1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 1．2．3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件 知识点一　充分条件、必要条件 1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 答案：A 解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但当|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立，得“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．故选A. 2．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．既是充分条件，也是必要条件 答案：C 解析：∵－2＜x＜1x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1－2＜x＜1，∴“－2＜x＜1”既不是“x＞1或x＜－1”的充分条件，也不是“x>1或x<－1”的必要条件．故选C. 3．“a>b”是“a>|b|”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案：B 解析：当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但a＞|b|不成立，即充分性不成立．若a＞|b|，当b≥0时，满足a＞b，当b＜0时，a＞|b|＞b成立，即必要性成立．故“a＞b”是“a＞|b|”的必要条件．故选B. 4．[多选]使－1<2x＋1<3成立的一个充分条件是(　　) A．x<1 B．0<x<1 C．－1<x<0 D．－1<x<1 答案：BCD 解析：由于－1<2x＋1<3，即－1＜x＜1，x<1显然不能使－1＜x＜1成立，B，C，D满足题意． 5．“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：充分 解析：当a和b都是偶数时，a＋b为偶数；当a＋b为偶数时，a和b可以都为奇数．所以“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的充分条件． 6．判断下列各题中p是q的什么条件． (1)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (2)p：四边形的对角线互相垂直，q：四边形是菱形． 解：(1)由a2＋b2＝0，得a＝b＝0，从而可以推出a＋b＝0；而由a＋b＝0，推不出a2＋b2＝0(如a＝1，b＝－1)， 所以p是q的充分条件，但不是必要条件． (2)由“四边形的对角线互相垂直”推不出“四边形是菱形”；而由“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”，所以p是q的必要条件，但不是充分条件． 知识点二　充分条件与必要条件的应用 7．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B，所以m≥4. 故实数m的取值范围是[4，＋∞)． 8．设p：a－1≤x≤a＋1，q：2≤x≤3. (1)当a＝0时，判断p是q的什么条件； (2)若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，p：－1≤x≤1，q：2≤x≤3， 显然p不是q的充分条件，也不是必要条件． (2)p：a－1≤x≤a＋1，q：2≤x≤3. 因为p是q的必要条件， 所以 解得2≤a≤3， 所以实数a的取值范围是[2，3]． 一、单选题 1．“2x＋1为整数”是“x为整数”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案：B 解析：由“2x＋1为整数”不能推出“x为整数”，如当x＝时，2x＋1为整数，x不为整数，但x为整数时，2x＋1必为整数，所以“2x＋1为整数”是“x为整数”的必要条件．故选B. 2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案：A 解析：若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而当a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1时，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分条件．故选A. 3．(2024·河北邢台高一期中)若集合A＝{1，m2}，B＝{3，9}，则“m＝3”是“A∩B＝{9}”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案：A 解析：若m＝3，则A＝{1，9}，B＝{3，9}，A∩B＝{9}，而A∩B＝{9}时，m2＝9，m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{9}”的充分条件．故选A. 4．使|x|＝x成立的一个必要条件是(　　) A．x＝0 B.≥1 C．x2≥－x D.>0 答案：C 解析：由|x|＝x，得x≥0，则x2＋x≥0，x2≥－x，所以C是必要条件．故选C. 5．已知p：－4＜x－a＜4，q：2<x<3，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，6] B．(－∞，－1] C．[6，＋∞) D．(－∞，－1]∪[6，＋∞) 答案：A 解析：綈p：x≤a－4或x≥a＋4，綈q：x≤2或x≥3.又綈p是綈q的充分条件，所以 解得－1≤a≤6.故选A. 二、多选题 6．已知p：x≥0，q：1<x<3，则(　　) A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．p不是q的充分条件 D．p不是q的必要条件 答案：BC 解析：不妨令A＝{x|x≥0}，B＝{x|1<x<3}，则BA，所以p是q的必要条件，但不是充分条件．故选BC. 7．下列选项中，p是q的必要条件的是(　　) A．p：xy>0，q：x>0，y>0 B．p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2 C．p：a能被6整除，q：a能被2整除 D．p：两个角不都是直角，q：两个角不相等 答案：ABD 解析：对于A，若xy>0，则x>0，y>0或x<0，y<0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件；对于B，若(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件；对于C，若a能被6整除，则a也能被3和2整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件；对于D，若两个角不都是直角，则这两个角可以相等，若两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．故选ABD. 三、填空题 8．“a为素数”________“a为奇数”的充分条件(填“是”或“不是”)． 答案：不是 解析：素数是除了1和它本身以外不再有其他的因数的数，奇数是不能被2整除的数．当a＝2时，a为素数，但a是偶数不是奇数．所以“a为素数”不是“a为奇数”的充分条件． 9．给出下列式子： ①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a. 其中是“<”的充分条件的有________．(填序号) 答案：①②④ 解析：当a<0<b时，<0<；当b<a<0时，<<0；当b<0<a时，<0<；当0<b<a时，0<<.所以是“<”的充分条件的有①②④. 10．若A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}，且x∈A是x∈B的充分条件，则实数a的取值范围为________． 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 解析：因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B，又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}，所以a＋2≤－1或a≥3，所以实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． 四、解答题 11．指出下列命题中，p是q的什么条件． (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>4； (3)p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是正三角形． 解：(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q，q)p， ∴p是q的充分条件，但不是必要条件． (2)∵x2>4⇒x>2或x<－2， ∴p)q，且q)p. ∴p既不是q的充分条件，也不是必要条件． (3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即p)q，且q⇒p， ∴p是q的必要条件，但不是充分条件． 12．已知命题p：关于x的方程x2－4x＋a＝0有实根，若綈p为真命题的充分条件为a>3m＋1，求m的取值范围． 解：由方程有实数根可得Δ＝16－4a≥0， 即a≤4， 綈p为真命题，即p为假命题，所以a>4， 因为a>3m＋1是p为假命题的充分条件，所以3m＋1>4，解得m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)． 13．(2024·江苏南京高一期末)已知[x]表示不大于x的最大整数，A＝{y|y＝x－[x]}，B＝{y|0≤y≤m}，若y∈A是y∈B的充分条件，则m的取值范围是________． 答案：[1，＋∞) 解析：对于集合A＝{y|y＝x－[x]}，不妨设k≤x<k＋1(k∈Z)，此时由[x]的定义可知，有0≤y＝x－[x]＝x－k<1，所以A＝{y|y＝x－[x]}＝{y|0≤y<1}，若y∈A是y∈B的充分条件，则A⊆B，所以m的取值范围是[1，＋∞)． 14．已知p：集合A＝{x|4x2－4x＋2a＋5＝0}至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若p是q的必要条件，求实数m的取值范围． 解：对于p，依题意，知Δ＝(－4)2－4×4(2a＋5)＝16(－2a－4)≤0，∴a≥－2. 设P＝{a|a≥－2}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m>0}， ∵p是q的必要条件，∴Q⊆P， ∴解得0<m≤3， ∴实数m的取值范围是(0，3]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$