1.2.3 第2课时 充要条件-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 第2课时　充要条件 知识点一　充要条件 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由x2－2x＋1＝0，得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．故选C. 2．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 答案：D 解析：a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D. 3．“c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：c＝0⇒y＝ax2＋bx，二次函数的图象一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点⇒c＝0.所以“c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点”的充要条件．故选C. 知识点二　从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：充分性：当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，可以推出A⊆B，故充分性成立；必要性：若A⊆B，则{1，a}⊆{1，2，3}，可得a＝2或a＝3，故必要性不成立．所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．故选A. 5．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B. 6．若集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1＋a<x<1＋a}，则“a∈(2，3)”是“B⊆A”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：∵B＝{x|－1＋a＜x＜1＋a}，要使B⊆A，则解得2≤a≤3，∴a∈(2，3)⇒B⊆A，反之不成立．所以“a∈(2，3)”是“B⊆A”的充分不必要条件．故选A. 知识点三　充要条件的证明 7．证明：“x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的实数根”的充要条件是“a＋b＋c＝0”． 证明：①充分性：当a＋b＋c＝0时，c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝(ax＋a＋b)(x－1)＝0，解得x＝1，充分性成立． ②必要性：当x＝1时，代入方程ax2＋bx＋c＝0，则a＋b＋c＝0，必要性成立． 综上所述，“x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的实数根”的充要条件是“a＋b＋c＝0”． 8．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明：充分性：若a2－b2＝1成立，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件． 必要性：若a4－b4－2b2＝1成立， 则a4－(b2＋1)2＝0， 即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0. 因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0， 所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 综上所述，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 一、单选题 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|，所以“|x|＝|y|”是“x＝y”的必要不充分条件．故选B. 2．已知三条线段的长分别为a，b，c，若a>b>c，则“b＋c>a”是“a，b，c为某三角形三边长”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：依题意，由a>b>c，得a＋c>b，a＋b>c，又b＋c>a，因此a，b，c能为一个三角形三边长；a，b，c是某三角形三边长，则有b＋c>a，所以“b＋c>a”是“a，b，c为某三角形三边长”的充要条件．故选C. 3．“集合M∩N＝N”是“M∪N＝M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为M∩N＝N⇔N⊆M⇔M∪N＝M，所以“集合M∩N＝N”是“M∪N＝M”的充要条件．故选C. 4．命题“对任意x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 答案：C 解析：∵“对任意x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，∴a≥x2对任意x∈[1，2]恒成立，∴a≥4，而a≥5是a≥4的一个充分不必要条件，故选C. 5．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2，3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 答案：A 解析：∁UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，∵P(2，3)∈A∩(∁UB)，∴∴ 故选A. 二、多选题 6．设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　) 答案：BD 解析：由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD. 7．有以下四种说法，其中说法正确的是(　　) A．“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件 B．“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件 C．“x＝3”是“x2－2x－3＝0”的充分不必要条件 D．“A∩B＝B”是“A＝∅”的必要不充分条件 答案：AC 解析：对于A，因为QR，所以“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件，A正确；对于B，“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，B错误；对于C，x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，故“x＝3”是“x2－2x－3＝0”的充分不必要条件，C正确；对于D，A∩B＝B，则B⊆A，故“A∩B＝B”是“A＝∅”的既不充分也不必要条件，D错误．故选AC. 三、填空题 8．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 答案：m＝－2 解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴方程为x＝－，所以－＝1⇔m＝－2. 9．p：1－x<0，q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，1) 解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q)p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1. 10．(2024·河南郑州高一期中)设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数．则“A≠B”是“d(A，B)>0”的________条件． 答案：充要 解析：若A≠B，则A∪B≠A∩B，则card(A∪B)>card(A∩B)，故d(A，B)>0成立；若card(A∪B)>card(A∩B)，则A∪B≠A∩B，所以A≠B.所以“A≠B”是“d(A，B)>0”的充要条件． 四、解答题 11．设a，b∈R，证明p：是q：a3＋b3＋2＋(3ab＋1)(a＋b)＝0成立的充分不必要条件． 证明：p⇒q显然成立，下证q)p. q等价于a3＋b3＋3ab(a＋b)＋(a＋b)＋2＝0， 即(a＋b)3＋(a＋b)＋2＝0， (a＋b＋1)[(a＋b)2－(a＋b)＋2]＝0， (a＋b＋1)＝0， 所以q⇔a＋b＋1＝0. 取a＝－2，b＝1，则q成立，但p不成立， 所以qp. 故p是q成立的充分不必要条件． 12．已知α：1≤x≤2，β：1≤x≤a. (1)若α是β的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：a≥2是α⇒β成立的充要条件． 解：(1)设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}， 若α是β的必要不充分条件，则B是A的真子集， 当B＝∅时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意； 当B≠∅时，若B是A的真子集，则 解得1≤a＜2. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a＜2}． (2)证明：充分性：若a≥2， 则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以α：1≤x≤2可得出β：1≤x≤a，故充分性成立． 必要性：若α：1≤x≤2可得出β：1≤x≤a， 则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以a≥2，故必要性成立． 综上所述，a≥2是α⇒β成立的充要条件． 13．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．则正确命题的序号是________． 答案：①② 解析：由题意，得p⇒r，r)p；q⇒r；r⇒s；s⇒q，∴s⇒q，q⇒r⇒s，则s是q的充要条件，①正确；p⇒r⇒s⇒q，q⇒r)p，则p是q的充分不必要条件，②正确；q⇒r，r⇒s⇒q，则r是q的充要条件，③错误；r⇒s，s⇒q⇒r，则r是s的充要条件，④错误． 14．设集合A＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，B＝(－∞，2a)∪(－a，＋∞)(a<0)． (1)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)设p：x∈A，q：x∈B，且綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (3)是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意，知AB，则有 ∴－1<a<0，即实数a的取值范围是(－1，0)． (2)∵綈p中x的取值构成的集合为(－2，3)，綈q中x的取值构成的集合为[2a，－a]， ∴(－2，3)[2a，－a]，∴ ∴a≤－3， ∴实数a的取值范围为(－∞，－3]． (3)∵无论a取何值，都有A≠B， ∴不存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$