1.2.1 命题与量词-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 1．2.1　命题与量词 知识点一　命题 1．判断下列语句是否为命题．若是，判断其真假，并说明理由． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数； (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ (3)当x＝4时，2x＋1＜0； (4)请坐！ 解：(1)是命题，因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以是一个假命题． (2)不是命题，它是疑问句，没有作出判断． (3)是命题，当x＝4时，2x＋1＝2×4＋1＝9＞0，所以是一个假命题． (4)不是命题，它是祈使句． 2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)负数的立方仍是负数． 解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．真命题． (2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．假命题． (3)若一个数是负数，则它的立方仍是负数．真命题． 知识点二　全称量词与全称量词命题 3．下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形有外接圆； ③三角形的内角和为180°. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：①中含有全称量词“任意一个”，故①为全称量词命题；②中含有存在量词“有的”，故②为存在量词命题；③可描述为“所有三角形的内角和均为180°”，其中“所有”为全称量词，故③为全称量词命题．故选C. 4．[多选]下列全称量词命题是假命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2＞0 B．∀x∈N，x4≥1 C．∀x∈R，x2＋1≥2 D．∀x∈Z，都有x∈R 答案：BC 解析：由于∀x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题；由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题；由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题；因为所有的整数都是实数，所以“∀x∈Z，都有x∈R”是真命题．故选BC. 5．若命题“∀x∈R，kx2－1≠0”是真命题，则实数k的取值范围是________． 答案：(－∞，0] 解析：当k＝0时，－1≠0恒成立；当k≠0时，Δ＝0＋4k<0，解得k<0.综上所述，实数k的取值范围是(－∞，0]． 知识点三　存在量词与存在量词命题 6．下列命题中存在量词命题的个数是(　　) ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对任意x∈R，总有≤1. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：命题①含有存在量词“有些”，是存在量词命题；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故选B. 7．[多选]下列存在量词命题是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x3＜1 B．存在一个四边形不是平行四边形 C．∃x∈Q，x2＝3 D．∃x，y为正实数，x2＋y2＝0 答案：AB 解析：∵－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，∴“∃x∈Z，x3＜1”是真命题；“存在一个四边形不是平行四边形”是真命题，如梯形；由x2＝3，解得x＝±，而±都不是有理数，∴命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题；∵x＞0，y＞0，∴x2＋y2＞0，∴“∃x，y为正实数，x2＋y2＝0”为假命题．故选AB. 8．已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2＋2x＋2＝m有实数根”是真命题，则实数m的取值范围为________． 答案：[1，＋∞) 解析：依题意可知方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，所以实数m的取值范围是[1，＋∞)． 一、单选题 1．下列命题为全称量词命题的是(　　) A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．有的菱形是正方形 答案：B 解析：B中“矩形都有外接圆”省略了全称量词“所有的”，它是全称量词命题． 2．下列命题与“∃x∈R，x2＋1<0”表述一致的是(　　) A．只有一个实数x，使得x2＋1<0 B．不存在实数x，使得x2＋1<0 C．所有实数x，都有x2＋1≥0 D．至少有一个实数x，使得x2＋1<0 答案：D 解析：与“∃x∈R，x2＋1<0”表述一致的是“至少有一个实数x，使得x2＋1<0”．故选D. 3．既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．全等三角形必相似 B．至少有一个x∈R，使x2≤0 C．两个无理数的和是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 答案：B 解析：A，C为全称量词命题；B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题是真命题；D显然是假命题．故选B. 4．给出下列四个命题： ①∀x∈R，x2－3x＋2>0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案：D 解析：当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；因为仅当x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；因为x2＋1＞0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④中不等式可化为x2－2x＋1＞0，即(x－1)2＞0，当x＝1时，(x－1)2＝0，故④为假命题．故选D. 5．已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：假设命题p是真命题，则∃x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0，解得a≤.因为命题p是假命题，所以a>.故选A. 二、多选题 6．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，则(　　) A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∉B D．∀x∈B，x∈A 答案：AD 解析：因为集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，所以B是A的真子集，所以∃x∈A，x∈B或∀x∈B，x∈A.故选AD. 7．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是(　　) A．对任意a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线互相垂直 C．存在x∈R，使得x2＝x D．函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 答案：BD 解析：A中含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线互相垂直，故B是真命题；C是存在量词命题；D是全称量词命题，且Δ＝a2＋4>0，所以函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点，故D是真命题．故选BD. 三、填空题 8．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成存在量词命题为________． 答案：∃x＜0，(1＋x)(1－9x2)＞0 解析：命题可分两部分，条件“有些负数”写为“∃x<0”，结论“满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”写为“(1＋x)(1－9x2)>0”． 9．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 答案：(答案不唯一) 解析：令a＝，b＝，则－＝×，有序数对满足题意．(答案不唯一，有序数对(a，b)满足a－b＝ab即可．) 10．已知命题“∀x∈R，函数y＝2x2＋x＋a的函数值恒大于0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：由题意可得Δ＝12－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是. 四、解答题 11．用符号“∀”与“∃”表示下列命题，并判断真假． (1)不等式2x2－x＋≥0对一切实数x都成立； (2)存在实数x，使得＝. 解：(1)∀x∈R，2x2－x＋≥0恒成立． 2x2－x＋＝2≥0，故该命题是真命题． (2)∃x∈R，使得＝. 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， 所以≤<，故该命题是假命题． 12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解：(1)因为命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠∅， 所以解得2≤m≤3， 即m的取值范围是{m|2≤m≤3}． (2)因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅. 因为B≠∅，所以m≥2，则m＋1≥3，所以要使A∩B≠∅，需满足m＋1≤5，所以m≤4. 又m≥2，所以2≤m≤4，即m的取值范围是{m|2≤m≤4}． 13．(2024·江西新余高一期中)根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词的真命题或存在量词的真命题：________． 1＝12， 1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝52， …… 答案：∀k∈N＋，1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2 解析：观察式子，可知从1开始从小到大连续k个奇数相加的和为k2，故可得∀k∈N＋，1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2. 14．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－2，－9<3－4m<x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－2，－9<3－4m<x＋1”是真命题． ∵当x≥－2时，x＋1≥－1， ∴－9<3－4m<－1，解得1<m<3. 又m为整数， ∴m＝2. 故存在整数m＝2，使得命题“∀x≥－2，－9<3－4m<x＋1”是真命题． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$