第1章 数列 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 第1章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．有穷数列1，23，26，29，…，23n＋6的项数是(　) A．3n＋7 B．3n＋6 C．n＋3 D．n＋2 答案　C 解析　此数列各项的次数依次为0，3，6，9，…，3n＋6，为等差数列，且首项a1＝0，公差d＝3，设3n＋6是第x项，则3n＋6＝0＋(x－1)×3⇒x＝n＋3.故选C. 2．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于(　) A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 答案　C 解析　依题意有2a4＝a6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0，∴q＝－1或q＝2. 3．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＋a21＝a12，则S27＝(　) A．81 B．54 C．27 D．0 答案　D 解析　设等差数列{an}的公差为d.∵a5＋a21＝a12，∴2a1＋24d＝a1＋11d，∴a1＋13d＝0，即a14＝0.∴S27＝＝＝27a14＝0.故选D. 4．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则＝(　) A．2 B. C. D. 答案　B 解析　由题意得S6－S3＝8，S6＝S3＋8＝4＋8＝12，因为S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，故(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即82＝4(S9－12)，解得S9＝28，故＝＝.故选B. 5．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a10＝(　) A．2 B．3 C．－1 D. 答案　D 解析　∵a1＝，an＋1＝1－，∴a2＝1－2＝－1，同理可得，a3＝2，a4＝，…，∴an＋3＝an.∴a10＝a3×3＋1＝a1＝.故选D. 6．已知等差数列{an}的公差为1，且S99＝99，则a3＋a6＋…＋a96＋a99的值是(　) A．99 B．66 C．33 D．0 答案　B 解析　设A＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，B＝a2＋a5＋…＋a98，C＝a3＋a6＋…＋a99，则A＋B＋C＝S99，B－A＝33，C－B＝33，∴A＝C－66，故C－66＋C－33＋C＝S99＝99，∴C＝66. 7．数列{an}中，an＝3n－7(n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值(　) A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3 C．存在且不唯一 D．不一定存在 答案　B 解析　依题意，bn＝b1·＝·＝，∴an＋logkbn＝3n－7＋logk＝3n－7＋(3n－2)logk＝n－7－2logk.∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk ＝0，即logk3＝1，∴k＝3. 8．定义：满足∶＝q(q为常数，n∈N＋)的数列{an}称为二阶等比数列，q为二阶公比．已知二阶等比数列{an}的二阶公比为，a1＝1，a2＝，则使得an>2024成立的最小正整数n为(　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　＝，则＝()n，＝()n－1，＝()n－2，…，＝，将后面n－1个式子相乘得＝()n－1·()n－2·…·＝()＝2，所以an＝2，即2>2024，验证即可知n最小为8.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题是真命题的是(　) A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 B．若{an}为等差数列，常数c>0且c≠1，则数列{can}为等比数列 C．若{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列 D．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 答案　BCD 解析　对于A，当a，b，c都为零时，命题不成立；选项B，C，D均为真命题．故选BCD. 10．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1>1，0<q<1，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　) A．数列{ln an}为等差数列 B．若Sn＝Aqn＋B，则A＋B＝0 C．Sn·S3n＝S D．记Tn＝a1·a2·…·an，则数列{Tn}有最大值 答案　ABD 解析　由题意可知an＝a1qn－1，Sn＝.对于A，因为ln an＝ln a1qn－1＝ln a1＋(n－1)ln q，ln an＋1＝ln a1qn＝ln a1＋nln q，ln an＋1－ln an＝ln q，故A正确；对于B，由Sn＝＝－qn＋，又Sn＝Aqn＋B，则A＋B＝－＋＝0，故B正确；对于C，Sn＝，S3n＝，Sn·S3n＝，S2n＝，S＝，很明显Sn·S3n≠S，故C错误；对于D，Tn＝a1·a2·…·an，由于a1>1，0<q<1，故数列{an}为递减数列，总存在从某一项k开始使得ak＝a1qk－1∈(0，1)，故Tk－1＝a1·a2·…·ak－1为最大值，故D正确．故选ABD. 11．已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn，且满足an＋an＋1＝2n，bnbn＋1＝2n(n∈N＋)，则下列说法正确的是(　) A．0<a1<1 B．1<b1< C．S2n<T2n D．S2n≥T2n 答案　ABC 解析　在数列{an}中，因为an＋an＋1＝2n，an＋1＋an＋2＝2(n＋1)＝2n＋2，两式相减，得an＋2－an＝2.所以数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以2为公差的等差数列．在数列{bn}中，因为bnbn＋1＝2n，bn＋1bn＋2＝2n＋1，两式相除，得＝2.所以数列{bn}的奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．因为an＋an＋1＝2n，所以即又数列{an}为递增数列，所以所以所以0<a1<1，故A正确；因为bnbn＋1＝2n，所以即又数列{bn}为递增数列，所以⇒⇒⇒1<b1<，故B正确；S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝n(a1＋a2)＋2n2－2n＝2n2，T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝＋＝(2n－1)(b1＋b2)．当n＝1时，S2n＝2×12＝2，T2n＝(21－1)(b1＋b2)＝b1＋b2≥2＝2，S2n<T2n；当n＝2时，S2n＝2×22＝8，T2n＝(22－1)(b1＋b2)＝3(b1＋b2)≥3×2＝6，S2n<T2n；当n＝3时，S2n＝2×32＝18，T2n＝(23－1)(b1＋b2)＝7(b1＋b2)≥7×2＝14，S2n<T2n；当n＝4时，S2n＝32，T2n＝15(b1＋b2)≥30，S2n<T2n；当n≥5时，因为2n－1>n2，所以T2n＝(2n－1)(b1＋b2)>n2(b1＋b2)≥2n2＝2n2>2n2，所以S2n<T2n，所以C正确，D错误．故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝____________． 答案　 解析　∵a2a4＝a1a5＝a＝，∴a1aa5＝a＝. 13．证明“1＋2＋4＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”时，某学生证明如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，∴原等式成立；②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋4＋…＋2k－1＝2k－1，那么当n＝k＋1时，1＋2＋4＋…＋2(k＋1)－1＝＝2k＋1－1，即当n＝k＋1时，等式也成立．根据①②可以判断，等式对任意n∈N＋都成立．评价该学生的证明情况：____________ (选填“正确”或“错误”)． 答案　错误 解析　以上证法是不正确的，理由是在递推步骤中用的是等比数列的求和公式，没有用到归纳假设中的1＋2＋4＋…＋2k－1＝2k－1，正确的应是1＋2＋4＋…＋2(k＋1)－1＝2k－1＋2(k＋1)－1＝2k－1＋2k＝2×2k－1＝2k＋1－1，得证． 14．已知数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，则数列{an}的通项公式为____；若＋＋…＋<10，则n的最大值为____________． 答案　an＝　119 解析　∵a1＝1，an＝(n≥2)，∴a－a＝1.∴数列{a}为等差数列，首项为1，公差为1.∴a＝1＋(n－1)＝n.又an>0，∴数列{an}的通项公式为an＝.又＝＝－，∴＋＋…＋＝－1＋－＋…＋－＝－1<10.∴<11，解得n<120，所以n的最大值为119. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知数列{an}满足a1＝3且an＋1＝2an－2n＋1. (1)判断数列{an－2n－1}是否为等比数列，并求出{an}的通项公式； (2)将数列{an}中满足不等式2k<an<2k＋1(k∈N＋)的项数记为bk，求数列{bk}的前k项和Sk. 解　(1)因为an＋1＝2an－2n＋1， 所以an＋1－2(n＋1)－1＝2(an－2n－1)． 又数列{an－2n－1}的首项为0， 所以{an－2n－1}不是等比数列， 则{an－2n－1}是各项为0的常数列，即an－2n－1＝0， 所以an＝2n＋1. (2)令2k<2n＋1<2k＋1， 解得2k－1－<n<2k－， 则2k－1≤n≤2k－1， 所以bk＝(2k－1)－2k－1＋1＝2k－1， 故Sk＝20＋21＋22＋…＋2k－1＝＝2k－1. 16．(本小题满分15分)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，g(n)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)](n∈N＋，n≥2)． (1)写出g(2)，g(3)，g(4)的值； (2)归纳g(n)的值，并用数学归纳法加以证明． 解　(1)由题意可得， f(1)＝1，f(2)＝1＋＝， f(3)＝1＋＋＝， f(4)＝1＋＋＋＝. 所以g(2)＝×f(1)＝2， g(3)＝[f(1)＋f(2)]＝3， g(4)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)]＝4. (2)由(1)猜想g(n)＝n(n∈N＋，n≥2)． 下面利用数学归纳法证明： ①当n＝2时，猜想成立； ②假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，g(k)＝k， 即g(k)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)]＝k， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝kf(k)－k， 则当n＝k＋1时，g(k＋1)＝·[f(1)＋f(2)＋…＋f(k)]＝·[(k＋1)f(k)－k]＝k＋1， 因此当n＝k＋1时，g(k＋1)＝k＋1成立． 综上可得∀n∈N＋，g(n)＝n(n≥2)成立． 17．(本小题满分15分)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)该数列前多少项的和最大？最大和是多少？ (2)求数列{|an|}的前n项和． 解　(1)设数列{an}的公差为d， 由得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an>0，得n<， ∴当n≤17，n∈N＋时，an>0； 当n≥18，n∈N＋时，an<0， ∴数列{an}前17项的和最大． (Sn)max＝S17＝17×50＋×(－3)＝442. (2)当n≤17，n∈N＋时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. ∴当n≤17，n∈N＋时，{|an|}的前n项和为－n2＋n. 当n≥18，n∈N＋时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)＝n2－n＋884， ∴当n≥18，n∈N＋时，{|an|}的前n项和为n2－n＋884. 18．(本小题满分17分)在等比数列{an}中，a1＝2，a3，a2＋a4，a5成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b1＋＋…＋＝an(n∈N＋)，{bn}的前n项和为Sn，求使Sn－nan＋6≥0成立的正整数n的最大值． 解　(1)设数列{an}的公比为q， ∵a3，a2＋a4，a5成等差数列， ∴2(a2＋a4)＝a3＋a5， ∴2(a1q＋a1q3)＝a1q2＋a1q4， ∴2q(1＋q2)＝q2(1＋q2)，∴q＝2， ∴an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n. (2)由题意，得b1＋＋…＋＝an，① b1＋＋…＋＝an－1(n≥2)，② ①－②得＝an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1， ∴bn＝n·2n－1(n≥2)． 当n＝1时，b1＝a1＝2不符合上式． ∴bn＝ ∴当n≥2时，Sn＝2＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，③ 2Sn＝2×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，④ ③－④得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－2－n·2n， ∴Sn＝(n－1)2n＋2. 当n＝1时，S1＝b1＝2，符合上式， ∴Sn＝(n－1)2n＋2(n∈N＋)． Sn－nan＋6＝(n－1)2n＋2－n·2n＋6＝－2n＋8， ∴－2n＋8≥0，即2n≤8，∴n≤3， ∴正整数n的最大值为3. 19．(本小题满分17分)已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2a3＝15，S4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝. ①求数列{bn}的通项公式； ②是否存在正整数m，p(m≠p)，使得b2，bm，bp成等差数列？若存在，求出m，p的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)设数列{an}的公差为d，则d>0. 由a2a3＝15，S4＝16， 得 解得或(舍去)， 所以an＝2n－1. (2)①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝， 所以b1＝a1＝1， bn＋1－bn＝＝ ＝， 于是b2－b1＝， b3－b2＝， …， bn－bn－1＝，n≥2， 累加，得bn－b1＝＝，n≥2， 所以bn＝b1＋＝1＋＝，n≥2. b1＝1也符合上式，故bn＝，n∈N＋. ②假设存在正整数m，p(m≠p)，使得b2，bm，bp成等差数列，则b2＋bp＝2bm. 又b2＝，bp＝＝－，bm＝－， 所以＋＝2， 即＝＋， 化简得2m＝＝7－. 当p＋1＝3，即p＝2时，m＝2(舍去)； 当p＋1＝9，即p＝8时，m＝3，符合题意． 所以存在正整数m＝3，p＝8，使得b2，bm，bp成等差数列． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$