(　　) A．2＋Δx B．2Δx C．2 D．3 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 3．(2024·山东济南期末)下列函数增长速度最快的是(　　) A．y＝1.1x B．y＝2024x2 C．y＝log2024x D．y＝2024x 解析： y＝1.1x为单调递增的指数函数，y＝2024x2为二次函数，y＝log2024x为单调递增的对数函数，y＝2024x为单调递增的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．故选A. 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解 析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 5．为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；②在[0，t1]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；③在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③④ C．②③ D．①③ 答案 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 解析：对于①，在t1时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；对于②，根据图象可知，在[0，t1]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不同，故②错误；对于③，根据图象可知，在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，故③正确；对于④，根据图象可知，在[t1，t2]这个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化率大于在[t2，t3]这个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化率，故④错误．故选D. 解 析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 7．已知a>1，函数f(x)＝ln x，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是大于1 B．函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是小于1 C．函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而增大 D．函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而减小 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 三、填空题 8．函数f(x)＝xex在区间[1，3]上的平均变化率为________． 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 9．设函数f(x)＝3x与g(x)＝3x在[a，a＋1]上的平均变化率分别为k1，k2，当k2>k1时，实数a的取值范围为_____________． 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 10．(2024·广西玉林期中)甲、乙、丙、丁四辆玩具赛 车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点， 丁车最后到达终点．若甲、乙两车的位移s关于时间t的图象 如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的 是________． ①丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域；②丙在Ⅰ区域，丁在Ⅲ 区域；③丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域；④丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域． 解析： ∵丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，∴丙车速度最大，丁车速度最小，即丙车的图象增长得最快，丁车的图象增长得最慢． 答案 解析 ① 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 四、解答题 11．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 12．地高辛是用来治疗心脏病的一种药物，若某病人血液中地高辛的初始剂量为0.5 mg，且x天后血液中剩余的剂量为y mg，y与x的部分数据如下表所示． 将y看成x的函数，分别求函数在[0，2]和[3，5]上的平均变化率． 解 x 0 1 2 3 4 5 y 0.5 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 13．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](n>m)上的平均变化率为m＋n.求证：函数f(x)是一个二次函数． 证明 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为eq \f(5－3,2－1)＝2.故选C. 解析：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1－3,3－1)＝－1.故选B. eq \f(1,2) 解析：从x＝2到x＝4的平均变化率为eq \f(log24－log22,4－2)＝eq \f(log22,2)＝eq \f(1,2).此变化率的几何意义是过对数函数y＝log2x图象上两点(2，1)，(4，2)的直线的斜率． 解析：k1＝eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＝eq \f(3x2－3x1,x2－x1)，所以函数f(x)＝3x在区间[1，4]上的平均变化率为eq \f(34－31,4－1)＝26.k2＝eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(g（x2）－g（x1）,x2－x1)＝eq \f(log2x2－log2x1,x2－x1)，所以函数g(x)＝log2x在区间[1，4]上的平均变化率为eq \f(log24－log21,4－1)＝eq \f(2－0,3)＝eq \f(2,3).故k1>k2. 解析：在x＝1附近的平均变化率为k1＝eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq \f(（1＋Δx）2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq \f(（2＋Δx）2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝eq \f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝eq \f(（3＋Δx）2－32,Δx)＝6＋Δx.对任意Δx有k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大． 解析：∵eq \f(ΔW1,Δt1)＝eq \f(11.25－3.75,12－0)＝0.625，eq \f(ΔW2,Δt2)＝eq \f(14.25－11.25,24－12)＝0.25，∴eq \f(ΔW1,Δt1)＞eq \f(ΔW2,Δt2)，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快． 解析：函数g(x)＝3x－4在任意区间上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在[2，5]上的平均变化率大于3.即eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（5）－f（2）,5－2)>3，所以f(5)－f(2)>9. 解：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝eq \f(10－0,50－0)＝eq \f(1,5)，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝eq \f(15－10,70－50)＝eq \f(1,4)，∴hBC>hAB.∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多． 一、单项选择题 1．函数f(x)＝eq \r(2x)从x＝eq \f(1,2)到x＝2的平均变化率为(　　) A．2 B．eq \f(2,3) C．eq \f(2\r(2),3) D．eq \r(2) 解析：由题意知函数f(x)＝eq \r(2x)从x＝eq \f(1,2)到x＝2的增量为Δf＝f(2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \r(2×2)－eq \r(2×\f(1,2))＝2－1＝1，∴f(x)＝eq \r(2x)从x＝eq \f(1,2)到x＝2的平均变化率为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(1,2－\f(1,2))＝eq \f(2,3).故选B. 解析：f(x)在[1，1＋Δx]上的平均变化率为eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,（1＋Δx）－1)＝eq \f(（Δx）2＋2Δx,Δx)＝2＋Δx.故选A. 4．(2024·河北九师联盟月考)某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等．在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为(　　) A．eq \f(v1＋v2＋v3,3) B．eq \f(\f(1,v1)＋\f(1,v2)＋\f(1,v3),3) C．eq \r(3,v1v2v3) D．eq \f(3,\f(1,v1)＋\f(1,v2)＋\f(1,v3)) 解析：设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段内的增长量相等，设为M，则M＝v1t1＝v2t2＝v3t3，整个时段内的平均增长速度为eq \f(3M,t1＋t2＋t3)＝eq \f(3M,\f(M,v1)＋\f(M,v2)＋\f(M,v3))＝eq \f(3,\f(1,v1)＋\f(1,v2)＋\f(1,v3)).故选D. 二、多项选择题 6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为eq \r(3)，在[x2，x3]上的平均变化率为2，则下列叙述正确的是(　　) A．直线AB的斜率为－eq \r(3) B．直线BC的斜率为2 C．直线AB的斜率大于直线BC的斜率 D．直线AB的斜率小于直线BC的斜率 解析：函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是直线AB的斜率，为eq \r(3)，在[x2，x3]上的平均变化率就是直线BC的斜率，为2.故选BD. 解析：eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（a＋1）－f（a）,a＋1－a)＝ln (a＋1)－ln a＝ln eq \f(a＋1,a)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，因为a>1，所以ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))<ln (1＋1)＝ln 2<1，所以A错误，B正确；又当a>1时，1＋eq \f(1,a)随着a的增大而减小，ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))随着1＋eq \f(1,a)的减小而减小，所以eq \f(Δf,Δx)随着a的增大而减小，所以C错误，D正确． eq \f(3e3－e,2) 解析：eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq \f(3e3－e,2). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(3,2)，＋∞)) 解析：对于f(x)＝3x，k1＝eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(3（a＋1）－3a,（a＋1）－a)＝3，对于g(x)＝3x，k2＝eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(3a＋1－3a,（a＋1）－a)＝2×3a，当k2>k1，即2×3a>3时，得a>log3eq \f(3,2)，所以a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(3,2)，＋∞)). 解：eq \f(Δf1,Δx)＝eq \f(24－22,2)＝6，eq \f(Δf2,Δx)＝eq \f(42－22,2)＝6，eq \f(Δf3,Δx)＝eq \f(34－32,2)＝36，eq \f(Δf4,Δx)＝eq \f(43－23,2)＝28.所以在区间[2，4]上的平均变化率由大到小依次为eq \f(Δf3,Δx)>eq \f(Δf4,Δx)>eq \f(Δf2,Δx)＝eq \f(Δf1,Δx). 解：由题意知，该函数在[0，2]上的平均变化率为eq \f(0.238－0.5,2－0)＝－0.131， 在[3，5]上的平均变化率为eq \f(0.078－0.164,5－3)＝－0.043. 证明：函数f(x)在区间[m，n]上的平均变化率为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（n）－f（m）,n－m)＝m＋n. 变形得f(n)－f(m)＝n2－m2，f(n)－n2＝f(m)－m2. 令f(n)－n2＝f(m)－m2＝c，c为常数， 所以有f(x)＝x2＋c.所以函数f(x)是一个二次函数． 14．已知某气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq \f(4,3)πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率(精确到0.01)，并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么意义？ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：\r(3,\f(3,4π))≈0.62，\r(3,\f(3,2π))≈0.78)) 解：(1)体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq \f(4,3)πr3， 即V＝eq \f(4,3)πr3，则r3＝eq \f(3V,4π)，所以r＝eq \r(3,\f(3V,4π))， 所以r(V)＝eq \r(3,\f(3V,4π)). (2)气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中半径r的平均变化率为eq \f(r（1）－r（0）,1－0)＝eq \r(3,\f(3×1,4π))－eq \r(3,\f(3×0,4π))＝eq \r(3,\f(3,4π))≈0.62， 气球的体积V从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率为eq \f(r（2）－r（1）,2－1)＝eq \r(3,\f(3×2,4π))－eq \r(3,\f(3×1,4π))≈0.78－0.62＝0.16， 可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快，说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢． $$