9 2.5.2 圆的一般方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

　 第2章　 2.5 圆的方程 2.5.2　圆的一般方程 学习目标 1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 2. 会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小，提升数学运算的核心素养. 3. 能根据某些具体条件求圆的一般方程，会求与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　圆的一般方程 1 任务二　求圆的一般方程 2 任务三　与圆有关的最值问题 3 任务四　与圆有关的轨迹方程问题 4 内容索引 随堂评价 5 课时测评 6 任务一　圆的一般方程 返回 问题1.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得＋＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆. 问题2.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点 . 问题导思 1.圆的一般方程 方程_____________________________________叫作圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 新知构建 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 典例1 判断下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径. (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； 解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不能表示圆； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； 解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不能表示圆； (3)x2＋y2＋x＋2＝0； 解：因为D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示圆； (4)x2＋y2－x＝0； 解：法一：因为D2＋E2－4F＝(－1)2＝1＞0，所以方程能表示圆，圆心坐标为，即，半径r＝＝. 法二：方程x2＋y2－x＝0可化为＋y2＝，它表示以为圆心，为半径的圆. (5)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0). 解：因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程不能表示圆. 规律方法 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 圆的2种判断方法 1.配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成标准形式后，观察是否表示圆. 2.运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆. 对点练1.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为 A.1或－2 B.2或－1 C.－1 D.2 方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0中二次项系数不一定为1，因此若它表示圆，需要二次项的系数相等且不等于0，转化为一般式后满足D2＋E2＋ 4F＞0.则解得a＝－1. √ 返回 任务二　求圆的一般方程 返回 典例2 (1)△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的方程； 解：法一：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 故所求的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 法二：由题意可求得线段AC的垂直平分线的方程为x＝2，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0. 所以圆心是两垂直平分线的交点(2，1)，半径r＝＝5，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0. (2)圆C过点P(1，2)和点Q(－2，3)，且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程. 解：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为圆C过点P(1，2)和点Q(－2，3)， 所以 所以圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋(3D－8)y＋11－7D＝0，将y＝0代入得x2＋Dx＋11－7D＝0. 所以圆C在x轴上截得的弦长为｜x1－x2｜＝ . 将x＝0代入得y2＋(3D－8)y＋11－7D＝0，所以圆C在y轴上截得的弦长为｜y1－y2｜＝. 由题意有＝，即D2－4(11－7D)＝(3D－8)2－4(11－7D)，解得D＝4或D＝2. 故所求的圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0或x2＋y2＋2x－2y－3＝0. 规律方法 待定系数法求圆的一般方程的步骤 1.根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 2.根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组. 3.解此方程组，求出D，E，F的值. 4.将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 对点练2.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆C的一般方程. 解：由题意得圆心C， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ① 又半径r＝＝，所以D2＋E2＝20， ② 由①②可得 又圆心在第二象限，所以－＜0，－＞0，即D＞0，E＜0. 所以所以圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 返回 任务三　与圆有关的最值问题 返回 典例3 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值. 解：原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆，设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 故，最小值为－. 变式探究 1.在本例条件下，求y－x的最大值和最小值. 解：设y－x＝b，即y＝x＋b， 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋， 最小值为－2－. 2.在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值. 解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 规律方法 与圆有关的最值问题常见的几种类型 1.形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题； 2.形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题； 3.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. 返回 任务四　与圆有关的轨迹方程问题 返回 角度1　直接法求轨迹方程 到两个定点A，B的距离之比等于2的点的轨迹方程. 解：设M为所求轨迹上一点，则＝2， 所以＝2，即＋y2＝4(x－1)2＋4y2， 整理可得x2－4x＋y2＝0，即＋y2＝4. 典例4 角度2　定义法求轨迹方程 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程. 解：设AB的中点为 D，由中点坐标公式， 得D(1，0). 由直角三角形的性质，知｜CD｜＝｜AB｜＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1). 典例5 角度3　代入法求轨迹方程 已知定点Q，动点P在圆x2＋y2＝1上，求线段PQ的中点M的轨迹方程. 解：设P，PQ的中点M的坐标为， 因为Q，所以 又因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1， 所以＋4y2＝1， 即线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋y2－3x＋2＝0. 典例6 规律方法 求与圆有关的轨迹问题的方法 1.直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明. 2.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. 3.代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 对点练3.(1)若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且｜AB｜＝4，求线段AB中点M的轨迹方程. 解：由题意，设原点为O(0，0)， 则｜OM｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义，M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上， 即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程. (2)(一题多解)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹方程. 解：法一：设点P的坐标为(x，y). 当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时符合题意； 当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意； 当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意； 当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP， 即kAP·kOP＝－1， 因为kAP＝，kOP＝， 所以·＝－1， 即(x－)2＋(y－1)2＝(x≠0，且x≠1). 经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式. 即中点P的轨迹方程为(x－)2＋(y－1)2＝. 法二：设点P的坐标为(x，y)，则A，P重合或OP重合或OP⊥AP，总有·＝0， 即(x－1，y－2)·(x，y)＝0，x(x－1)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0， 亦即(x－)2＋(y－1)2＝. 返回 随堂评价 返回 1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. √ 根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)＞0， 所以m＞－. 2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F分别为 A.4，8，－4 B.－4，8，4 C.8，－4，16 D.4，－8，16 √ 圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展开得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，比较系数知D，E，F分别是－4，8，4. 3.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为___________. 设M(x，y)，O(0，0)，所以｜OM｜＝｜AB｜＝3为定值，由圆的定义，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求. x2＋y2＝9 4.求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)，B(3，－1)的圆的一般方程. 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心是. 由题意知， 解得D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 课时测评 返回 1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为 A.(x－2)2＋(y－3)2＝16 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C.(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D.(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 2.过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是 A.x2＋y2＋8x＋6y＝0 B.x2＋y2－8x－6y＝0 C.x2＋y2＋8x－6y＝0 D.x2＋y2－8x＋6y＝0 √ 设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则所以所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 3.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是 A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 √ 设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 4.若a∈，则方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示的圆的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 因为方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示圆， 所以(2a)2＋(2a)2－4(a2＋a)＞0，即a2－a＞0， 解得a＜0或a＞1， 所以当a∈时，只有a＝－2时，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示圆.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 5.(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列说法正确的是 A.圆心在直线y＝－x上 B.圆心在直线y＝x上 C.圆过原点 D.圆的半径为｜a｜ √ 圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，圆心坐标为(－a，a)，适合方程y＝－x， 不适合y＝x，故A正确，B错误；把(0，0)代入圆的方程，C正确；又r2＝2a2，r＝｜a｜，故D正确.故选ACD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 6.圆心在x轴上，半径为3，且过点(1，0)的圆的一般方程为_____________ ______________________. 设圆的方程为(x－a)2＋y2＝9. 把(1，0)代入得(1－a)2＝9，解得a＝4或－2， 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝9或(x＋2)2＋y2＝9， 即x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0. ＝0或x2＋4x＋y2－5＝0 x2－8x＋y2＋7 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 7.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______________________. 设M的坐标为(x，y)， 由题意可知圆心A的坐标为(2，－1)，P(2x－2，2y＋1)在圆上， 故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0， 即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是_____________，半径是_____. 由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不 能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5. 　5 (－2，－4) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 9.(10分)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的一般方程. 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由已知｜y1－y2｜＝4，其中y1，y2是方程③的两根. 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.　④ 联立①②④解得， 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(13分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯 形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点， 求这个等腰梯形的外接圆方程，并求这个圆的圆心坐标 和半径. 解：由等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，知点M，N，P的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(2，3). 设所求圆的方点的坐标代入程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将M，N，P三上述方程， 可得 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 故所求圆的方程为x2＋y2－y－9＝0. 将圆的一般方程x2＋y2－y－9＝0化为标准方程， 得x2＋(y－)2＝， 故所求圆的圆心坐标为(0，)，半径为. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 11.方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆，则有 A.A＝C≠0且D2＋E2－4A＞0 B.D2＋E2－4F＞0 C.A＝C≠0且D2＋E2－4AF＞0 D.A＝C≠0且D2＋E2－4AF≥0 √ 由题意A＝C≠0，方程化为x2＋y2＋x＋y＋＝0，则＋－4＞0，即D2＋E2－4AF＞0，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 12.已知圆C：x2＋y2＝4，则圆C关于直线l：x－y－3＝0对称的圆的方程为 A.x2＋y2－6x＋6y＋14＝0 B.x2＋y2－6x－6y＋14＝0 C.x2＋y2－4x＋4y＋4＝0 D.x2＋y2＋4x－4y＋4＝0 设圆心C(0，0)关于直线l：x－y－3＝0的对称点为D(a，b)，则由 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝4，化为一般方程为x2＋y2－6x＋6y＋14＝0.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 13.已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则｜SP｜＋｜SQ｜的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1， 所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点 P(7，3)关于x轴的对称点P'(7，－3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 故(｜SP｜＋｜SQ｜)min＝｜P'M｜－1＝－1＝9. 连接MP'，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时｜SP｜＋｜SQ｜的值最小，否则，在x轴上另取一点S'，连接S'P，S'P'，S'Q，由于P与P'关于x轴对称，所以｜SP｜＝｜SP'｜，｜S'P｜＝｜S'P'｜，所以｜SP｜＋｜SQ｜＝｜SP'｜＋｜SQ｜＝｜P'Q｜＜｜S'P'｜＋｜S'Q｜＝｜S'P｜＋｜S'Q｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 14.(15分)已知圆的方程x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； 解：x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，所以圆心为(1－m，2m)，半径r＝3. (2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的半径相等的圆. 解：证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组即2a＋b＝2.所以不论m为何值，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，半径都等于3的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 15.(17分)在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动. (1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程； 解：设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)，所以｜EF｜＝＝2， 整理得x2＋y2＝1， 所以线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 (2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标. 解：证明：由已知设A1(－1，0)，A2(1，0)， 设P(x0，y0)，x0≠±1，＋＝1， 直线PA1的方程为y＝(x＋1)， 令x＝3，得y＝，则M， 同理，可求N，MN的中点坐标为，｜MN｜＝＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 所以以MN为直径的圆C的方程为(x－3)2＋＝. 令y＝0，得(x－3)2＝－＋＝＝8. 所以x＝3±2，圆C总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 9 谢 谢 观 看 2.5 圆的方程 返回 $