1.1.1 第1课时 集合-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　必修·第一册[人教B版]作业与测评 1．1．1　集合及其表示方法 第1课时　集合 知识点一　集合的概念及元素与集合的关系 1．下列对象能组成集合的是(　　) A．中央电视台著名节目主持人 B．某公司优秀员工 C．中国古典长篇小说四大名著 D．北京的高楼 答案：C 解析：对于A，“著名”无明确标准；对于B，“优秀”的标准不确定；对于D，“高”的标准不确定，所以A，B，D均不能组成集合．而对于C，中国古典长篇小说四大名著是确定的，能组成集合．故选C. 2．设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　) A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M 答案：B 解析：因为集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝<2，所以a不是集合M中的元素，故a∉M. 知识点二　几种常见的数集 3．下列表示正确的是(　　) A．0∈N B．∈Z C．－3∈N＋ D．π∈Q 答案：A 解析：N表示自然数集，0为自然数，故0∈N，A正确；Z表示整数集，不是整数，B错误；N＋表示正整数集，－3是负整数，C错误；Q表示有理数集，π是无理数，D错误．故选A. 4．下列说法中正确的是(　　) A．若－a∉N＋，则a∈N＋ B．若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b的最小值是2 C．若a∈Z，b∈N＋，则∈Z D．若a∉Q，b∉Q，则a＋b∉Q 答案：B 解析：对于A，当a＝0时，－a∉N＋，且a∉N＋，故A错误；对于B，若a∈N＋，则a的最小值是1，若b∈N＋，则b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取得最小值2，故B正确；对于C，不一定是整数，故C错误；对于D，当a＝2＋，b＝－时，a＋b＝2∈Q，故D错误．故选B. 5．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 答案：0，1，2 解析：当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意；当x＞3时，＜0，不满足题意，∴集合A中的元素为0，1，2. 知识点三　集合中元素特性的应用 6．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.故选C. 7．已知集合A由0，1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值． 解：因为x2∈A，所以x2＝0或x2＝1或x2＝x. 若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0，1，0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x2＝1，则x＝±1. 当x＝1时，集合A中三个元素为0，1，1，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0，1，－1，符合题意． 若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意． 综上所述，x＝－1. 8．由方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合中含有几个元素？ 解：x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a. 若a＝1，则由方程的解组成的集合中只含有一个元素1；若a≠1，则由方程的解组成的集合中含有两个元素1，a. 一、单选题 1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　) A．正三角形的全体 B．所有的无理数 C．高一数学第一章的所有难题 D．不等式2x＋3>1的解 答案：C 解析：因为A，B，D均可以确定其元素，而C中难题的标准无法确定．故选C. 2．若集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案：D 解析：根据集合元素的互异性，知a≠b，b≠c，a≠c，故△ABC一定不是等腰三角形．故选D. 3．给出下列关系：①∈R；②∉Q；③|－3|∉N；④|－|∈Q；⑤0∉N.其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：①②正确；③④⑤不正确．故选B. 4．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：当a＝0时，四个数都是0，组成的集合只有1个元素0；当a≠0时，＝|a|＝ 组成的集合中有2个元素．综上所述，组成的集合最多含有2个元素．故选B. 5．已知集合A中的元素x满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A，2∈A，则(　　) A．a＞－4 B．a≤－2 C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2 答案：D 解析：∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，∴－4＜a≤－2.故选D. 二、多选题 6．已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　) A．－2∈A B．－11∉A C．3k2－1∈A D．－34∉A 答案：BC 解析：令3k－1＝－2，解得k＝－，－∉Z，∴－2∉A；令3k－1＝－11，解得k＝－，－∉Z，∴－11∉A；∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A；令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，∴－34∈A.故选BC. 7．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．0∉M B．2∈M C．－4∈M D．4∈M 答案：CD 解析：根据题意，分四种情况讨论：①x，y，z全部为负数时，则xyz也为负数，则＋＋＋＝－4；②x，y，z中有一个为负数时，则xyz为负数，则＋＋＋＝0；③x，y，z中有两个为负数时，则xyz为正数，则＋＋＋＝0；④x，y，z全部为正数时，则xyz也为正数，则＋＋＋＝4，则－4∈M，0∈M，4∈M，2∉M.故选CD. 三、填空题 8．用“Chinese”中的字母构成的集合中有________个元素． 答案：6 解析：由集合中元素的互异性，可知用“Chinese”中的字母构成的集合中有6个元素． 9．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系为(2，7)________P(填“∈”或“∉”)． 答案：∈ 解析：直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2，7)∈P. 10．集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________． 答案：2或4 解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故a＝2或4. 四、解答题 11．已知集合A中含有两个元素m，m2－3m，m∈R. (1)实数m不能取哪些值？ (2)若4∈A，求实数m的值． 解：(1)根据题意，可得m≠m2－3m， 解得m≠0且m≠4， 因此实数m不能取0和4. (2)由(1)的结论，可知m≠4， 若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)． 12．(2024·河南商丘高一期中)已知集合A中的元素都可以写成a＋b(a，b∈Z)的形式． (1)证明：若u∈A，v∈A，则u±v∈A，uv∈A； (2)若u∈A，v∈A，则是否仍属于A？请说明理由． 解：(1)证明：∵u∈A，v∈A，设u＝a＋b，a∈Z，b∈Z，v＝c＋d，c∈Z，d∈Z，则u±v＝(a±c)＋(b±d)·＝m＋n，m＝a±c∈Z，n＝b±d∈Z，∴u±v∈A.uv＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋2bd)＋(bc＋ad)·＝p＋q，p＝ac＋2bd∈Z，q＝bc＋ad∈Z，∴uv∈A. (2)若u∈A，v∈A，则不一定属于A.例子：设u＝1＋，v＝2＋2，则＝. 13．已知集合A由a，a＋b，a＋2b三个元素组成，集合B由a，ac，ac2三个元素组成，若A＝B，则实数c的值为________． 答案：－ 解析：分两种情况进行讨论：①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0.当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0，所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，集合B中的三个元素相同，不符合题意；②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0.由①知a≠0，所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0，解得c＝－或c＝1(舍去)，当c＝－时，经验证，符合题意．综上所述，c＝－. 14．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 证明：(1)若a∈A，则∈A. ∵2∈A，∴＝－1∈A. ∵－1∈A，∴＝∈A. ∵∈A，∴＝2∈A. ∴A中必还有另外两个元素，且为－1，. (2)若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无解． ∴a≠，∴集合A不可能是单元素集． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$