2.1.3 方程组的解集-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 2．1.3　方程组的解集 知识点一　一次方程组的解集 1．方程组的解集是(　　) A．{4，2} B．{(4，2)} C．{－5，－1} D．{(－5，－1)} 答案：B 解析：解①－②，得4y＝8，∴y＝2.将y＝2代入①可得x＝4.∴原方程组的解集为{(4，2)}． 2．已知是方程2x－ay＝6的一个解，则a的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案：B 解析：把代入方程2x－ay＝6得，4＋a＝6，解得a＝2.故选B. 3．方程组的解集为(　　) A．{2，1，－1} B．{2，－1，1} C．{(2，1，－1)} D．{(2，－1，1)} 答案：C 解析：已知②＋③，得x＋y＝3　④.①与④组成方程组为解得把x＝2代入②，得2×2－z＝5，解得z＝－1.所以原方程组的解为解集为{(2，1，－1)}． 4．根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生篮球联赛中，某球队赛了12场，得20分，则赢的场数为(　　) A．6 B．10 C．8 D．3 答案：C 解析：设赢了x场，输了y场．因为赛了12场，所以x＋y＝12.又因为赢一场得2分，输一场得1分，所以2x＋y＝20.解方程组得则赢了8场． 5．方程3x＋y＝6的一个解与方程组的解相同，则k的值为(　　) A． B．－ C．2 D．－2 答案：A 解析：解①＋②×2，得x＝k，将x＝k代入②，得y＝－k，所以代入方程3x＋y＝6，得3×k－k＝6，解得k＝.故选A. 知识点二　二次方程组的解集 6．方程组的解集为(　　) A．(3，0) B．(0，－3) C．{(3，0)，(0，－3)} D．{(0，3)，(－3，0)} 答案：C 解析：将x＝y＋3代入x2＋y2＝9，解得y＝0或y＝－3，从而求得x＝3或x＝0.故选C. 7．求方程组的解集． 解：由 解得 故方程组的解集为{(－1，－2，10)}． 8．已知关于x，y的方程组其中k∈R. (1)证明：无论k为何值，该方程组总有两组不同的解； (2)记该方程组的两组不同的解分别为和判断3(y1＋y2)－2y1y2是否为定值．若为定值，求出该值；若不是定值，请说明理由． 解：(1)证明：消去y，整理得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 显然k2＋2≠0，且Δ＝8k2＋8>0， 因此该方程有两个不同的解， 所以原方程组有两组不同的解． (2)由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝， y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝， 所以3(y1＋y2)－2y1y2＝－＝4， 因此3(y1＋y2)－2y1y2是定值，且定值为4. 一、单选题 1．二元一次方程组的解集为(　　) A．{(3，2)} B．{(3，1)} C．{(2，1)} D．{(1，2)} 答案：B 解析：已知②－①，得y＝1.将y＝1代入①，得x＝3.所以原方程组的解为即原方程组的解集为{(3，1)}． 2．方程组的一组解为则m＋n＝(　　) A． B． C．3 D．4 答案：A 解析：将(2，n)代入2x－3y＝1，得n＝1，将(2，1)代入y2＝mx，得m＝，∴m＋n＝.故选A. 3．若方程组的解集为{(a，b)|(8.3，1.2)}，则方程组的解集为(　　) A．{(x，y)|(6.3，2.2)} B．{(x，y)|(8.3，1.2)} C．{(x，y)|(10.3，2.2)} D．{(x，y)|(10.3，0.2)} 答案：A 解析：由题意可得即所以方程组的解集为{(x，y)|(6.3，2.2)}．故选A. 4．已知则＝(　　) A． B．3 C．－ D．－3 答案：A 解析：消去z，得x＝2y，代入3x－y－z＝0，得z＝5y，所以＝＝.故选A. 5．若方程组有解，则m的取值范围是(　　) A． B． C．∅ D．R 答案：D 解析：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以m∈R. 二、多选题 6．下列各组中的值不是方程组的解的是(　　) A． B． C． D． 答案：CD 解析：把选项中的x，y的值逐项代入，得到A，B能让原方程组成立，而C，D不能让原方程组成立． 7．(2024·山西阳泉高一期末)关于x，y的方程组的解集，下列说法正确的是(　　) A．可能是空集 B．必定不是空集 C．可能是只有一个元素的集合 D．可能是无限集 答案：BCD 解析：当a＝时，x－3y＝6与3x－2y＝4为同一方程，的解集是无限集；当a≠时，的解集只有一个元素，则A错误，B，C，D正确．故选BCD. 三、填空题 8．若关于x，y的方程组的解是则mn＝________． 答案：－2 解析：把代入方程组中， 可得解得则mn＝－2. 9．已知集合M＝{(x，y)|y＝x2＋2x＋4}，N＝{(x，y)|y＝2x2＋2x＋3}，则M∩N＝________． 答案：{(1，7)，(－1，3)} 解析：由M＝{(x，y)|y＝x2＋2x＋4}，N＝{(x，y)|y＝2x2＋2x＋3}，联立得 解得或所以M∩N＝{(1，7)，(－1，3)}． 10．一个十位数字是0的三位数，它恰好等于它的各个位数上的数字和的67倍，交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好等于它的各个位数上的数字和的m倍，则m＝________． 答案：34 解析：设这个三位数的百位数字为x，个位数字为y，则两式相加，得101(x＋y)＝(67＋m)(x＋y)，所以67＋m＝101，所以m＝34. 四、解答题 11．求下列方程组的解集： (1)(2) (3) 解：(1)已知 ①×2－②，得5y－z＝7，　　　④ ①×3－③，得5y＋z＝3，　　　⑤ ④＋⑤，得y＝1， 将y＝1代入⑤，得z＝－2， 将y＝1，z＝－2代入①，得x＝7. 故原方程组的解是 即原方程组的解集是{(7，1，－2)}． (2)由 将②代入①，得5y2－8y＋1＝0， 解得y＝， 将y＝代入②，得x＝， 将y＝代入②，得x＝， 所以方程组的解集为. (3)由方程x2－2xy＋y2＋x－y－2＝(x－y)2＋(x－y)－2＝(x－y＋2)(x－y－1)＝0， 可得x－y＝－2或x－y＝1， 当x－y＝－2时，由 得或 当x－y＝1时，由 得或 所以原方程组的解集为. 12．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 解：设甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆， 由题意，得 由①得3x＋2y＋2z＝580，　③ 由②得x＋z＝150, ④ 把④代入③，得x＋2y＝280， 所以2y＝280－x, ⑤ 由④得z＝150－x， 黄花一共用了24x＋12y＋18z＝6(4x＋2y＋3z)， 又4x＋2y＋3z＝4x＋(280－x)＋3(150－x)＝730， 6×730＝4380. 故黄花一共用了4380朵． 13．(2024·山东烟台高一期末)已知方程组则“k＝±”是“方程组的解集中只含有一个元素”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)． 答案：充分不必要条件 解析：由方程组消去y，得k2x2－(2k2－1)x＋k2＝0　①，当k＝0时，①式为x＝0，此时y＝0，原方程组的解集为{(0，0)}，满足题意；当k≠0时，则Δ＝(2k2－1)2－4k4＝1－4k2＝0，解得k＝±.故方程组的解集中只含有一个元素时，k＝±或0.因此“k＝±”是“方程组的解集中只含有一个元素”的充分不必要条件． 14．(2024·江苏扬州高一期末)已知关于x，y的二元一次方程组甲同学正确解得而乙同学粗心，把c看错了，解得求abc的值． 解：对方程组 将代入方程②，得10－3c＝1， 解得c＝3， 将代入方程①，得2a＋3b＝3，　③ 将代入方程①，得3a＋6b＝3，　④ 联立③④，得 解得 所以abc＝3×(－1)×3＝－9. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$