3.3.1 抛物线的标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 3.3.1　抛物线的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：了解抛物线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：抛物线的定义及其标准方程的应用． 教学难点：抛物线标准方程的四种形式． 核心素养：通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象素养和数学运算素养． 核心概念掌握 知识点一　抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 知识点二　抛物线的标准方程 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 1．在解决有关抛物线上的点P到焦点F的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为点P到准线的距离 (1)若点M(x，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则|MF|＝x＋. (2)若点M(x，y)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，则|MF|＝－x. (3)若点M(x，y)在抛物线x2＝2py(p>0)上，则|MF|＝y＋. (4)若点M(x，y)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，则|MF|＝－y. 2．如果一个点在抛物线上，常可利用抛物线的方程形式，灵活设点的坐标 (1)当抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)这一类型时，常可设该点坐标为. (2)当抛物线的方程为x2＝2py(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．(　) (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)抛物线y2＝3x的焦点坐标为______；准线方程为______． (2)若抛物线的方程为x＝2ay2(a>0)，则焦点到准线的距离p＝____． (3)焦点坐标为(0，2)的抛物线的标准方程为______． (4)抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则点P的坐标是____． 答案　(1)　x＝－　(2) (3)x2＝8y　(4)(4，±4) 核心素养形成 题型一　求抛物线的焦点坐标和准线方程 例1　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)y2＝－8x； (2)y＝4x2. [解]　(1)方程具有标准形式y2＝－2px，其中2p＝8，则＝2. 抛物线的焦点在x轴负半轴上，故焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2. (2)方程可化为x2＝y，具有标准形式x2＝2py，其中2p＝，则＝.抛物线的焦点在y轴正半轴上，故焦点坐标为，准线方程为y＝－. 感悟提升 根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程． [跟踪训练1]　抛物线x2＝－3y的焦点坐标是____，准线方程是____． 答案　　y＝ 解析　∵x2＝－3y，∴2p＝3，∴＝.∵抛物线的焦点在y轴负半轴上，∴焦点坐标为，准线方程为y＝. 题型二　求抛物线的标准方程 例2　根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程为y＝－1； (3)焦点到准线的距离是4； (4)过点(1，2)． [解]　(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝，∴p＝1， ∴抛物线的标准方程为y2＝－2x. (2)∵焦点在y轴的正半轴上，且＝1， ∴p＝2， ∴抛物线的标准方程为x2＝4y. (3)由题意可得p＝4，抛物线的标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y. (4)解法一：点(1，2)在第一象限，要分两种情形： 当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线的标准方程为y2＝4x； 当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则12＝2p·2，解得p＝，抛物线的标准方程为x2＝y. 解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1，2)代入，得m＝4，n＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝y. 感悟提升 求抛物线标准方程的两种方法 (1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程． (2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程． [跟踪训练2]　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3，2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上； (3)焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点． 解　(1)∵点(－3，2)在第二象限， ∴设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p1y(p1>0)， 将点(－3，2)代入方程得2p＝或2p1＝， 故抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y. (2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2， ∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)． 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由＝2，得2p＝8， ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y. ②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4， ∴抛物线的焦点坐标为(4，0)． 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 由＝4得2p＝16， ∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x. (3)双曲线的方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)， 由题意设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)， 且－＝－3，所以p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝－12x. 题型三　抛物线的定义及其应用 例3　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　) A．1 B．2 C．4 D．8 [解析]　由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A. [答案]　A (2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标． [解]　如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋＝. 此时，点P的坐标为(2，2)． 感悟提升 抛物线的定义及应用 抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质． [跟踪训练3]　定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最小值． 解　如图所示，F是抛物线y2＝x的焦点，A，B两点到准线的垂线分别是AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足， 则|MN|＝(|AC|＋|BD|)， 连接AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|. 所以|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝. 设点M的横坐标为x，则|MN|＝x＋，则x≥－＝. 当线段AB过点F时等号成立，此时点M到y轴的距离最小，为. 随堂水平达标 1．抛物线y＝x2的焦点坐标是(　) A. B. C. D. 答案　C 解析　将y＝x2化为x2＝y，2p＝，则＝.抛物线的焦点在y轴正半轴上，则焦点坐标为. 2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是(　) A．4 B．6 C．8 D．12 答案　B 解析　由抛物线的方程得＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6. 3．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可能是(　) A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝8x D．y2＝16x 答案　AD 解析　由已知得，抛物线的焦点为F，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，M.由|MF|＝5得＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故C的方程可能是y2＝4x，y2＝16x.故选AD. 4．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝____，准线方程为____． 答案　2　x＝－1 解析　因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为，准线方程为x＝－，所以p＝2，准线方程为x＝－1. 5．已知抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程． 解　设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， ∵点A在抛物线上， ∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm. ∴m＝±.① 又|AF|＝＋|m|＝5，② 把①代入②可得＋＝5， 即p2－10p＋9＝0.∴p＝1或p＝9. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 课后课时精炼 一、选择题 1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案　D 解析　因为抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点坐标为(2，0)，依题意得＝2，解得p＝4.故选D. 2．抛物线y2＝mx的焦点为F，点P(2，2)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为(　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 解析　∵点P(2，2)在抛物线上，∴(2)2＝2m，∴m＝4.又P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝＝. 3．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　如图，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1，∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.当且仅当P在线段AF上时等号成立，即|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C. 4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，2)是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是(　) A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 答案　C 解析　作MD⊥EG于点D，将点M(x0，2)代入抛物线方程得8＝2px0，结合抛物线的性质得|DM|＝x0－，在Rt△MDF中，结合sin∠MFG＝，得＝，即|DM|＝|MF|＝，所以x0－＝，解得x0＝p.再结合2px0＝8，解得p＝2(负值已舍去)，因而抛物线C的方程为y2＝4x.故选C. 5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则下列结论中正确的是(　) A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1 C．|FP|＝4 D．|FR|＝4 答案　AC 解析　如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，又四边形FRMQ为平行四边形，所以|FR|＝|QM|＝2.故选AC. 二、填空题 6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为____． 答案　2 解析　∵y2＝2px的准线方程为x＝－，由题意得，＋3＝4，∴p＝2. 7．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0＝____． 答案　1＋ 解析　∵点B与点A(－1，0)关于原点O对称，∴B(1，0)，根据题意，有kAP·kBP＝2，即·＝2，＝2，又y＝4x0，∴2x0＝x－1，即x－2x0－1＝0，解得x0＝＝1±，舍去负值，得x0＝1＋. 8．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝____． 答案　1＋ 解析　结合题意和抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，|AD|＝p＝a，则D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)．所以＝1＋. 三、解答题 9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 解　(1)∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 将(3，－4)的坐标分别代入方程中， ∴由(－4)2＝2p×3，得2p＝； 由32＝－2p1×(－4)，得2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 10．已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线的标准方程和准线方程． 解　由题意，设所求的抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 则焦点为F. ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， ∴解得 ∴m＝±2，抛物线的标准方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 1．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P，求点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值． 解　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示． 动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点，由图可知，距离之和的最小值，即F到直线l1的距离d＝＝2. 2．已知A，B是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两个动点(AB不垂直于x轴)，F为抛物线的焦点，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求此抛物线的方程． 解　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p. ∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上， ∴|QA|＝|QB|， 即(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y， 又y＝2px1，y＝2px2， ∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. ∵AB与x轴不垂直， ∴x1≠x2， 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0， 即p＝4. 从而抛物线的方程为y2＝8x. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$