1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 1．2．2　全称量词命题与存在量词命题的否定 知识点一　命题的否定 1．写出下列命题的否定． (1)，1.414，，π都是无理数； (2)3≥2； (3)方程x2＝－1没有实数根． 解：(1)，1.414，，π不都是无理数． (2)3<2. (3)方程x2＝－1有实数根． 知识点二　全称量词命题的否定 2．命题“任意一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案：D 解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可先将全称量词改为存在量词，然后否定结论，故该命题的否定为“存在一个无理数，它的平方不是有理数”． 3．下列全称量词命题的否定是真命题的是(　　) A．∀x＞0，x3＞0 B．所有矩形的对角线相等 C．不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根 D．每一个三角形的三个顶点共圆 答案：C 解析：对于A，原命题的否定为“∃x＞0，x3≤0”，其是假命题；对于B，原命题的否定为“有的矩形的对角线不相等”，其是假命题；对于C，原命题的否定为“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根”．由Δ＝1＋4m<0，得m<－，则当m<－时，x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题；对于D，原命题是真命题，故其否定是假命题． 4．命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________． 答案：∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3 解析：因为命题为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是“∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3”． 知识点三　存在量词命题的否定 5．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 答案：C 解析：由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为把存在量词改为全称量词，然后再否定结论，故选C. 6．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)∀x∈R，x2＞0； (2)∃x∈R，x2＝1； (3)∃x∈R，x2－3x＋2＝0； (4)等腰梯形的对角线垂直． 解：(1)命题的否定：∃x∈R，x2≤0. 因为当x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真命题． (2)命题的否定：∀x∈R，x2≠1. 因为当x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假命题． (3)命题的否定：∀x∈R，x2－3x＋2≠0. 因为当x＝1时，12－3×1＋2＝0， 所以命题的否定为假命题． (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题． 知识点四　全称、存在量词命题的否定的综合运用 7．已知p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0，若p为假命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案：B 解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，即∃x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.故选B. 8．已知p：∃x∈(1，3)，x－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(3，＋∞) C．(－∞，3] D．[3，＋∞) 答案：D 解析：因为綈p是真命题，所以∀x∈(1，3)，x－a<0，所以a≥3. 一、单选题 1．已知命题p：∀x>0，(x＋1)(x2＋1)>1，则綈p为(　　) A．∃x≤0，(x＋1)(x2＋1)≤1 B．∃x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1 C．∀x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1 D．∀x≤0，(x＋1)(x2＋1)≤1 答案：B 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p为∃x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1.故选B. 2．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是(　　) A．∃x∉∁RQ，x3∈Q B．∃x∈∁RQ，x3∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 答案：D 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D. 3．命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是(　　) A．所有奇数都是2的倍数 B．存在一个偶数是2的倍数 C．所有偶数都不是2的倍数 D．存在一个偶数不是2的倍数 答案：D 解析：命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是“存在一个偶数不是2的倍数”．故选D. 4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则綈p为(　　) A．∀x∈A，2x∉B B．∀x∉A，2x∉B C．∃x∉A，2x∈B D．∃x∈A，2x∉B 答案：D 解析：“任意”的否定是“存在”，则命题p：∀x∈A，2x∈B的否定是綈p：∃x∈A，2x∉B.故选D. 5．已知命题p：∃x∈[－1，3]，x－a－2≤0.若p为假命题，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，1] C．(－∞，－3) D．(－∞，1) 答案：C 解析：由题意，綈p：∀x∈[－1，3]，x－a－2>0为真命题，故∀x∈[－1，3]，x>a＋2恒成立，故－1>a＋2，即a<－3.故选C. 二、多选题 6．设命题p：∀n∈N，6n＋7为素数，则(　　) A．綈p为假命题 B．綈p：∃n∈N，6n＋7不是素数 C．綈p为真命题 D．綈p：∀n∈N，6n＋7不是素数 答案：BC 解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得綈p：∃n∈N，6n＋7不是素数，故B正确，D错误；当n＝3时，6n＋7＝25，且25不是素数，故命题p是假命题，则綈p为真命题，故C正确，A错误．故选BC. 7．下列四个命题的否定是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2＞0 答案：ABC 解析：对于A，由1＜4x＜3，得＜x＜，这样的整数x不存在，故原命题为假命题，则其否定为真命题；对于B，由5x＋1＝0，得x＝－∉Z，故原命题为假命题，则其否定为真命题；对于C，原命题的否定为∃x∈R，x2－1≠0，当x＝2时，22－1≠0，故原命题的否定为真命题；对于D，对任意实数x，都有x2＋x＋2＝＋＞0，故原命题为真命题，则其否定为假命题． 三、填空题 8．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________，其否定是________命题(填“真”或“假”)． 答案：∃x∈R，|x|＋x2<0　假 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．因为∀x∈R，有|x|≥0，x2≥0，所以|x|＋x2≥0，原命题为真命题，故其否定为假命题． 9．(2024·山东青岛高一期中)某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为两位同学所出的题中m的取值范围是否一致？________．(填“是”或“否”) 答案：是 解析：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题，所以两位同学所出的题中m的取值范围是一致的． 10．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________． 答案：[3，8) 解析：∵p(1)是假命题，p(2)是真命题， ∴解得3≤m＜8. 四、解答题 11．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0. 解：(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋<0. ∵∀x∈R，x2－x＋＝≥0， ∴綈p是假命题． (2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题． (3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. ∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0， ∴綈r是真命题． 12．已知命题p：∃x∈[1，3]，m<x，命题q：∀x∈[1，3]，m<x. (1)写出命题p和q的否定； (2)若命题p和q的否定均为真命题，求实数m的取值范围． 解：(1)綈p：∀x∈[1，3]，m≥x；綈q：∃x∈[1，3]，m≥x. (2)由綈p：∀x∈[1，3]，m≥x为真命题，可得m≥3，由綈q：∃x∈[1，3]，m≥x为真命题，可得m≥1，故实数m的取值范围为[3，＋∞)． 13．(2024·安徽芜湖安徽师范大学附属中学高一期中)若命题“∃x∈[1，3]，x2＋x－a＞0”为假命题，则a的取值范围是________． 答案：[12，＋∞) 解析：由“∃x∈[1，3]，x2＋x－a＞0”为假命题，可得“∀x∈[1，3]，x2＋x－a≤0”为真命题，即a≥(x2＋x)max，解得a≥12，所以a的取值范围是[12，＋∞)． 14．(2024·广东惠州高一阶段测试)已知命题p：∀x∈R，2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0. (1)写出命题綈p； (2)若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围． 解：(1)∵命题p：∀x∈R，2x≠－x2＋m， ∴綈p：∃x∈R，2x＝－x2＋m. (2)∵命题p为假命题， ∴綈p：∃x∈R，2x＝－x2＋m为真命题， 即－x2－2x＋m＝0有实数根， ∴Δ＝4＋4m≥0，∴m≥－1， 又命题q为真命题， ∴x2＋2x－m－1＝0有实数根， ∴Δ＝4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2. 综上所述，实数m的取值范围是[－1，＋∞)． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$