2.5.1 圆的标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 2.5.1　圆的标准方程 （教师独具内容） 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. 教学重点：1.圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程. 教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题. 核心素养：1.通过探究圆的标准方程及点与圆的位置关系，培养直观想象素养和逻辑推理素养.2.通过根据已知条件求圆的标准方程，培养数学抽象素养和数学运算素养. 核心概念掌握 知识点一　圆的标准方程 1.圆的几何要素 圆的几何要素是圆心和半径. 2.圆的标准方程 圆心为C（a，b），半径为r的圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，把上式叫作圆的标准方程. 特别地，圆心在原点（0，0），半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，圆心C（a，b），半径为r.设所给点为M（x0，y0），则点与圆的位置关系判断方法如下： 几何法 代数法 |MC|＝r⇔点M在圆C上 点M（x0，y0）在圆C上⇔（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 |MC|<r⇔点M在圆C内 点M（x0，y0）在圆C内⇔（x0－a）2＋（y0－b）2<r2 |MC|>r⇔点M在圆C外 点M（x0，y0）在圆C外⇔（x0－a）2＋（y0－b）2>r2 1.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 （x－a）2＋（y－b）2＝a2＋b2（a2＋b2≠0） 圆心在x轴上 （x－a）2＋y2＝r2（r≠0） 圆心在y轴上 x2＋（y－b）2＝r2（r≠0） 圆心在x轴上且过原点 （x－a）2＋y2＝a2（a≠0） 圆心在y轴上且过原点 x2＋（y－b）2＝b2（b≠0） 与x轴相切 （x－a）2＋（y－b）2＝b2（b≠0） 与y轴相切 （x－a）2＋（y－b）2＝a2（a≠0） 2.求圆的标准方程的常用方法 （1）几何法 利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果. （2）待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解. 3.求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： （1）弦的垂直平分线必过圆心. （2）圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. （3）圆心与切点的连线长是半径长. （4）圆心与切点的连线必与切线垂直. 4.与圆有关的最值问题 已知点P（x，y）在圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上，求圆上的点P到定点M（m，n）的距离d＝的最值问题的处理方法如下： （1）求圆心O（a，b）与定点M（m，n）的距离dMO. （2）根据圆的几何性质知： ①当M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r. ②当M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO. 1.判一判（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆.（　） （2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.（　） （3）圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（　） （4）点（0，0）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝1上.（　） 答案　（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.做一做 （1）与圆（x－3）2＋（y＋2）2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为（　） A.（x＋5）2＋（y＋2）2＝4 B.（x－3）2＋（y＋2）2＝4 C.（x－5）2＋（y＋2）2＝4 D.（x－3）2＋y2＝4 （2）若圆的圆心坐标为（－1，3），半径为，则此圆的标准方程为　　　　　 　. （3）已知圆的方程为（x＋2）2＋（y－2）2＝（－5）2，则圆的圆心坐标为　　　，半径为____________. （4）已知圆的方程为x2＋（y－1）2＝2，则点A（1，0）与圆的位置关系是　　　. 答案　（1）A　（2）（x＋1）2＋（y－3）2＝3 （3）（－2，2）　5　（4）点A在圆上 核心素养形成 题型一　对圆的标准方程的理解　 例1　（1）方程（x－1）＝0所表示的曲线是（　） A.一个圆 B.两个点 C.两条射线和一个圆 D.一条直线和一个圆 [解析]　因为（x－1）＝0，所以x＝1或x2＋y2＝3，又当x＝1时，＝，所以y≥或y≤－，所以该方程表示两条射线和一个圆. [答案]　C （2）方程（x－m）2＋（y－2）2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是　　　　　. [解析]　由m2－m－2>0，得m>2或m<－1. [答案]　（－∞，－1）∪（2，＋∞） 感悟提升 充分理解圆的定义以及圆的标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2，其中r>0，（a，b）为圆心，r为半径. [跟踪训练1]　（1）给定圆的方程（x－2）2＋（y＋8）2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为（　） A.4x－y＝0 B.4x＋y＝0 C.x－4y＝0 D.x＋4y＝0 答案　B 解析　圆心为（2，－8），原点为（0，0），故所求的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0. （2）方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 答案　D 解析　该圆的圆心（－a，a）在直线x＋y＝0上，故该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. 题型二　求圆的标准方程 例2　求过点A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）的圆的标准方程. [解]　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程， 于是有 解得 所以所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 【解法探究】本例还有其他解法吗？ 解　因为A（0，5），B（1，－2），所以线段AB的中点的坐标为，又直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0. 同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由得圆心的坐标为（－3，1）. 又圆的半径r＝＝5， 所以所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 感悟提升 求圆的标准方程的两种方法 （1）确定圆的标准方程就是确定圆心C（a，b）及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷. （2）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法. [跟踪训练2]　已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 解　解法一：如图所示，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8， ∴|AO|＝4. 在Rt△AOC中， |OC|＝＝＝3. 设点C的坐标为（a，0）， 则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3. ∴所求圆的标准方程为（x＋3）2＋y2＝25或（x－3）2＋y2＝25. 解法二：由题意设所求圆的标准方程为（x－a）2＋y2＝25. ∵圆截y轴所得线段长为8， ∴圆过点A（0，4）.代入方程得a2＋16＝25， ∴a＝±3. ∴所求圆的标准方程为（x＋3）2＋y2＝25或（x－3）2＋y2＝25. 题型三　判断点与圆的位置关系 例3　已知点A（1，2）在圆C：（x－a）2＋（y＋a）2＝2a2的内部，求实数a的取值范围. [解]　∵点A在圆C的内部， ∴（1－a）2＋（2＋a）2<2a2且a≠0， ∴2a＋5<0，∴a<－且a≠0， ∴实数a的取值范围是. 【条件探究】将本例改为：已知点A（1，2）不在圆C：（x－a）2＋（y＋a）2＝2a2的内部，求实数a的取值范围. 解　解法一：由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴（1－a）2＋（2＋a）2≥2a2， ∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0， ∴实数a的取值范围是∪（0，＋∞）. 解法二：由例3知点A在圆C的内部时，a<－， ∴点A不在圆C的内部时，a≥－，又a≠0， ∴实数a的取值范围是∪（0，＋∞）. 感悟提升 1.判断点与圆的位置关系的方法 （1）计算该点与圆心的距离，与半径作比较； （2）把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断. 2.灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围. [跟踪训练3]　若点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的外部，求实数a的取值范围. 解　∵点（1，1）在圆的外部，则点（1，1）到圆心（a，－a）的距离大于半径2， ∴>2， 解得a>1或a<－1. ∴实数a的取值范围为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 题型四　与圆有关的最值问题 例4　（1）已知点A（8，－6）与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求|AP|的最小值. [解]　由于82＋（－6）2＝100>25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5. （2）已知x和y满足（x＋1）2＋y2＝，求x2＋y2的最大值和最小值. [解]　据题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值. 原点O（0，0）到圆心C（－1，0）的距离d＝1，且1>， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 【结论探究】在本例（2）条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？ 解　令t＝x2＋y2－2x＝（x－1）2＋y2－1表示圆上的点到点（1，0）距离的平方减1，而圆心C（－1，0），故t的最大值为，最小值为. 感悟提升 形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的平方的最值问题. [跟踪训练4]　（1）已知实数x，y满足方程（x－2）2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值. 解　将实数x，y看作点P（x，y）的坐标，满足（x－2）2＋y2＝3的点P（x，y）组成的图形是以M（2，0）为圆心，为半径的圆. x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故（x2＋y2）max＝（2＋）2＝7＋4，（x2＋y2）min＝（2－）2＝7－4. （2）已知实数x，y满足方程x2＋（y－1）2＝，求的最大值和最小值. 解　可以看成圆x2＋（y－1）2＝上的点P（x，y）到点A（2，3）的距离. 圆心（0，1）到点A（2，3）的距离 d＝＝2. 由图可知，圆上的点P（x，y）到点A（2，3）的距离的最大值是2＋，最小值是2－. 随堂水平达标 1.点与圆x2＋y2＝的位置关系是（　） A.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不能确定 答案　C 解析　∵＋＝＋＝1>，∴点在圆外.故选C. 2.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是（　） A.（x＋2）2＋（y－3）2＝13 B.（x－2）2＋（y＋3）2＝13 C.（x－2）2＋（y＋3）2＝52 D.（x＋2）2＋（y－3）2＝52 答案　B 解析　由题意可知直径两端点的坐标分别为（4，0），（0，－6），可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是（x－2）2＋（y＋3）2＝13. 3.（多选）已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线y＝0上，则（　） A.圆心坐标为C（－1，0） B.半径r＝5 C.点M1（2，3）在圆内 D.点M2（2，4）在圆外 答案　ACD 解析　因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为（2，3），故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C（－1，0），A正确；半径r＝＝2，B错误；圆C的标准方程为（x＋1）2＋y2＝20，点M1（2，3）到圆心的距离为＝<r，所以点M1在圆内，C正确；点M2（2，4）到圆心的距离为＝>r，所以点M2在圆外，D正确.故选ACD. 4.若圆（x＋1）2＋（y－3）2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为__________. 答案　2 解析　圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为（－1，3），由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×（－1）＋2×3－4＝0，所以k＝2. 5.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0）. （1）求此圆的标准方程； （2）设P（x，y）为圆C上任意一点，求点P（x，y）到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值. 解　（1）由题意，结合图①可知圆心C（3，0），r＝2， 所以圆C的标准方程为（x－3）2＋y2＝4. （2）如图②所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D. 由点到直线的距离公式可得|CD|＝＝2， 又P（x，y）是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2. 课后课时精练 一、选择题 1.已知A（－4，－5），B（6，－1），则以线段AB为直径的圆的方程是（　） A.（x＋1）2＋（y－3）2＝29 B.（x－1）2＋（y＋3）2＝29 C.（x＋1）2＋（y－3）2＝116 D.（x－1）2＋（y＋3）2＝116 答案　B 解析　圆心为AB的中点（1，－3），半径为＝＝，故以线段AB为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y＋3）2＝29.故选B. 2.方程|x|－1＝所表示的曲线是（　） A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆 答案　D 解析　由题意，得 即 或 故原方程表示两个半圆. 3.若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（　） A.2 B.1 C. D. 答案　B 解析　方程（x＋5）2＋（y－12）2＝142表示以（－5，12）为圆心，14为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1. 4.若直线y＝ax＋b过第一、二、四象限，则圆（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心位于（　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　因为y＝ax＋b过第一、二、四象限，所以a<0，b>0.因为（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心坐标为（－a，－b），所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限，故选D. 5.（多选）已知圆C经过点A（1，4），B（3，－2），圆心C到直线AB的距离为，则圆C的方程为（　） A.（x－1）2＋y2＝20 B.（x＋1）2＋y2＝20 C.（x＋5）2＋（y＋2）2＝20 D.（x－5）2＋（y－2）2＝20 答案　BD 解析　设圆心C（a，b），半径为r，易得线段AB的中点为M（2，1）. 因为CM⊥AB，kAB＝＝－3， 所以kCM＝＝，即3b＝a＋1，　① 又因为|CM|＝， 所以（a－2）2＋（b－1）2＝10，　② 联立①②得或即C（－1，0）或C（5，2），所以r2＝|CA|2＝20，故圆C的方程为（x＋1）2＋y2＝20或（x－5）2＋（y－2）2＝20. 二、填空题 6.点（5＋1，）在圆（x－1）2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是____________. 答案　[0，1） 解析　由于点在圆的内部，所以（5＋1－1）2＋（）2<26，即26a<26，又a≥0，所以0≤a<1. 7.已知圆M的圆心坐标为（3，4），且A（－1，1），B（1，0），C（－2，3）三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为___________. 答案　（x－3）2＋（y－4）2＝25 解析　∵|MA|＝＝5， |MB|＝＝2， |MC|＝＝， ∴|MB|<|MA|<|MC|， ∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外， ∴圆的半径r＝|MA|＝5， ∴圆M的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝25. 8.已知圆过点A（1，－2），B（－1，4），则周长最小的圆的方程为___________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为___________. 答案　x2＋（y－1）2＝10　（x－3）2＋（y－2）2＝20 解析　当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径r＝|AB|＝. 则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10. 设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 则⇒ ∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20. 三、解答题 9.已知圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4），B（0，－2），求圆C的标准方程. 解　解法一：由圆心在直线2x－y－7＝0上，可设圆心坐标为（a，2a－7），由题意得a2＋（2a－3）2＝a2＋（2a－5）2，解得a＝2，所以圆心坐标为（2，－3）， 圆的半径r＝＝， 所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5. 解法二：圆C的圆心在弦AB的垂直平分线y＝－3上， 由得则所求圆的圆心坐标为（2，－3）， 半径r＝＝， 所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5. 解法三：设圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 则由条件可得 解得所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5. 10.已知圆C的圆心坐标为（x0，x0），且过点P（4，2）. （1）求圆C的标准方程（用含x0的方程表示）； （2）当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程. 解　（1）由题意，设圆C的标准方程为（x－x0）2＋（y－x0）2＝r2（r>0）. ∵圆C过点P（4，2）， ∴（4－x0）2＋（2－x0）2＝r2， ∴r2＝2x－12x0＋20， ∴圆C的标准方程为（x－x0）2＋（y－x0）2＝2x－12x0＋20. （2）∵（x－x0）2＋（y－x0）2＝2x－12x0＋20＝2（x0－3）2＋2， ∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小，此时圆C的标准方程为（x－3）2＋（y－3）2＝2. 1.点P是圆C：（x－5）2＋（y－5）2＝r2（r>0）上的一个动点，它关于点A（9，0）的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O按逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，当r为常数时，求|QR|的最小值与最大值. 解　设点P的坐标是（x，y），则点Q的坐标是（18－x，－y）， ∵线段OR是由OP绕原点逆时针旋转90°后得到的， ∴由平面几何知识得，点R的坐标为（－y，x）， 则|QR|＝ ＝·. ∵P（x，y）为圆（x－5）2＋（y－5）2＝r2（r>0）上的点， ∴|QR|的几何意义为点M（9，－9）到圆上的点P（x，y）的距离的倍，如图所示. 当|PM|最小时，|QR|也最小； 当|PM|最大时，|QR|也最大. 而|PM|min＝||MC|－r| ＝|－r| ＝|2－r|， |PM|max＝||MC|＋r|＝2＋r， ∴|QR|min＝|2－r|， |QR|max＝（2＋r）. 2.有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的原则是运费和价格的总费用最低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 解　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设A（－5，0），则B（5，0）.在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元/km（a>0），则从B地运货到P地的运费为a元/km.若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a<a， 整理得＋y2<. 即点P在圆C：＋y2＝的内部. 也就是说，圆C内的居民应在A地购物. 同理可推得圆C外的居民应在B地购物. 圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$