2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　等式与不等式 2.2　不等式 2.2.4　均值不等式及其应用 第2课时　均值不等式的应用 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 证明 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 4 证明 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 5 知识点二　均值不等式的实际应用 3．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次应进货(　　) A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 6 4．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，则x的取值范围为________；最少需要________米铁丝网(精确到1米)． 答案 [8，36] 34 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 7 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，求贮水池的最低总造价． 解 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 9 答案 解析 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 10 7．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x>0恒成立，则a的取值范围是________． 答案 解析 (－∞，2] 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 11 40分钟综合练 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(2024·湖北孝感高一期中)某大型广场计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000 m2，绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示)．当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时，核心喷泉区的边BC的长度为(　　) 答案 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解 析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 400 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 答案 解析 3 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 证明 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 答案 解析 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 证明 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 解 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　利用均值不等式证明不等式 1．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)＞a＋b＋c. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)≥2eq \r(\f(abc2,ab))＝2c，eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥2eq \r(\f(a2bc,bc))＝2a，eq \f(bc,a)＋eq \f(ab,c)≥2eq \r(\f(acb2,ac))＝2b. 当且仅当a＝b＝c时上述等号均成立． 又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时成立． ∴eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)＞a＋b＋c. 2．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＞9. 证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c) ＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c)) ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时等号成立． ∵a，b，c是互不相等的正数，∴等号取不到．∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9. 解析：设进货n次，一年的运费和租金为y元，则每次的进货量为eq \f(10000,n).根据题意得y＝100n＋eq \f(10000,n)≥2000，当且仅当n＝10时取等号，所以每次应进货1000件．故选D. 解析：由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则其邻边长为eq \f(144,x)米，则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×eq \f(144,x).令y＝x＋2×eq \f(144,x)≤44(x＞0)，解得8≤x≤36.则x的取值范围是[8，36]．由均值不等式，得y＝x＋eq \f(288,x)≥24eq \r(2)，当且仅当x＝eq \f(288,x)，即x＝12eq \r(2)时，等号成立，则y最小值＝24eq \r(2)≈34.即最少需要约34米铁丝网． 解：设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元，根据题意，有z＝150×eq \f(4800,3)＋120(2×3x＋2×3y)＝240000＋720(x＋y)． 由容积为4800 m3，可得3xy＝4800， 因此xy＝1600. 故z＝240000＋720(x＋y)≥240000＋720×2eq \r(xy)＝240000＋720×2eq \r(1600)＝297600，当且仅当x＝y＝40时，等号成立．所以将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元． 知识点三　均值不等式的综合问题 6．当x>1时，不等式x＋eq \f(1,x－1)≥a＋1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|a≥3} D．{a|a≤3} 解析：因为x>1，所以x－1>0，故x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2eq \r(（x－1）·\f(1,x－1))＋1＝3，当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立，所以a＋1≤3，即a≤2.故选A. 解析:因为不等式x2－ax＋1≥0对一切x>0恒成立，所以a≤x＋eq \f(1,x)对一切x>0恒成立，因为x>0，所以x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，所以a≤2，即a的取值范围是(－∞，2]． 一、单选题 1．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq \f(24t,t2＋9)，则池塘水中药品的最大浓度为(　　) A．4 mg/L B．6 mg/L C．8 mg/L D．12 mg/L 解析：C＝eq \f(24t,t2＋9)＝eq \f(24,t＋\f(9,t))≤eq \f(24,2\r(t·\f(9,t)))＝4，当且仅当t＝3时取等号，因此经过3 h后池水中药品的浓度达到最大，为4 mg/L.故选A. 2．若x>0，则使得关于x的不等式4x＋eq \f(9,x)≥a恒成立的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥12 B．a≤12 C．a≥11 D．a≤11 解析：若x>0，4x＋eq \f(9,x)≥2eq \r(4x·\f(9,x))＝12，当且仅当4x＝eq \f(9,x)，即x＝eq \f(3,2)时，等号成立，所以若不等式恒成立，则a≤12.则使得关于x的不等式4x＋eq \f(9,x)≥a恒成立的一个充分不必要条件需要是{a|a≤12}的真子集，结合选项，只有D正确． 3．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(4,m)))，其中m<0，则eq \f(b,4a)＋eq \f(4,b)的最小值为(　　) A．－2 B．1 C．2 D．8 解析：由题意可知，方程ax2＋2bx＋4＝0的两个根为m，eq \f(4,m)，则m·eq \f(4,m)＝eq \f(4,a)，解得a＝1，故m＋eq \f(4,m)＝－2b，m<0，所以2b＝－m－eq \f(4,m)≥2eq \r(（－m）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,m))))＝4，当且仅当－m＝－eq \f(4,m)，即m＝－2时取等号，则b≥2，所以eq \f(b,4a)＋eq \f(4,b)＝eq \f(b,4)＋eq \f(4,b)≥2eq \r(\f(b,4)·\f(4,b))＝2，当且仅当eq \f(b,4)＝eq \f(4,b)，即b＝4时取等号，故eq \f(b,4a)＋eq \f(4,b)的最小值为2.故选C. A．20 m B．50 m C．10eq \r(10) m D．100 m 解析：设BC＝x m，则CD＝eq \f(1000,x) m，所以S矩形A1B1C1D1＝(x＋10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1000,x)＋4))＝1040＋4x＋eq \f(10000,x)≥1040＋2eq \r(4x·\f(10000,x))＝1440，当且仅当4x＝eq \f(10000,x)，即x＝50时，等号成立，所以当BC的长度为50 m时，整个项目A1B1C1D1占地面积最小．故选B. 5．(2024·河北沧州高一期中)已知存在两个正数x和y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(1,y)＝a，,\f(1,x)＋9y＝26－a，))则实数a的取值范围是(　　) A．(1，25) B．(1，25] C．[1，25) D．[1，25] 解析：a(26－a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(1,y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋9y))＝13＋36xy＋eq \f(1,xy)≥13＋2eq \r(36xy·\f(1,xy))＝25，当且仅当36xy＝eq \f(1,xy)时取等号，所以a2－26a＋25≤0，解得1≤a≤25. 二、多选题 6．(2024·河南商丘高一期中)若两个正实数x，y满足eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，且不等式x＋eq \f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．3 D．5 解析：因为x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，所以x＋eq \f(y,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝eq \f(4x,y)＋eq \f(y,4x)＋2≥2eq \r(\f(4x,y)·\f(y,4x))＋2＝4，当且仅当eq \f(4x,y)＝eq \f(y,4x)，即x＝2，y＝8时，等号成立．因为不等式x＋eq \f(y,4)<m2－3m有解，所以m2－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4.故选AD. 7．(2024·河南郑州高一期中)若不等式eq \f(a2＋b2,2)＋3≥xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))对任意正数a，b恒成立，则实数x的可能取值为(　　) A．2 B．eq \r(2) C．eq \f(3\r(3),2) D．1 解析：∵不等式eq \f(a2＋b2,2)＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，∴x≤eq \f(a2＋b2＋6,2（a＋b）)(a>0，b>0)恒成立．∵eq \f(a2＋b2＋6,2（a＋b）)≥eq \f(\f(（a＋b）2,2)＋6,2（a＋b）)＝eq \f(a＋b,4)＋eq \f(3,a＋b)≥2eq \r(\f(a＋b,4)·\f(3,a＋b))＝eq \r(3)，当且仅当a＝b＝eq \r(3)时，等号成立，∴x≤eq \r(3).故选BD. 三、填空题 8．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的关系可近似表示为y＝eq \f(1,2)x2－300x＋80000，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为________吨． 解析：设每吨的平均处理成本为s元，由题意可得s＝eq \f(y,x)＝eq \f(x,2)＋eq \f(80000,x)－300，其中300≤x≤600.所以eq \f(x,2)＋eq \f(80000,x)－300≥2eq \r(\f(x,2)·\f(80000,x))－300＝100，当且仅当eq \f(x,2)＝eq \f(80000,x)，即x＝400时，每吨的平均处理成本最低． eq \f(3,2) 9．已知对任意x>a，不等式2x＋eq \f(2,x－a)≥7恒成立，则实数a的最小值为______． 解析：因为x>a，故x－a>0，所以2x＋eq \f(2,x－a)＝2(x－a)＋eq \f(2,x－a)＋2a≥2eq \r(2（x－a）·\f(2,x－a))＋2a＝2a＋4，当且仅当2(x－a)＝eq \f(2,x－a)，即x＝a＋1时，等号成立，即有2a＋4≥7，所以a≥eq \f(3,2)，即实数a的最小值为eq \f(3,2). 解析：因为a＋b＝5，c＝3，所以p＝eq \f(a＋b＋c,2)＝eq \f(5＋3,2)＝4，故S＝eq \r(4（4－a）（4－b）（4－3）)＝2eq \r(（4－a）（4－b）)＝2eq \r(16－4（a＋b）＋ab)＝2eq \r(ab－4)，因为ab≤eq \f(（a＋b）2,4)＝eq \f(25,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(5,2)时，等号成立，故S＝2eq \r(ab－4)≤2×eq \r(\f(25,4)－4)＝3. 10．(2024·广西南宁高一期中)中国宋代的数学家秦九韶曾提出”三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝5，c＝3，则此三角形的面积S的最大值为________． 四、解答题 11．已知x，y，z均为正数，求证：eq \f(x,6yz)＋eq \f(2y,3zx)＋eq \f(3z,2xy)≥eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)＋eq \f(1,3z). 证明：因为x，y，z均为正数， 所以eq \f(x,6yz)＋eq \f(2y,3zx)＝eq \f(1,3z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2y)＋\f(2y,x)))≥eq \f(2,3z)，当且仅当x＝2y时，等号成立， 同理可得eq \f(2y,3zx)＋eq \f(3z,2xy)≥eq \f(2,x)，当且仅当2y＝3z时，等号成立， eq \f(3z,2xy)＋eq \f(x,6yz)≥eq \f(1,y)，当且仅当x＝3z时，等号成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得eq \f(x,6yz)＋eq \f(2y,3zx)＋eq \f(3z,2xy)≥eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)＋eq \f(1,3z)，当且仅当x＝2y＝3z时，等号成立． 12．某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)设2024年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？ 解：(1)由题意，知当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，即k＝2，∴x＝3－eq \f(2,m＋1). 又每件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)元， ∴y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.5×\f(8＋16x,x)))－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,m＋1)))－m＝28－eq \f(16,m＋1)－m(m≥0)． (2)y＝28－eq \f(16,m＋1)－m＝29－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（m＋1）＋\f(16,m＋1)))， ∵m≥0， ∴(m＋1)＋eq \f(16,m＋1)≥2eq \r(（m＋1）·\f(16,m＋1))＝8， 当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3时，等号成立， ∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，y取得最大值． ∴该厂家2024年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大． 解析：因为0<m<eq \f(1,2)，所以eq \f(2,m)＋eq \f(2,1－2m)＝eq \f(2,m)＋eq \f(1,\f(1,2)－m)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－m)))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋\f(1,\f(1,2)－m))) ＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3＋\f(m,\f(1,2)－m)＋\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－m)),m)))≥2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(m,\f(1,2)－m)×\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－m)),m)) ))＝2(3＋2eq \r(2))＝6＋4eq \r(2).当且仅当eq \f(m,\f(1,2)－m)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－m)),m)，即m＝eq \f(2－\r(2),2)时，等号成立，所以k≤6＋4eq \r(2). (－∞，6＋4eq \r(2)] 13．设0<m<eq \f(1,2)，若eq \f(2,m)＋eq \f(2,1－2m)≥k恒成立，则k的取值范围为____________． 14．(2024·河北承德高一期末)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1. 证明：(1)a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)；(2)eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1. 证明：(1)由a＋b＋c＝1， 得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1， 又2ab≤a2＋b2，2ac≤a2＋c2，2bc≤b2＋c2， 当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，上述不等式等号均成立， 所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3a2＋3b2＋3c2， 即3(a2＋b2＋c2)≥1， 所以a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)，当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立． (2)因为a，b，c均为正数， 所以eq \f(a2,b)＋b≥2a，eq \f(b2,c)＋c≥2c，eq \f(c2,a)＋a≥2c， 当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，上述不等式等号均成立， 则eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)＋b＋c＋a≥2a＋2b＋2c， 即eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c＝1， 当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立． 所以eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1. $$