第二十二章二次函数单元卷2024-2025学年人教版数学 九年级上册

九年级上册数学 第二十二章 二次函数 单元卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于二次函数的图象，下列说法中正确的是（    ） A．开口向下 B．经过原点 C．当时，y随x的增大而增大 D．与x轴的交点坐标为 2．下列函数中，y是x二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的对称轴为 B．图象的顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 4．在正比例函数中，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不等的正实数根 D．有两个异号实数根 6．已知二次函数，当时，y取得最小值为，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；  ②当时，y随x增大而减小；③； ④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论的个数是（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式 . 12．将二次函数化成形式为 ． 13．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为 米． 14．将二次函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位得到的新抛物线的顶点坐标是 ． 15．已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ． 16．已知二次函数的图象与坐标轴共有两个交点，且这两个交点到原点的距离分别为和，对称轴在轴左侧，则这个二次函数的解析式为 ． 17．若、、为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 18．已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为 ． 三、解答题 19．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 20．已知二次函数的图象经过点．求： (1)该二次函数的表达式； (2)函数图象的顶点坐标； (3)当自变量x满足时，函数值y的取值范围为______． 21．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 22．如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点． （1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？ 23．某商品的进价为每件40元，售价每件不低于60元且每件不高于80元.当售价为每件60元是，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为元（为正整数），每个月的销售利润为元. （1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）当每件商品定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？ 24．如图，点是y轴正半轴上的点，点A的坐标为，以AC为边作等腰直角三角形ABC，其中，，，以点B为顶点的抛物线经过点A且和x轴交于另一点D，交y轴于点E． （1）点B的坐标为_____________； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在求点P的坐标，不存在则说明理由． 25．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）． （1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标； （2）在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，A选项错误； 时，y随x增大而增大，C选项正确； 把代入， 得， 抛物线x轴的交点坐标为，B，D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 2．C 【分析】根据二次函数的一般形式进行判断即可； 【详解】是一次函数，故A不符合题意； 中x在分母上，故B错误； 是二次函数，故C符合题意； 中自变量的次数不符合，故D错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式判断，准确分析是解题的关键． 3．B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质进行判断即可．熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：，， 函数图象的开口向下，其图象的对称轴为直线， 函数图象的顶点坐标为，二次函数有最大值，最大值为1， 故选：B． 4．B 【分析】利用正比例函数中，随的增大而减小，可知；利用抛物线顶点式，对称轴为x=h，可知二次函数的对称轴为，结合图象，即可解答. 【详解】∵在正比例函数中，随的增大而减小 ∴ ∴二次函数，开口向下，对称轴为 故选B 【点睛】本题考点涉及正比例函数增减性与k的关系、抛物线开口方向、利用抛物线顶点式求对称轴等知识点，熟练掌握各个知识点是解题关键. 5．C 【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为-3，判断方程的根的情况即是判断y=-2时x的值． 【详解】∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是−3， ∵方程， ∴时，即是y=−2求x的值， 由图象可知：有两个同号不等实数根， 故答案为C. 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于结合图象判断实数根个数. 6．A 【分析】先求出二次函数图像的对称轴x=1，再根据函数的增减性判断出当x=a时，y=-2，代入函数关系式求出a的值即可． 【详解】∵二次函数， ∴二次函数图像的对称轴为x=1， ∵-1＜0，开口向下， ∴在对称轴x=1的左侧，y随x的增大而增大， ∵当时，即在对称轴左侧，y取得最小值为， ∴当x=a时，y=-2， ∴， 解得：a=-1或a=3（舍去）， 故a的值为-1． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答． 7．B 【分析】根据二次函数图象与各系数的关系即可依次判断． 【详解】解：说明函数与x轴没有交点，由图像可知①错； ∵抛物线的顶点为， 由图像可知，当时，y随x增大而减小，②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，顶点为， ∴与x轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，，③正确； ∵方程没有实数根，即和没有交点， ∵抛物线的顶点为， ∴，故④正确； ∵抛物线的顶点为， ∴，即， ∴， ∴当时，，故⑤错； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．B 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故选：B． 9．D 【分析】根据函数图象的对称轴为直线，，得出；当时，函数中，得出，根据当时，，得出，即可得出；根据，得出，根据，得出；根据，，得出，即，变形为，即可得出． 【详解】解：由图象可知：函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵当时，函数中， 即， 当时，，即， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是将图象中特殊的点代入函数解析式，判定式子符号． 10．C 【分析】观察抛物线与x轴的交点情况即可对①作出判断；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置即可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x=1，即可对③作出判断；观察图象当x=-2时，y>0，从而可对④作出判断；观察图象当x=3时，y<0，从而可对⑤作出判断． 【详解】抛物线与轴有两个交点， ，即， 故①正确； 抛物线开口向上， ， 对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故②正确； ， ， 故③错误； 时，， ，即， 故④错误； 根据抛物线的对称性可知，当时，， ， 故⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及数形结合；对于此类问题，一般是看抛物线的开口方向可确定a的符号、看对称轴的位置可确定b的符号、看抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，看抛物线与x轴交点的个数确定判别式的符号，根据函数图象可确定的符号．关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 11．(答案不唯一) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数中，时图象开口向上，时，图象与y轴的交点为，因此只要满足，即可． 【详解】解：根据二次函数图象与系数的关系可得： 图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式，只要满足，即可， 因此二次函数解析式可以为：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 12． 【分析】本题考查了二次函数化为顶点式：；利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以，． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练地将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．建立适当的坐标系，先求出抛物线解析式，再把水面下降时的值代入解析式求出的值即可． 【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线的解析式为， 水面离拱顶时，水面宽， 点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线解析式为， 当水面下降，即时，， 解得：，， 此时水面宽度为米， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的平移，二次函数的图象与性质是解题的关键．由题意知，，则平移后的抛物线的解析式为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 15．// 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线与直线有两个不同的交点，则方程中的，解出可得的取值；由根与系数的关系得：，，把变形后，得，即可得出答案，运用了恒等变换的思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， ∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴， ∴， ∵两个交点的横坐标是分别为、， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．或/或； 【分析】本题考查二次函数的性质与求二次函数的解析式，根据两个交点得到一个为与y轴交点一个为顶点，结合距离代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴共有两个交点， ∴二次函数的图象与坐标轴的交点为，， ∵对称轴在轴左侧， ∴，，， ∵这两个交点到原点的距离分别为和， 当，时， ， 解得：，， ∴， 当，时， ， 解得：，， ∴ 故答案为：或． 17． 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质：通过比较三点到对称轴的距离的大小判断、、的大小，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，开口向下， 就是抛物线的顶点，故最大； 又点到对称轴的距离，点到对称轴的距离为5， ， ， 故； 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图像的性质，当抛物线开口向下时，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小，即离对称轴的距离越大的点的纵坐标越小，这是解答此题的关键． 18．（4，0）． 【分析】先把（1，0）代入y=x2-5x+m求出m得到抛物线解析式为y=x2-5x+4，然后解方程x2-5x+4=0得到抛物线与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：把（1，0）代入y=x2-5x+m得1-5+m=0，解得m=4， 所以抛物线解析式为y=x2-5x+4， 当y=0时，x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4， 所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）． 故答案为（4，0）． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题． 19．(1)1或3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可； （2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可； （3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小； （4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，， ∴方程的两个根为； （2）∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为或； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是； （4）∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为， 当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根． 20．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将代入二次函数求得m的值，即可求出二次函数表达式； （2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标； （3）直接求出当自变量x满足时，函数值y的取值范围． 【详解】（1）将代入二次函数得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）， 所以抛物线的顶点坐标为； （3）当自变量x满足时，函数值y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 21．(1)； (2)的值为，，1，2 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是； （2）解：设，， 则，， 当时，①，解得，（舍去）， ②，解得，（舍去）， 当时，，此时N在x轴上， ，解得或（舍 当时，， ，解得或（舍， 当是等腰三角形时，的值为，，1，2． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏． 22．（1）抛物线的解析式为y=﹣0.05（x﹣6）2+3.2；（2）足球第一次落地点C距守门员14米． 【分析】(1) 设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2，将点A（0，1.4）代入，即可求出解析式； (2)利用令y=0，则﹣0.05（x﹣6）2+3.2=0，求出图象与x轴交点坐标即可得出答案． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2， 将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2=1.4， 解得：a=﹣0.05， 则抛物线的解析式为y=﹣0.05（x﹣6）2+3.2； （2）当y=0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2=0， 解得：x1=﹣2（舍），x2=14， 所以足球第一次落地点C距守门员14米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用， 在实际问题常常构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥、拱门、足球等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 23．（1），（且为整数）；（2）每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元；（3）每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元. 【分析】（1）由于售价为60时，每个月卖100件，售价上涨影响销量，因此根据60≤x≤80列式求解； （2）由（1）中求得的函数解析式来根据自变量x的范围求利润的最大值； （3）在60≤x≤80，令y=2250，求得定价x的值． 【详解】（1）；（且为整数） （2）， ∴，∴当时，有最大值2450. ∴每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元. （3）当元时，， 解得：，；其中，不符合题意，舍去. 因此当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元. 【点睛】考查二次函数的实际运用，利用基本数量关系求出函数解析式是解决问题的关键． 24．（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为或．设，根据列出方程，即可求解． 【分析】（1）作垂足为F，先证明，进而即可求解； （2）设抛物线的函数表达式为，把代入求出a的值，进而即可求解； （3）先求出，再求出直线AC的表达式为：， 【详解】（1）作垂足为F， ∵， ∴∠ACO+∠BCF=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCF=∠OAC， 又∵∠AOC=∠CBF=90°，， ∴， ∴，， ∴，所以点B的坐标为； （2）设抛物线的函数表达式为， 由题意得：，解得：。 所以抛物线的函数表达式为即； （3）由对称性得，易知， 所以， 设直线AC的表达式为：， 由题意得：，解得，， 所以直线AC的表达式为：； 如图，假设存在点P，设．作轴交AC于Q，则． 所以，， 所以，， 所以，，整理得：， 解得：， 当时，， 此时点P坐标为 当时，，此时点P坐标为 综上所述，AC上方抛物线上存在点P，使得，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 25．（1）A点和B点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（2）满足条件的Q点的坐标为（0，﹣）． 【分析】（1）    已知顶点坐标代入解析式，再求得y=0时的x值即可确定点A、B的坐标. （2）△QMB的周长=QM+QB+MB,而线段MB长度为确定值，所以只需确定QM+QB的和最小即可，做点B关于y轴的对称点C，连接CM与y轴交点即为点Q，求得直线CM与y轴交点坐标即可. 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）． ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4， 当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴A点和B点坐标为（﹣1，0），（3，0）； （2）作B点关于y轴的对称点C，如图，则C（﹣4，0）， 连接MC交y轴于Q， ∵QB＝GC， ∴QM+QB＝QM+QC＝MC， ∴此时QM+QB的值最小，△QMB周长最小， 设直线MC的解析式为y＝ax+b， 把M（1，﹣4），C（﹣3，0）代入得，解得， ∴直线MC的解析式为y＝， 当x＝0时，y＝0＝﹣， ∴满足条件的Q点的坐标为（0，﹣3）． 【点睛】此题是二次函数的综合运用题，在（2）中涉及最短路径问题，找到点B的对称点求得一次函数与y轴交点，正确理解题意是解题关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$