精品解析：河南省安阳市重点高中2022-2023学年高三下学期开学摸底联考全国卷文科数学试题

2023届高三开年摸底联考全国卷 文科数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据补集和交集运算求解. 【详解】因为， 所以或， 所以. 故选：B. 2. 若，则z的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用，根据复数的除法运算化简得解. 【详解】， 所以z的虚部是1. 故选：C. 3. 已知等差数列的前项和为是关于的方程的两根，则（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，又即可求解. 【详解】因为是关于的方程的两根， 所以， 故选：A. 4. 下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况 根据图中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加 B. 2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降 C. 2017-2021年我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年 D. 2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合统计相关知识逐项判断即可. 【详解】因为2022下半年企业营业总收入未知， 所以无法判断2022年我国国有企业营业总收入是否增长，故A、B错误； 由图可知2017-2021年我国国有企业营业总收入增速依次为， 所以增速最快的是2021年，故C正确； 2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数为 亿元， 因为，故D错误. 故选：C. 5. 已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则ω的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移写出函数解析式，可得，运算得，得解. 【详解】由题意，平移后函数解析式为， 由题意得，， 解得，，且， 当时，. 故选：A. 6. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有种玩偶，小明依次购买个盲盒，则他能集齐这种玩偶的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设两种玩偶对应的盲盒分别为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设两种玩偶对应的盲盒分别为、，小明依次购买个盲盒，所有的基本事件有： 、、、，、、、，共种， 其中，事件“这种玩偶齐全”所包含的基本事件有：、、，、、，共种， 故所求概率为. 故选：D. 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除B、D，再取特值排除C. 【详解】因为， 所以函数为奇函数，故B、D错误； 又因为，则，故C错误； 故选：A. 8. 若x，y满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用线性规划求的最大值. 【详解】如图，先作出不等式组表示的可行域， 由目标函数，得，表示斜率，纵截距为的直线， 因此结合图形分析可知z在点A处取得最小值， 联立直线方程，解得， 可得点A的坐标为，所以. 故选：A． 9. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数单调性可判断a的范围，构造中间变量，利用指数函数以及幂函数的单调性可判断的大小，得解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 又是R上的减函数， 所以， 又是上减函数， 所以， 所以. 故选：B. 10. 在棱长为2的正方体中，E为CD1上的动点，则AE与平面所成角的正切值不可能为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在正方体中找出线面角，求出线面角正切值的范围即可得解. 【详解】如图， 在上取点，使得，连接， 由，可知四边形为平行四边形，则， 因为平面，，所以平面， 所以与平面所成角为，，而． 所以．显然，故D不可能． 故选：D 11. 若不等式恒成立，则实数k的最小值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用在R上单调递增，将不等式恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值得的取值范围，再得的最小值. 【详解】令，易知在R上单调递增， 由得， 即， 所以，即， 令，则， 易得，，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，. 所以实数的最小值为. 故选：B. 12. 已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，点M是Γ上不与顶点重合的一点，满足，则Γ的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】首项确定点在左支上，作的内切圆P，设内切圆P与切于点C，证明C点为双曲线的左顶点，从而根据，得到，从而得到，求出离心率. 【详解】因为，所以，，所以， 故M点在左支上，作的内切圆P，设内切圆P与切于点C，与切于点B，与切于点A， 连接，，PA，PB，PC，则，，， 且平分，平分， 由双曲线的定义可知：， 因为，，， 所以， 设点A坐标为，则，解得，故点A为双曲线的左顶点， 因为，所以，， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，为单位向量，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直关系的表示和平面向量数量积的运算律计算即可得解. 【详解】因为，所以， 因为向量，为单位向量， 所以， 故答案为：. 14. 已知圆F：，则过点的最长的弦所在的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】当过点A的弦经过圆心时，弦长最长，写出方程即可. 【详解】圆可整理为， 所以圆心，， 当过点A的弦经过圆心时，弦长最长， 所以过点A的最长的弦所在的直线方程为， 整理得. 故答案为：. 15. 若直线与抛物线无交点，则k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程消得关于的二次方程，由求解k的范围即可. 【详解】由得， 代入中得， 因为直线与抛物线无交点， 故， 解得. 故答案为：. 16. 在中，，，点D与点A分别在直线BC的两侧，且，，则AD的长度的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用余弦定理和正弦定理得到关于的表达式，再结合三角函数的性质即可得解. 【详解】因为在中，，， 设，，则，， 由余弦定理得， 即， 由正弦定理得，所以， 连接AD，如图所示： 在中，由余弦定理得 ， 又，故当时，等号成立， 所以AD长度的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得与，从而得解. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17. 已知等比数列的前项和为．公比，若，． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先求出，再利用作差法证明即可. 【小问1详解】 由．得， 解得或（舍去），所以． 【小问2详解】 因为，且， 所以， 所以． 18. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮.某机构为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各120名观众进行调查，统计数据如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 男性 80 40 女性 60 60 （1）根据上表，分别估计男性、女性观众中喜爱足球运动的概率； （2）能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？ 附：，（其中）. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据表中数据由频率估计概率； （2）根据表中数据计算的观测值，利用独立性检验的思想即可求解. 【小问1详解】 由表知，男性观众中喜爱足球运动的概率； 女性观众中喜爱足球运动的概率. 【小问2详解】 因为， 故在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，点E为AS的中点. （1）证明：平面SCD； （2）求四棱锥的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取DS中点P，连接EP，PC.可以通过证明EBCP为平行四边形证得线面平行；（2）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，分别求得四棱锥的四个面的面积即可求出四棱锥的表面积. 【小问1详解】 如图，取DS的中点P，连接EP，PC. 因为E，P分别为AS，DS的中点，所以，. 因为，，所以，， 所以四边形EBCP为平行四边形，所以， 因为平面SCD，平面SCD， 所以平面SCD. 【小问2详解】 如图，取AD的中点F，连接SF，CF，取CD的中点G，连接SG. 因为为等腰三角形， 所以. 因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD，. 由勾股定理得：，， ，， ，所以，所以， ，，， ，， 所以. 20. 已知函数，. （1）若曲线上横坐标为的点P处的切线斜率为，求曲线在点P处的切线方程； （2）证明：对任意的且. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，，解得，再根据点斜式即可得解； （2）利用作差法证明不等式，构造函数，领用导数证明即可得证 【小问1详解】 由题意得，则，解得， 所以，，所以， 即点P处的切线方程为. 【小问2详解】 ，令 ， 设， 则，解得或， 由，所以，所以在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以，又， 所以恒成立，即对任意的且，恒有. 21. 已知椭圆C：的焦距为2，且经过点. （1）求C的方程； （2）若直线l：与C相交于不同于A的P，Q两点，PQ的中点为M，当时，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程的关系求解即可； （2）由可得，设，，将直线方程和椭圆方程联立，利用求解即可 【小问1详解】 由题意知，，， 又椭圆经过点，所以，解得， 所以，所以C的方程为. 【小问2详解】 因为在中， 因为P、Q不同于A，当时，， 此时，且， 设， 联立得，， 令解得， 所以，，① ，② 把①代入②并整理得：，解得（舍去）或. 故m的值为. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l相交于A，B两点，求的值. 【答案】（1）曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为 （2）32 【解析】 【分析】（1）由曲线C的参数方程化简可得到为；由直线l的极坐标方程为，化简可得，从而可求解. （2）求出交点，将把直线l参数方程（t为参数）代入曲线C可得，从而可求解. 【小问1详解】 由曲线C的参数方程为， 则， ，当且仅当，即时，等号成立， 故曲线C的普通方程为. 直线l的极坐标方程为，，得， 由，则直线l的直角坐标方程为. 【小问2详解】 因为直线l的方程为，所以， 把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C，可得， 设A，B两点对应的参数分别为，所以， 由直线参数方程的意义可知，所以. [选修4-5：不等式选讲] 23. 设函数. （1）求不等式解集； （2）记函数最小值为，正实数，满足，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，然后分情况讨论解不等式； （2）求绝对值不等式的最值，利用基本不等式证明. 【小问1详解】 ， 故当时，，所以，又，无解； 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，不等式的解集为； 【小问2详解】 由（1）得，当时，；当时，；当时，， 故当时取得最小值，所以， 故， 当且仅当，时等号成立，故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023届高三开年摸底联考全国卷 文科数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则z的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知等差数列的前项和为是关于的方程的两根，则（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 4. 下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况 根据图中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加 B. 2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降 C. 2017-2021年我国国有企业营业总收入增速最快是2021年 D. 2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元 5. 已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则ω的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有种玩偶，小明依次购买个盲盒，则他能集齐这种玩偶的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 若x，y满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，E为CD1上的动点，则AE与平面所成角的正切值不可能为（ ） A 1 B. C. D. 11. 若不等式恒成立，则实数k的最小值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 12. 已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，点M是Γ上不与顶点重合的一点，满足，则Γ的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，为单位向量，且，则______. 14. 已知圆F：，则过点的最长的弦所在的直线方程为______. 15. 若直线与抛物线无交点，则k的取值范围为______. 16. 在中，，，点D与点A分别在直线BC的两侧，且，，则AD的长度的最大值是______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17. 已知等比数列的前项和为．公比，若，． （1）求的通项公式； （2）证明：． 18. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮.某机构为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各120名观众进行调查，统计数据如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 男性 80 40 女性 60 60 （1）根据上表，分别估计男性、女性观众中喜爱足球运动的概率； （2）能否在犯错误概率不超过0.01前提下认为喜爱足球运动与性别有关？ 附：，（其中）. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，点E为AS的中点. （1）证明：平面SCD； （2）求四棱锥的表面积. 20 已知函数，. （1）若曲线上横坐标为的点P处的切线斜率为，求曲线在点P处的切线方程； （2）证明：对任意的且. 21. 已知椭圆C：的焦距为2，且经过点. （1）求C的方程； （2）若直线l：与C相交于不同于A的P，Q两点，PQ的中点为M，当时，求m的值. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l相交于A，B两点，求的值. [选修4-5：不等式选讲] 23. 设函数. （1）求不等式的解集； （2）记函数的最小值为，正实数，满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$