3.1.1 第2课时 函数的表示方法-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 第2课时　函数的表示方法 知识点一　函数的三种表示方法 1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的函数关系式是(　　) A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0) 答案：D 解析：由题意可知，汽车行驶的速度v＝2 km/min＝120 km/h，故y＝120t(t≥0)． 2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))＝________，g(f(2))＝________． x 1 2 3 f(x) 2 3 0 答案：2　2 解析：由函数g(x)的图象及f(x)的对应关系知，g(2)＝1，f(1)＝2，则f(g(2))＝f(1)＝2；f(2)＝3，g(3)＝2，则g(f(2))＝g(3)＝2. 知识点二　函数图象的作法及应用 3．作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝|x2－2x|＋1； (2)y＝x＋. 解：(1)函数y＝|x2－2x|＋1的定义域为R， 列表： x … －1 0 1 2 3 … y … 4 1 2 1 4 … 观察图象可知，其值域为[1，＋∞)． (2)函数y＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 列表： x … －3 －2 －1 － － 1 2 3 … y … － － －2 － － 2 … 观察图象可知，其值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 知识点三　函数解析式的求法 4．求下列函数的解析式： (1)已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x＋1)； (2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知2f(x)＋f(－x)＝3x2＋x＋2，求f(x)； (4)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，求f(x)． 解：(1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋2(2x＋1)＝4x2＋8x＋3. (2)解法一(拼凑法)：f(－1)＝x＋2＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1. ∴f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 解法二(换元法)：令t＝－1， 则t≥－1，且＝t＋1， ∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3. ∴f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． (3)∵2f(x)＋f(－x)＝3x2＋x＋2，① ∴将x换成－x，得2f(－x)＋f(x)＝3x2－x＋2，② 联立①②得f(x)＝x2＋x＋. (4)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x＋2， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x＋2， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x＋2. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， ∴解得∴f(x)＝x2＋x＋1. 知识点四　分段函数 5．设函数f(x)＝则f(f(f(2)))＝(　　) A．0 B．1 C．2 D． 答案：B 解析：由题意，得f(2)＝＝1，f(f(2))＝f(1)＝＝0，f(f(f(2)))＝f(0)＝1.故选B. 6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 答案：A 解析：该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝ 由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.故选A. 7．已知函数f(x)＝－＋x2. (1)求函数f(x)的定义域，并用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)由题意，得|x|≠0，所以x≠0， 该函数的定义域为{x|x≠0}． 当x<0时，f(x)＝－＋x2＝x2＋x， 当x>0时，f(x)＝－＋x2＝x2－x， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)可知，函数f(x)的值域为. 一、单选题 1．函数f(x)＝x＋的大致图象是(　　) 答案：C 解析：f(x)＝x＋＝结合图形可知C符合题意．故选C. 2．观察下表： x －3 －2 －1 1 2 3 f(x) 4 1 －1 －3 3 5 g(x) 1 4 2 3 －2 －4 则f(g(2))－f(－1)＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：A 解析：g(2)＝－2，f(－2)＝1，f(－1)＝－1，所以f(g(2))－f(－1)＝f(－2)－f(－1)＝1－(－1)＝2. 3．已知函数f(x)的图象恒过点(1，1)，则函数f(x－3)的图象恒过点(　　) A．(4，1) B．(－3，1) C．(1，－3) D．(1，4) 答案：A 解析：函数f(x－3)的图象可看作函数f(x)的图象向右平移3个单位长度得到，因为函数f(x)的图象恒过点(1，1)，所以函数f(x－3)的图象恒过点(4，1)． 4．已知f(x)＝则f＋f＝(　　) A．－2 B．4 C．2 D．－4 答案：B 解析：∵f(x)＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4. 5．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)＝(　　) A．x＋5 B．x＋1 C．2x－3 D．2x＋1 答案：A 解析：因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由3f(x＋1)＝2x＋17，得3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17，整理得3ax＋3(a＋b)＝2x＋17，所以所以所以f(x)＝x＋5.故选A. 二、多选题 6．已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．D(x)的值域为[0，1] B．D(x)的定义域为R C．D(x＋1)＝D(x) D．D(D(x))＝0 答案：BC 解析：由分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集可知函数D(x)的值域为{0，1}，故A错误；由分段函数的定义域是所有自变量取值范围的并集可知D(x)的定义域为R，故B正确；当x∈Q时，x＋1∈Q，故D(x＋1)＝D(x)＝1，当x∉Q时，x＋1∉Q，故D(x＋1)＝D(x)＝0，所以D(x＋1)＝D(x)，故C正确；因为D(x)∈{0，1}，所以D(x)为有理数，所以D(D(x))＝1，故D错误．故选BC. 7．(2024·山东临沂高一期中)设函数y＝f(x)的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则(　　) A．f2(f(0))＝f(f2(0)) B．f2(f(1))＝f(f2(1)) C．f(f(2))＝f2(f2(2)) D．f(f(3))＝f2(f2(3)) 答案：ACD 解析：因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，所以f2(x)＝f(0)＝－1，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(－2)＝7，f(3)＝2，所以f2(f(0))＝f2(－1)＝2，f(f2(0))＝f(－1)＝2，故A正确；f2(f(1))＝f2(－2)＝2，f(f2(1))＝f(－2)＝7，故B不正确；f(f(2))＝f(－1)＝2，f2(f2(2))＝f2(－1)＝2，故C正确；f(f(3))＝f(2)＝－1，f2(f2(3))＝f2(2)＝－1，故D正确．故选ACD. 三、填空题 8．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c＝________，A＝________． 答案：60　16 解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15　①.由题意知4<A，且＝＝30　②.由①②，解得c＝60，A＝16. 9．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为________________． 答案：f(x)＝－(x≠0) 解析：∵f(x)＝2f＋x　①，∴将x换成，得f＝2f(x)＋　②.由①②消去f，得f(x)＝－－，即f(x)＝－(x≠0)． 10．函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－3) 解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．所以a的取值范围是(－∞，－3)． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝ (1)求f(－1)，f，f(4)的值； (2)求函数f(x)的定义域、值域． 解：(1)易知f(－1)＝2×(－1)＋2＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3. (2)作出函数f(x)的图象如图所示．利用“数形结合”，易知函数f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}． 12．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数f(x)的解析式和f(f(－3))的值． 解：因为f(2)＝1， 所以＝1，即2a＋b＝2.① 又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以方程ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1. 代入①，得a＝， 所以f(x)＝＝(x≠－2)． 所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝. 13．(2024·四川雅安高一期中)对任意实数x，y，函数f(x)都满足f(x＋y)＝2f(y)＋x2＋2xy－y2＋3x－3y，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝x2＋3x 解析：∵f(x＋y)－2f(y)＝x2＋2xy－y2＋3x－3y对任意实数x，y都成立，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝0，得f(x)－2f(0)＝x2＋3x，∴f(x)＝x2＋3x. 14．(2024·山东菏泽高一期末)水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a(0<a≤4且a∈R)个单位的营养液，它在水中释放的浓度y(单位：克/升)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝af(x)，其中f(x)＝若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(单位：克/升)时，它才能有效． (1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？ (2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放m个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求m的最小值． 解：(1)因为一次投放4个单位的营养液， 所以水中释放的营养液浓度为 y＝4f(x)＝ 当0≤x≤4时，≥4，解得2≤x≤4； 当4<x≤10时，20－2x≥4，解得4<x≤8. 综上，2≤x≤8，所以只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续6天． (2)设从第一次投放起，经过x(6≤x≤10)天后，浓度为g(x)＝2＋m·＝10－x＋m·. 因为6≤x≤10，所以12－x>0，x－4>0， 所以10－x＋m·≥4， 即m≥＝10－， 所以10－≤10－2＝2，当且仅当x－4＝，即x＝8时，等号成立，所以m≥2，所以m的最小值为2. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$