第二十一章一元二次方程单元卷2024-2025学年人教版数学 九年级上册

九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 单元卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知满足，则关于的一元二次方程的解的情况为（ ） A． B． C．方程的解与的取值有关 D．方程的解与的取值有关 2．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，方程变形为，则（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 4．已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2017 B．2018 C．2022 D．2024 8．关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则的值是（   ） A．1 B．12 C．13 D．25 9．若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（   ）． A． B． C． D． 10．已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 二、填空题 11．若是方程的一个根，则的值是 ． 12．若是关于的方程的解，则的值为 ． 13．若是一元二次方程，则a＝ ． 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为 ． 15．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信． 16．某商店从厂家以每件30元的价格购回一批商品，该商店可自行定价．若每件商品售价为a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的，如果要使商店在这批商品中获得3000元利润（不计其他成本），每件商品定价应为 元． 17．关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ． 18．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，．若，则的值为 ． 三、解答题 19．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，且为整数，求的值． 21．已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 22．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 23．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 24．阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程，则_____；_____． (2)若m是方程的根，求的值． 25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止． （1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝ cm2； （2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？ （3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据已知条件求出之间的关系，代入方程即可解答．本题考查了一元二次方程的概念及利用因式分解法解一元二次方程，理解一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：∵,， ∴，， ∴得， 将代入得：， ∴， 将，代入得：， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选． 2．B 【分析】先根据等式的性质进行变形，再得出、、的值即可． 【详解】， 移项，得， 这里， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，能正确化成一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 3．C 【分析】利用配方法求解即可． 本题考查了配方法，正确理解配方法是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故， ， 故选：C． 4．B 【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【分析】解：∵，， ∴ ； ∴当时，有最小值； 当时，即：， ∴， ∴， ∴，即是非正数； 故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选B． 5．A 【分析】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，则有，将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【详解】解：当时，， ∴， 将变形得：， 又， 与为方程的两个解， ∴． 故选：A． 6．B 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ． ∵、是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 8．C 【分析】由根与系数的关系及根的判别式若，是一元二次方程的两根时，则，根据一元二次方程根与系数的关系，，根据，即，可求出m的值，再结合一元二次方程根的判别式，得出m的值，再将求出即可． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是，， ，， ， ， ， 整理得， 解得或， ， 当时，， 当时，， ， 一元二次方程可化为， ． 故选． 【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 9．B 【分析】题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系算出，，再把变形为，代入计算即可得到答案；要掌握一元二次方程根于系数的关系，能把变形为是解题的关键． 【详解】解：∵x的一元二次方程的两个实数根为和， ∴根据根与系数的关系得到： ，， ， 故选：B． 10．D 【分析】由根与系数的关系得，根据一元二次方程根的定义得到，则，整体代入求解即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ， 是一元二次方程的实数根， 即， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 11． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为： 12．2027 【分析】此题考查了一元二次方程的解及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则原式， 故答案为：2027． 13． 【分析】根据定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：是一元二次方程， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 14．（40﹣x）（20+2x）＝1250 【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得(40﹣x)(20+2x)＝1250 故答案：（40﹣x）（20+2x）＝1250 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 15．9 【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90人收到同一条短信列出方程． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信， 则：． 整理得： 解得或（舍去） 故答案为：9． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程． 16．40 【分析】根据进价、售价、数量和利润之间的关系列方程求解，再根据加价不能超过进价的求出售价的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：，， ∵每件商品加价不能超过进价的， ∴， ∴， ∴， 即每件商品定价应为40元， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的数量关系列出方程是解题的关键． 17． 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系，根据有两个实数根可得，再根据根与系数关系得到，，将化简再代入，即可求解． 【详解】解：的两个实数根， ， 解得：， 由题可得：，， ，即， 将，，代入得，即， 解得，， ， ， 故答案为：． 18．2 【分析】根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x1+x2=2（m+2），x1•x2=，变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∵是方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：． ∵，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 19．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 20．（1）；（2）m=-1或m=0 【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）由根与系数的关系，用m表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围，再求其值即可． 【详解】解：（1）由题可得， 方程有两个不相等的实数根， 即．解得 （2）由根与系数的关系可得 ，． 即，解得 由（1）可得 又为整数， 或 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． 21．(1)见解析； (2)12． 【分析】（1）先计算出，然后根据平方的性质和一元二次方程根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意方程一个根为5，代入方程求得，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵等腰三角形一腰长为5， ∴另外一边长度为5， ∴方程一个根为5， ∴， 解得， ∴方程为， ∴， 解得，， 故的周长． 【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）求出． 22．(1) (2)2 750元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后售价由3000元变为2430元列出方程求解即可； （2）假设下调a个50元，则每台的利润为元，销售量为台，再根据总利润为5000元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得 或（舍去） 答：每次降价的百分率是； （2）解：假设下调a个50元， 依题意得， 解得， ∴下调150元， ∴定价为2 750元， 答：每台冰箱的定价应为2750元． 23．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 24．(1)4，18 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； （2）解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（1）8；（2）；（3） 【分析】本题可设出发后，符合已知条件： 在（1）中，，，，得出，即可求出经过2秒钟后的面积； 在（2）中，，，，进而可列出方程，求出答案； 在（3）中，，，，利用勾股定理和列出方程，求出答案． 【详解】解：（1）、同时出发，经过秒钟，， 当， ， 故答案是：8． （2）设出发时，则运动的时间为秒，由题意得： ， ， 解得： 因此经4秒点离点，点离点，符合题意． 答：先出发，再从出发后，． （3）设经过秒钟后，则，，， ， 解得，（不合题意，舍去） 答：经过秒钟后． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$