1.2.1 命题与量词-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．2.1　命题与量词

知识点一　命题

1．判断下列语句是否为命题．若是，判断其真假，并说明理由．

(1)对每一个无理数x，x2也是无理数；

(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

(3)当x＝4时，2x＋1＜0；

(4)请坐！

解：(1)是命题，因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以是一个假命题．

(2)不是命题，它是疑问句，没有作出判断．

(3)是命题，当x＝4时，2x＋1＝2×4＋1＝9＞0，所以是一个假命题．

(4)不是命题，它是祈使句．

2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)负数的立方仍是负数．

解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．真命题．

(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．假命题．

(3)若一个数是负数，则它的立方仍是负数．真命题．

知识点二　全称量词与全称量词命题

3．下列命题中全称量词命题的个数是(　　)

①任意一个自然数都是正整数；

②有的菱形有外接圆；

③三角形的内角和为180°.

A．0 B．1

C．2 D．3

答案：C

解析：①中含有全称量词“任意一个”，故①为全称量词命题；②中含有存在量词“有的”，故②为存在量词命题；③可描述为“所有三角形的内角和均为180°”，其中“所有”为全称量词，故③为全称量词命题．故选C.

4．[多选]下列全称量词命题是假命题的是(　　)

A．∀x∈R，x2＋2＞0 B．∀x∈N，x4≥1

C．∀x∈R，x2＋1≥2 D．∀x∈Z，都有x∈R

答案：BC

解析：由于∀x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题；由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题；由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题；因为所有的整数都是实数，所以“∀x∈Z，都有x∈R”是真命题．故选BC.

5．若命题“∀x∈R，kx2－1≠0”是真命题，则实数k的取值范围是________．

答案：(－∞，0]

解析：当k＝0时，－1≠0恒成立；当k≠0时，Δ＝0＋4k<0，解得k<0.综上所述，实数k的取值范围是(－∞，0]．

知识点三　存在量词与存在量词命题

6．下列命题中存在量词命题的个数是(　　)

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对任意x∈R，总有≤1.

A．0 B．1

C．2 D．3

答案：B

解析：命题①含有存在量词“有些”，是存在量词命题；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故选B.

7．[多选]下列存在量词命题是真命题的是(　　)

A．∃x∈Z，x3＜1

B．存在一个四边形不是平行四边形

C．∃x∈Q，x2＝3

D．∃x，y为正实数，x2＋y2＝0

答案：AB

解析：∵－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，∴“∃x∈Z，x3＜1”是真命题；“存在一个四边形不是平行四边形”是真命题，如梯形；由x2＝3，解得x＝±，而±都不是有理数，∴命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题；∵x＞0，y＞0，∴x2＋y2＞0，∴“∃x，y为正实数，x2＋y2＝0”为假命题．故选AB.

8．已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2＋2x＋2＝m有实数根”是真命题，则实数m的取值范围为________．

答案：[1，＋∞)

解析：依题意可知方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，所以实数m的取值范围是[1，＋∞)．

一、单选题

1．下列命题为全称量词命题的是(　　)

A．有些实数没有倒数

B．矩形都有外接圆

C．存在一个实数与它的相反数的和为0

D．有的菱形是正方形

答案：B

解析：B中“矩形都有外接圆”省略了全称量词“所有的”，它是全称量词命题．

2．下列命题与“∃x∈R，x2＋1<0”表述一致的是(　　)

A．只有一个实数x，使得x2＋1<0

B．不存在实数x，使得x2＋1<0

C．所有实数x，都有x2＋1≥0