本册综合测评-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 本册综合测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} 答案：C 解析：由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，所以M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C. 2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，0) C．(－∞，0)∪(0，1] D．(0，1] 答案：C 解析：要使函数有意义，则得即x≤1且x≠0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，1]．故选C. 3．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定綈p为(　　) A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2 C．∃x∈N，x3<x2 D．∃x∈N，x3≤x2 答案：D 解析：命题p：∀x∈N，x3>x2的否定是存在量词命题，所以綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D. 4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．故选B. 5．已知0<x<1，a，b为常数，且ab>0，则y＝＋的最小值为(　　) A．(a＋b)2 B．(a－b)2 C．a＋b D．a－b 答案：A 解析：y＝＋＝[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当x＝时取等号． 6．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.则当x∈[1，3]时，f(x)的最小值是(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 答案：C 解析：当x<0时，f(x)＝－，在[－3，－1]内，当x＝－3时，f(x)有最大值2，因为f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以f(x)在[1，3]内的最小值是－2. 7.已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是(　　) A． B．∪ C．(α，β) D．(－∞，α)∪(β，＋∞) 答案：B 解析：不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，且a<0，所以α＋β＝－，αβ＝，所以不等式cx2＋bx＋a<0化为x2＋x＋1>0，所以αβx2－(α＋β)x＋1>0，化为(αx－1)(βx－1)>0，又0<α<β，所以>>0，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.故选B. 8．已知函数f(x)＝若方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设h(x)＝f(x)＋|x－2|＝方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y＝h(x)的图象与y＝kx的图象有且只有三个交点，又y＝h(x)的图象与y＝kx的图象如图所示．求得k1＝－，k2＝3－2，即实数k的取值范围是.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，为真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4>0 B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0 C．∃x∈N，使x2≤x D．∃x∈N＋，使x为29的约数 答案：ACD 解析：对于A，这是全称量词命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故A为真命题；对于B，这是全称量词命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故B为假命题；对于C，这是存在量词命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故C为真命题；对于D，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以D为真命题．故选ACD. 10．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．则下列四个函数中是“理想函数”的是(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 答案：AD 解析：①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为定义域上的减函数．对于A，函数f(x)＝－x是奇函数，且是定义域上的减函数，故其是“理想函数”；对于B，函数f(x)＝是奇函数，但在整个定义域上不是减函数，故其不是“理想函数”；对于C，函数f(x)＝x2是偶函数，且也不是定义域上的减函数，故其不是“理想函数”；对于D，函数f(x)＝是奇函数，且是定义域上的减函数，故其是“理想函数”．故选AD. 11．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值可能为(　　) A．－1 B．－4 C．5 D．8 答案：BD 解析：①当－1<－时，即a<2时， f(x)＝易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即1－＝3，所以a＝－4. ②当－1>－，即a>2时， f(x)＝易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即－1＝3，所以a＝8.③当－1＝－，即a＝2时，f(x)＝3|x＋1|≥0，与题意不符．综上可得，a＝－4或a＝8.故选BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如果不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是<x<，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：由|x－a|<1，得a－1<x<a＋1.由题意可知(等号不能同时成立)，即≤a≤.故实数a的取值范围是. 13．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则m＝________，函数f(x)的单调递增区间是________． 答案：1　(－∞，0] 解析：函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则函数图象的对称轴为y轴，所以m－1＝0，即m＝1.由m＝1，得函数的解析式为f(x)＝－x2＋2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]． 14．已知函数f(x)＝且f(0)为f(x)的最小值，则实数a的取值范围是________． 答案：[0，4] 解析：若f(0)为f(x)的最小值，则当x≤0时，函数f(x)＝(x－a)2为减函数，则a≥0；当x>0时，函数f(x)＝x＋＋3a的最小值4＋3a≥f(0)，即4＋3a≥a2，解得－1≤a≤4.综上所述，实数a的取值范围是[0，4]． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知全集U＝{x∈Z|－2<x<5}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{1，2，3，4}． (1)求A∩B，A∪B； (2)求(∁UA)∩B，A∪(∁UB)． 解：(1)因为集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{1，2，3，4}， 所以A∩B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}． (2)因为全集U＝{x∈Z|－2<x<5}＝{－1，0，1，2，3，4}， 集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{1，2，3，4}， 所以∁UA＝{3，4}，∁UB＝{－1，0}， 所以(∁UA)∩B＝{3，4}，A∪(∁UB)＝{－1，0，1，2}． 16．(本小题满分15分)函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. (1)若f(x)有且只有一个零点，求m的值； (2)若f(x)有两个零点且均比－1大，求m的取值范围． 解：(1)根据题意，若f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且只有一个零点， 则Δ＝(2m)2－4(3m＋4)＝0， 解得m＝－1或4，即m的值为－1或4. (2)根据题意，若f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有两个零点且均比－1大， 则有 解得－5<m<－1， 即m的取值范围为(－5，－1)． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并证明． 解：(1)根据题意，f(x)＝为奇函数， 则f(－x)＋f(x)＝0， 即＋＝0， 解得a＝0. (2)由(1)的结论，得f(x)＝， 函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 证明如下：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝ ＝ ＝， 又x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 则x1x2－1<0，x2－x1>0，x＋1>0，x＋1>0， 则有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝x2－ax＋3. (1)若f(x)≤－3的解集为[b，3]，求实数a，b的值； (2)当x∈时，若关于x的不等式f(x)≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)≤－3即x2－ax＋6≤0的解集为[b，3]， 所以b，3是一元二次方程x2－ax＋6＝0的两根， 所以 解得 (2)当x∈时， 若关于x的不等式f(x)≥1－x2恒成立， 即a≤2x＋在x∈时恒成立， 令g(x)＝2x＋，x≥，则a≤g(x)min， 因为2x＋≥2＝4， 当且仅当x＝1时取等号， 所以实数a的取值范围是(－∞，4]． 19．(本小题满分17分)某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝ 由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)； (2)年产量为多少千部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)当0<x<40时， W(x)＝700x－(10x2＋100x)－250＝－10x2＋600x－250； 当x≥40时， W(x)＝700x－－250＝－＋9200， 所以W(x)＝ (2)当0<x<40时，W(x)＝－10(x－30)2＋8750， 当x＝30时，W(x)max＝8750， 当x≥40时，W(x)＝－＋9200≤9200－2＝9000， 当且仅当x＝ ， 即x＝100时，W(x)max＝9000， 所以年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$