精品解析：广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期高三数学段考2试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（ ） A. B. C. 124 D. 252 6. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，则，相互独立 C. 若，互斥，则，相互独立 D. 若，独立，则 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=_________________ 13. 如果一个直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为________. 14. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为． （1）若，求的值； （2）求面积的最大值． 16. 某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． （1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； （3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 17. 如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求面与面夹角的正切值． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为. （1）求的方程； （2）求弦的长（用表示）； （3）若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值. 19. 如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. （1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； （2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高三数学段考2试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，求出和，再根据集合的运算，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以， 又，所以，故， 故选：D. 2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出，化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】由题得， ，，其对应的点位于第四象限. 故选：D． 3. 双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小. 【详解】双曲线的两条渐近线的方程为， 由直线的斜率为，可得倾斜角为， 的斜率为，可得倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角的大小为， 故选：B. 4. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 5. 若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（ ） A. B. C. 124 D. 252 【答案】B 【解析】 【分析】运用等比数列定义和求和公式计算即可. 【详解】由，得的公比，所以的公比为， 则的前6项和为． 故选：B. 6. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值. 【详解】由题知， 因为，， 所以， 又因为在区间上是减函数， 所以， 两式相减，得， 因为，所以. 故选：A. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】易证明为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解. 【详解】令，其定义域为， 因为，所以为偶函数， 由题易知也为偶函数， 因为两个函数图象的交点个数为奇数， 所以两个函数的交点，必有一个是原点， 故. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，则，相互独立 C. 若，互斥，则，相互独立 D. 若，独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项. 【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确， 对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确， 对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误， 对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确， 故选：ABD. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D. 【详解】在中， ∵，则，整理得，所以， 由二倍角公式得，解得， 在中，则，故选项A正确； 在中，则，故选项B错误； 由题意可知：，即， 由，解得，故选项C正确； 在中， ∵，则， ∴，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值； 对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可； 对于D：分析可得，结合的单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R， 且， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式， 因为，即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=_________________ 【答案】4 【解析】 【详解】在△ABC中，利用余弦定理， ，化简得：8c－7b＋4＝0，与题目条件联立，可解得， 【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解 13. 如果一个直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】如图所示： 在中，， 而直角三角形周长， 由勾股定理可知， 若要使最大，只需最大即可， 即最大即可， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，， 当且仅当等号成立， 此时，其面积为. 故答案为：. 14. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】对求导后，代入可求得，根据导数几何意义可求得切线，则可将问题转化为与平行且与曲线相切的切点到直线的距离的求解，设切点，由切线斜率为可构造方程求得切点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果. 【详解】， ，解得：， ，则， 切线的方程为：，即； 若最小，则为与平行且与曲线相切的切点，所求最小距离为到直线的距离， 设所求切点，由，可得， 所以，即，又单调递增，而时， 所以，即， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为． （1）若，求的值； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值； （2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值． 【小问1详解】 由正弦定理，可得， 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得， ，， ，， 当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值 16. 某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． （1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； （3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 【答案】（1）分布列： X 1 2 3 P ， （2）分布列： 0 1 2 3 ，． （3）应选择方案一的抽奖方式，理由：因为，， 即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定， 所以应选择方案一的抽奖方式． 【解析】 【分析】（1）由条件确定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，结合公式求期望和方差； （2）由条件确定的可能取值，判断，结合二项分布的分布列求法确定其分布列，再由公式求期望和方差， （3）通过比较随机变量期望和方差的大小，确定选择方案. 【小问1详解】 设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为， ，，． X的分布列为： X 1 2 3 P 所以，． 【小问2详解】 设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为． 则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以，． 【小问3详解】 略 17. 如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求面与面夹角的正切值． 【答案】（1）证明：因为三棱柱中， 故四边形为菱形，又因，点是棱的中点， 故， 又侧面底面，侧面底面， 侧面， 所以底面，又底面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）由侧面底面得底面，进而可证； （2）向量法求面与面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因， ，故为直角三角形， 故， 如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 由（1）可知，，，故，， 则， 由题意平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为， 则即，令，则，， 则， 设面与面夹角为，则， 故， 面与面夹角的正切值为. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为. （1）求的方程； （2）求弦的长（用表示）； （3）若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）当时，；当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）分和，当时，直接求出，当时，设出直线的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式，即可求解； （3）根据题设，先求出和时，四边形的面积，再求出时，，从而得出，再通过化简，得到，令，通过求出的最大值，即可解决问题. 【小问1详解】 由题知，又，得到，所以， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为直线经过点，且倾斜角为， 当时，直线，由，解得，，此时， 当，设直线的方程为，其中， 由，消得到， 又，所以，即， 综上，当时，；当时，. 【小问3详解】 直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，所以， 当时，易知，，此时四边形面积为， 当时，可设，其中， 同理可得， 当时，，，此时四边形面积为， 当且时，四边形面积为①， 又， 代入①化简得到， 即， 令， 令，则， 所以，对称轴，又，则 当，即时，， 此时， 所以四边形面积的最小值为， 又，所以四边形面积的最小值. 【点睛】本题的关键在于第（3）问，分和，分别求出，先求出和两种情况下的面积，再根据题有，当和时，，再求出的最小值，跟特殊情况比较，即可求解. 19. 如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. （1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； （2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 【答案】（1）1，3，5，7，5，3，1 （2）①1012；②2025 【解析】 【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果； （2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果 【小问1详解】 因为数列是项数为7的“对称数列”，所以， 又因为成等差数列，其公差，… 所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1； 【小问2详解】 ①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足， 可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列， 故 ， 所以当时，取得最大值； ②因为即， 所以即， 于是， 因为数列是“对称数列”， 所以 ， 因为，故， 解得或，所以， 当，，…，构成公差为的等差数列时，满足， 且，此时，所以的最小值为2025. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到，，…，构成公差为的等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $