精品解析：四川省眉山市仁寿第一中学校（北校区）2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

2024级高一年级入学考试数学试题 本试卷共2页，满分：150分，时间120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（ ） A. B. C. D. 7. 设，若，则的最小值为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错的得0分. 9. 已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象过原点 B. 函数是偶函数 C. 函数是单调减函数 D. 函数的值域为R 10. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若函数在上单调递增，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 12. 设函数，其中表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（    ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 化简求值：__________. 14. 设函数则__________. 15. 一元二次不等式的解集为________. 16. 设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______． 四､解答题：本题共6个小题，其中17题10分，其余各题每题12分. 17. 设全集，集合，. （1）求： （2）若集合满足，求实数的取值范围. 18. 已知函数，（且）. （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若. ①求实数的值； ②设，，当时，试比较，的大小. 19. (1)已知函数，则的值域； (2)已知，求的解析式； (3)已知函数对于任意的都有，求 的解析式. 20. 已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求的最小值； （2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围. 21. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为. （1）求的解析式； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 22. 设，函数（e为常数，）． （1）若，求证：函数为奇函数； （2）若． ①证明函数的单调性； ②对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一年级入学考试数学试题 本试卷共2页，满分：150分，时间120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义计算． 【详解】由已知． 故选：C． 2. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】因为由能推出；由不能推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 4. 函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由解析式代入计算函数值即可. 【详解】设，得，则. 故选：A. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 6. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据时可得b，然后可解. 【详解】由题知，当时，，即，解得， 令，解得. 故选：B 7. 设，若，则的最小值为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】根据题意易知 ， 当且仅当，即时取得最小值. 故选：B 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数值域为，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题. 【详解】当时，单调递增， 所以 当时，单调递增， 所以， 要使得函数值域为， 则恒成立， 令， 如图所示： 由图可知有两个交点，且交点的横坐标分别为， 所以若要，则， 也即函数的值域为时， 则实数的取值范围为：， 故选：D. 二､多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错的得0分. 9. 已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象过原点 B. 函数是偶函数 C. 函数是单调减函数 D. 函数的值域为R 【答案】AD 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】由于幂函数过点，所以，解得，所以. ，满足，A选项正确. 是奇函数，所以B选项错误. 在上递增，所以C选项错误. 值域为，所以D选项正确. 故选：AD 【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题. 10. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项正确. C选项，若，， 则，， 则，所以C选项正确. D选项，若，， 所以，所以D选项正确. 故选：BCD 11. 若函数在上单调递增，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过换元转化为熟悉的二次函数，则所给区间即为已知函数单调区间的子集，即可求得的取值范围. 【详解】令，则，则，对称轴为，则函数的单调递减区间为，因为为减函数，且在上单调递增，所以，则解得. 所以实数的范围为. 故选：A 12. 设函数，其中表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（    ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定函数，画出函数图象并求出函数解析式，再逐项分析判断即得. 【详解】画出函数的图象，如图所示： 对于A，观察图象得，当时，， 当时，，，当时，， ，因此，，为偶函数，A正确； 对于B，当时，，的图象可看做是的图象向右平移两个单位而得， 经过平移后，的图象总是在图象的下方，即恒成立，B正确； 对于C，当时，的图象可看做是的图象向右平移两个单位而得， 而经过平移后，函数的图象有部分在函数的图象下方，C错误； 对于D，，，令，， 则当时，，当时，， 当时，，因此，成立，即当时，，D正确． 故选：ABD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 化简求值：__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据分数指数幂、负数指数幂以及零指数幂进行运算. 【详解】. 故答案为：8. 14. 设函数则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系. 【详解】当时，， 则. 故答案为：1 15. 一元二次不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】，或 所以一元二次不等式的解集为， 故答案为： 16. 设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，求得的范围，再求得的单调性，讨论，时函数在的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为， 当时函数单调递减且， 当时，可得在时函数单调递减，在单调递增， 若，，则在处取得最大值，不符题意； 若，，则在处取得最大值， 且，解得， 综上可得的范围是． 故答案为： 四､解答题：本题共6个小题，其中17题10分，其余各题每题12分. 17. 设全集，集合，. （1）求： （2）若集合满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合、，再求交集可得答案； （2）根据可得，求出的范围即可. 【小问1详解】 ， ，所以； 【小问2详解】 若，则，所以， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数，（且）. （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若. ①求实数的值； ②设，，当时，试比较，的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）根据两个函数在上的值域来比较较，的大小即可. 【小问1详解】 函数，对称轴， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 若函数在上单调递减，则，， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①，即，解得； ②当时， ， ， 所以，即. 19. (1)已知函数，则的值域； (2)已知，求的解析式； (3)已知函数对于任意的都有，求 的解析式. 【答案】（1）； （2），其中； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的性质即可得函数的值域； （2）配凑法或换元法求函数的解析式 （3）列方程组法求函数的解析式 【详解】（1）由于，故，故函数的值域为 （2），其中+1≥1， 故所求函数的解析式为，其中. （3）∵对于任意的x都有， ∴将x替换为-x，得， 联立方程组： 消去，可得. 20. 已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求的最小值； （2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先将不等式的解集为转化为和2是方程的两根，进而得，再利用基本不等式即可得； （2）先将当时，函数的图象恒在直线的上方，转化为在上恒成立，求得，进而可得. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两根， 所以，解得， 由可知，，所以当时， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 【小问2详解】 结合（1）可得， 对于，函数的图象恒在函数的图象的上方， 等价于在上恒成立， 即在上恒成立，则即可， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 21. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为. （1）求的解析式； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）；（2）分钟. 【解析】 【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解； (2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解. 【详解】（1）由题意知，（k为常数）， 因，则， 所以； （2）由得， 即， ①当时，，当且仅当等号成立； ②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24， 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 22. 设，函数（e为常数，）． （1）若，求证：函数为奇函数； （2）若． ①证明函数的单调性； ②对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，函数，由，可得， 所以的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （2）①当时，为R上的单调增函数，证明如下： 当时，恒成立，故函数定义域为R， 任取，且，则， 因为， 所以为R上的单调增函数. ② 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再用定义证明即可求证； （2）①利用函数单调性的定义即可求解；②由①可知，运用函数的单调性转化为恒成立，通过分离变量转化为求二次函数的最值即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①可知为R上的单调增函数，依题意有恒成立， 即恒成立， 设， 令 则，由二次函数图像可知，当时， 即，所以a的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $