精品解析：广东省深圳市福田区莲花中学北校区2024-2025学年九年级上学期第一次月考（前三章测试）数学试题

莲花中学北校区九（上）数学前三章测试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相垂直 C. 每条对角线平分一组对角 D. 四边相等 3. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B. 关于x的方程有两个不相等实根，则k的取值范围且 C. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴 D. 三角形的一条中位线将三角形分为面积相等的两部分 6. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 7. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. 50 C. D. 25 8. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 10. 一元二次方程的根的判别式的值是______． 11. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 _____． 12. 在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是____． 13. 如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为______． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）；（公式法） （4）．（配方法） 15. 如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． （1）以为一边，在图①中画一个格点菱形； （2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 16. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 17. 如图，菱形对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 18. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积平均年增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克． ①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？ 19. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 20. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莲花中学北校区九（上）数学前三章测试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后化简后，看是否只含有一个未知数且未知数的最高次数为2． 【详解】解：是一元一次方程，故A不符合题意； 是二元二次方程，故B不符合题意； 是分式方程，故C不符合题意； 是一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相垂直 C. 每条对角线平分一组对角 D. 四边相等 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质进行综合比较分析即可得出答案． 【详解】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知， 它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，熟知平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 3. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：D． 4. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可求得周长． 【详解】解：解方程x2−12x＋35＝0 得x＝5或x＝7， 又3＋4＝7， 故长度为3，4，7的线段不能组成三角形， ∴x＝7不合题意， ∴三角形的周长为3＋4＋5＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B. 关于x的方程有两个不相等实根，则k的取值范围且 C. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴 D. 三角形的一条中位线将三角形分为面积相等的两部分 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的判定和性质可判断A和C错误；根据一元二次方程的定义和根的判别式可判断B正确；根据三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两部分，可以判定D错误； 【详解】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形；选项错误，不符合题意； B、∵关于x的方程有两个不相等实根， ∴， 解得：且， 选项正确，符合题意； C、正方形有条对称轴；选项错误，不符合题意； D、三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两部分，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识点；对以上各部分知识点的理解掌握是解题的关键． 6. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 7. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. 50 C. D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可． 【详解】解：图1连接， 菱形中，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 图3过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 8. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BE，BD，如图,利用菱形的性质得△BDC为等边三角形,在Rt△BCE中计算出BE=,接着证明BE⊥AB, 利用折叠的性质得到EF=AF.,设EF=AF=x, FG垂直平分AE,所以在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解: 连接BE，BD，如图, ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°, ∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°, ∴∠CBE=90°-60°=30°. ∵E点为CD的中点， ∴CE=DE=1,BE⊥CD. 在Rt△BCE中， BC=2CE=2， BE= . ∵AB∥CD, ∴BE⊥AB. ∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处, ∴EF=AF. 设EF=AF=x,则BF=2-x, 在Rt△BEF中, , 解得 . 故选A. 点睛:本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出BE的长并能利用Rt△BEF的三条边列方程是解答本题的关键. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 10. 一元二次方程的根的判别式的值是______． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式为．根据一元二次方程根的判别式公式代入数值计算即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴该方程根的判别式， 故答案为：52． 11. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的， ∴黑色阴影区域的面积是， 故答案为：． 12. 在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点 Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是____． 【答案】 【解析】 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点，运动秒时，能使的面积为， 则的长为，的长为． 可列方程， 解得，（舍去）， 动点，运动3秒时，能使的面积为． 故答案为：3． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 13. 如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件证四边形是矩形，得出，．再延长交于点G，证明，得出，再证明，设，根据勾股定理得出：，列方程求出DF的长度，进而求出． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； 如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， 根据勾股定理得：， 即， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1.8． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）；（公式法） （4）．（配方法） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（）利用直接开平方法解答即可； （）移项，利用因式分解法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； （）移项，利用配方法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得，， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 15. 如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． （1）以为一边，在图①中画一个格点菱形； （2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可． （2）根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，平行四边形． 【点睛】此题考查了作图知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． 16. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有题意可知，“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）共有三种情况，则小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种， 小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 17. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得到，先判断四边形为平行四边形，再判断矩形； （2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题关键是牢记它们的概念与性质． 18. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克． ①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）；（2）①每天能售出（）千克；②售价应降低5元 【解析】 【分析】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2018年及2020年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设售价应降低元，则每天可售出（）千克； ②根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为， 依题意，得：100(1+y)2=256， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为； （2）①设售价应降低元，则每天可售出（）千克； ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】（1），，；（2）；（3）实数的整数值为或或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，即可求解； （3）由根判别式求得，再利用根与系数的关系求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，， ，， ； 故答案为：，，； （2）由题知，和可看成方程的两个实数根， ，． ， ， ． 所以． 故的值为． （3）根据题意得且，解得， ，， ∴， ∴， 为整数，为整数， ， 解得， 又， 的整数值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． 20. 问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1），且，见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明，根据全等三角形的性质即可求证； （）连接并延长交于，连接，先证明，得，，则有，根据勾股定理求出即可； （）过点作于点，由勾股定理求出，根据等面积，得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； 【小问2详解】 解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等角对等边等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$