1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．2．2　全称量词命题与存在量词命题的否定

知识点一　命题的否定

1．写出下列命题的否定．

(1)，1.414，，π都是无理数；

(2)3≥2；

(3)方程x2＝－1没有实数根．

解：(1)，1.414，，π不都是无理数．

(2)3<2.

(3)方程x2＝－1有实数根．

知识点二　全称量词命题的否定

2．命题“任意一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案：D

解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可先将全称量词改为存在量词，然后否定结论，故该命题的否定为“存在一个无理数，它的平方不是有理数”．

3．下列全称量词命题的否定是真命题的是(　　)

A．∀x＞0，x3＞0

B．所有矩形的对角线相等

C．不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根

D．每一个三角形的三个顶点共圆

答案：C

解析：对于A，原命题的否定为“∃x＞0，x3≤0”，其是假命题；对于B，原命题的否定为“有

的矩形的对角线不相等”，其是假命题；对于C，原命题的否定为“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根”．由Δ＝1＋4m<0，得m<－，则当m<－时，x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题；对于D，原命题是真命题，故其否定是假命题．

4．命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．

答案：∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3

解析：因为命题为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是“∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3”．

知识点三　存在量词命题的否定

5．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0

C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0

答案：C

解析：由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为把存在量词改为全称量词，然后再否定结论，故选C.

6．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．

(1)∀x∈R，x2＞0；

(2)∃x∈R，x2＝1；

(3)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；

(4)等腰梯形的对角线垂直．

解：(1)命题的否定：∃x∈R，x2≤0.

因为当x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真命题．

(2)命题的否定：∀x∈R，x2≠1.

因为当x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假命题．

(3)命题的否定：∀x∈R，x2－3x＋2≠0.

因为当x＝1时，12－3×1＋2＝0，

所以命题的否定为假命题．

(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．

知识点四　全称、存在量词命题的否定的综合运用

7．已知p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0，若p为假命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，1) B．(－∞，1]

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

答案：B

解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，即∃x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.故选B.

8．已知p：∃x∈(1，3)，x－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1) B．(3，＋∞)

C．(－∞，3] D．[3，＋∞)

答案：D

解析：因为綈p是真命题，所以∀x∈(1，3)，x－a<0，所以a≥3.

一、单选题

1．已知命题p：∀x>0，(x＋1)(x2＋1)>1，则綈p为(　　)

A．∃x≤0，(x＋1)(x2＋1)≤1

B．∃x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1

C．∀x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1

D．∀x≤0，(x＋1)(x2＋1)≤1

答案：B

解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p为∃x＞0，(x＋1)(x2＋1)≤1.故选B.

2．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是(　　)

A．∃x∉∁RQ，x3∈Q B．∃x∈∁RQ，x3∉Q

C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q