1.2.3 第2课时 充要条件-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

第2课时　充要条件

知识点一　充要条件

1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：C

解析：由x2－2x＋1＝0，得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．故选C.

2．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A．ab＝0 B．ab＞0

C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0

答案：D

解析：a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.

3．“c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：C

解析：c＝0⇒y＝ax2＋bx，二次函数的图象一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点⇒c＝0.所以“c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点”的充要条件．故选C.

知识点二　从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：充分性：当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，可以推出A⊆B，故充分性成立；必要性：若A⊆B，则{1，a}⊆{1，2，3}，可得a＝2或a＝3，故必要性不成立．所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．故选A.

5．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B.

6．若集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1＋a<x<1＋a}，则“a∈(2，3)”是“B⊆A”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：∵B＝{x|－1＋a＜x＜1＋a}，要使B⊆A，则解得2≤a≤3，∴a∈(2，3)⇒B⊆A，反之不成立．所以“a∈(2，3)”是“B⊆A”的充分不必要条件．故选A.

知识点三　充要条件的证明

7．证明：“x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的实数根”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．

证明：①充分性：当a＋b＋c＝0时，c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝(ax＋a＋b)(x－1)＝0，解得x＝1，充分性成立．

②必要性：当x＝1时，代入方程ax2＋bx＋c＝0，则a＋b＋c＝0，必要性成立．

综上所述，“x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的实数根”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．

8．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.

证明：充分性：若a2－b2＝1成立，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．

必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，

则a4－(b2＋1)2＝0，

即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.

因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，

所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.

综上所述，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.

一、单选题

1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|，所以“|x|＝|y|”是“x＝y”的必要不充分条件．故选B.

2．已知三条线段的长分别为a，b，c，若a>b>c，则“b＋c>a”是“a，b，c为某三角形三边长”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件