2.2.3-2.2.4 直线的一般式方程 直线的方向向量与法向量-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 2.2.3　直线的一般式方程 2.2.4　直线的方向向量与法向量 (教师独具内容) 课程标准：1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程.2.会进行直线方程几种形式间的转化． 教学重点：1.利用直线的几种形式解决相应的问题.2.直线的方向向量与法向量的应用． 教学难点：各种形式的相互转化及适用范围． 核心素养：通过学习直线的一般式方程、直线的方向向量与法向量，提升逻辑推理素养和数学抽象素养． 核心概念掌握 知识点一　直线的一般式方程 1．关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 2．我们把方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式． 知识点二　直线的方向向量 1．把与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量，用它们来表示直线的方向．直线l的方向向量v并不唯一，v的所有的非零实数倍λv都是方向向量；反过来，所有的方向向量都与l平行，因此它们相互平行，互为实数倍． 2．斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍． 3．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的方向向量为(B，－A)的非零实数倍． 知识点三　直线的法向量 1．作与直线l垂直的非零有向线段ON，我们取向量n＝＝(A，B)．已知直线l上一个定点P(x0，y0)，则平面上任一点Q(x，y)在直线l上的充分必要条件为：ON⊥PQ． 由此得到直线l的方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0． 上式的几何意义就是：向量(A，B)垂直于直线l的全体方向向量．与直线l垂直的非零向量n＝(A，B)称为直线l的法向量． 2．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0的一次项系数组成的向量(A，B)是直线的法向量． 1．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的． 2．二元一次方程Ax＋By＋C＝0的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． 3．直线的方向向量与法向量 (1)任意一条直线的方向向量和法向量都有无数个． (2)若直线的方向向量v＝(u，v)，法向量n＝(x，y)，则 ①ux＋vy＝0； ②n＝λ(－v，u)，λ≠0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示垂直于x轴的直线．(　) (4)若θ为直线l的倾斜角，则向量(sinθ，－cosθ)是直线l的一个法向量．(　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若直线l的方程为7x－2y－5＝0，则直线l的斜率是____________． (2)经过点A(－2，1)，斜率是的直线的一般式方程为____________． (3)将直线l的一般式方程x－2y＋4＝0化为截距式方程为____________． (4)已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为____________，一个法向量为____________，斜率为____________． 答案　(1)　(2)x－3y＋5＝0　(3)＋＝1　(4)(－3，－1)(答案不唯一)　(－1，3)(答案不唯一)　 核心素养形成 题型一　求直线的一般式方程 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点A(2，－1)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. [解]　(1)由点斜式方程可知所求直线的方程为y＋1＝3(x－2)，化为一般式方程为3x－y－7＝0. (2)由斜截式方程可知所求直线的方程为y＝4x－2，化为一般式方程为4x－y－2＝0. (3)由两点式方程可知所求直线的方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (4)由截距式方程可知所求直线的方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 感悟提升 1.求直线的一般式方程的策略 当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． 2．不同条件下各种直线方程的选用 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． [跟踪训练1]　根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)； (4)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2，4)． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y＋6＝－(x－8)，即x＋2y＋4＝0. (2)由截距式，得直线方程为＋＝1，即2x－y－3＝0. (3)由两点式，得直线方程为＝，即x＋y－1＝0. (4)解法一：∵直线的一个方向向量为a＝(2，4)，∴k＝＝2， 故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)，即2x－y－7＝0. 解法二：∵直线的一个方向向量为a＝(2，4)， ∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)， 故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0， 代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0， 解得C＝－14， ∴所求直线方程为4x－2y－14＝0，即2x－y－7＝0. 题型二　直线的一般式方程的应用 例2　(1)已知直线l的方程为3x＋2y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，O是坐标原点，则△AOB的面积为____________． [解析]　直线l的方程为3x＋2y－12＝0，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝4，故令A(4，0)，B(0，6)，S△AOB＝×4×6＝12. [答案]　12 (2)已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． ①若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； ②若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； ③若方程表示的直线的倾斜角是，求实数m的值． [解]　①当x，y的系数不同时为0时，方程表示一条直线， 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 故当实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)时，方程表示一条直线． ②由①知，当m＝时，方程表示的直线斜率不存在，此时直线方程为x＝，即3x－4＝0. ③由题意，得解得m＝. 感悟提升 (1)直线的一般式方程能表示所有直线的方程，解题时可根据需要化成其他四种形式． (2)对于式子Ax＋By＋C＝0，当A，B不同时为0时，上式表示直线，其斜率为－(B≠0)，在x轴上的截距为－(A≠0)，在y轴上的截距为－(B≠0)． [跟踪训练2]　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l恒过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围． 解　(1)证明：直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得 所以无论k取何值，直线l恒过定点(－2，1)． (2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0. 故k的取值范围为{k|k≥0}． 题型三　直线的方向向量和法向量的应用 例3　(1)已知直线l经过点A(2，3)，B(－1，0)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角． [解]　由已知，可得＝(－1，0)－(2，3)＝(－3，－3)是直线l的一个方向向量． 因此直线l的斜率k＝＝1，直线l的倾斜角θ满足tanθ＝1，从而可知θ＝. (2)已知n＝(sinα，1)是直线l的一个法向量，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ的取值范围． [解]　∵n＝(sinα，1)是直线l的一个法向量， ∴v＝(1，－sinα)是直线l的一个方向向量， ∴k＝－sinα， 又－1≤sinα≤1， ∴－1≤k≤1， ∴－1≤tanθ≤1， 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤或≤θ＜π， 即斜率k的取值范围为[－1，1]， 倾斜角θ的取值范围为∪. 感悟提升 (1)直线的法向量与方向向量互相垂直． (2)若v＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则k＝(u≠0)． (3)直线斜率与倾斜角的关系可利用正切函数y＝tanx的图象分析． [跟踪训练3]　已知直线l经过点A(－1，2)与B(m，3)． (1)若v＝(－2，2)是直线l的一个方向向量，求m的值； (2)当m∈时，求直线AB的倾斜角θ的取值范围． 解　(1)∵A(－1，2)，B(m，3)，∴＝(m＋1，1)， 又∥v， ∴(m＋1)×2＝1×(－2)，解得m＝－2. (2)∵直线l的斜率为＝， 又－≤m＋1<0， ∴≤－，即tanθ≤－， 又0≤θ＜π，∴<θ≤， 即倾斜角θ的取值范围为. 随堂水平达标 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 答案　D 解析　由直线的一般式方程可知，要使方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为0.故选D. 2．直线l过点A(－1，3)和B(3，2)，则直线l的法向量为(　) A．(－1，4) B．(2，5) C．(5，－2) D．(－1，－4) 答案　D 解析　＝(3，2)－(－1，3)＝(4，－1)为直线l的一个方向向量，∴直线l的法向量v＝(－1，－4)． 3．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不过(　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　由A·C<0及B·C<0，可知A≠0，B≠0，又直线Ax＋By＋C＝0过点，，且－>0，－>0，所以直线不过第三象限． 4．若直线l的一个方向向量v＝，则直线l的倾斜角θ＝____________． 答案　 解析　由tanθ＝k＝＝tan，且0≤θ＜π，得θ＝. 5．求经过点A(－2，2)且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线的一般式方程． 解　由题意，知直线的斜率存在且不为0. 设直线斜率为k(k≠0)，则直线的方程为y－2＝k(x＋2)，其与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，2k＋2)，由直线与两个坐标轴所围成的三角形面积为1，得··|2k＋2|＝1，整理得2(k＋1)2＝|k|，即2k2＋4k＋2＝k(k>0)或2k2＋4k＋2＝－k(k<0)，解得k＝－或k＝－2， 故所求直线的一般式方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0. 课后课时精练 一、选择题 1．直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点A(0，2)，则直线的方程为(　) A．3x－y＋2＝0 B．3x＋y－2＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y－2＝0 答案　B 解析　设点(x，y)为直线上不同于点A的任意一点，则直线的方向向量为v＝(x，y－2)，故v∥a，则有x×(－3)－(y－2)×1＝0，整理得3x＋y－2＝0，故选B. 2．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是，则实数m的值为(　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 答案　D 解析　由已知得解得m＝3. 3．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的一般式方程为(　) A．15x－10y－6＝0 B．15x－10y＋6＝0 C．6x－4y－3＝0 D．6x－4y＋3＝0 答案　A 解析　由题意，可知直线l的斜率k＝，故可设直线l的方程为y＝x＋b，则有－b＝1，解得b＝－，所以直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.故选A. 4．直线l的法向量为n＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为(　) A. B. C. D. 答案　D 解析　直线l的法向量为n＝(1，a2＋1)，∴方向向量v＝(a2＋1，－1)，k＝＝－.又a2＋1≥1，∴0<≤1.∴k∈[－1，0)，∴tanθ∈[－1，0)，又θ∈[0，π)，∴θ∈. 5．(多选)直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是(　) A．x－y－1＝0 B．3x－y－5＝0 C．x＋y－3＝0 D．x＋3y－5＝0 答案　AD 解析　将点(2，1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，直线l的方程为x－3y＋1＝0，即y＝x＋，斜率为，故所求直线的斜率k＝－，方程为y－1＝－(x－2)，即x＋3y－5＝0；当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，斜率为－1，故所求直线的斜率k＝1，方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选AD. 二、填空题 6．直线l上两点A(－2，3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝____________． 答案　7 解析　＝(4，m)－(－2，3)＝(6，m－3)，∴为直线l的一个方向向量．∴⊥v，∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，∴m＝7. 7．斜率为2的直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的一般式方程为_____________． 答案　2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0 解析　设直线方程为y＝2x＋b，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝－，则S＝＝1，b＝±2，故所求直线方程为y＝2x＋2或y＝2x－2，即2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0. 8．已知直线l过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的一般式方程为_____________． 答案　3x－2y＋12＝0 解析　解法一：设直线l的方程为＋＝1(a≠0，b≠0)，则由题意可知A(a，0)，B(0，b)．因为P(－2，3)是AB的中点，所以＝－2，＝3，解得a＝－4，b＝6.所以直线l的方程为＋＝1，即3x－2y＋12＝0. 解法二：由题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)(k≠0)．令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－－2.故A，B(0，2k＋3)．因为P是AB的中点，所以＝－2，＝3，解得k＝.故直线l的方程为y－3＝(x＋2)，即3x－2y＋12＝0. 三、解答题 9．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)倾斜角为，在y轴上的截距为2； (2)经过A(－2，4)，B(3，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－，3； (4)经过点(1，2)，且一个方向向量为v＝(－1，2)； (5)经过点(2，1)，且一个法向量为n＝(2，－3)． 解　(1)直线的斜率为tan＝，由斜截式，得直线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝，即x＋y－2＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1，即9x－y＋3＝0. (4)解法一：∵直线的一个方向向量为v＝(－1，2)，∴k＝＝－2，故所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. 解法二：∵直线的一个方向向量为v＝(－1，2)，∴直线的一个法向量为n＝(2，1)，故设直线的一般式方程为2x＋y＋C＝0，代入点(1，2)有2＋2＋C＝0，解得C＝－4，∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. (5)∵直线的一个法向量为n＝(2，－3)，∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，代入点(2，1)得4－3＋C＝0，解得C＝－1，∴直线的方程为2x－3y－1＝0. 10．已知△ABC的顶点A(1，3)，AB边上的中线所在直线的方程是y＝1，AC边上的高所在直线的方程是x－2y＋1＝0. 求：(1)AC边所在直线的方程； (2)AB边所在直线的方程． 解　(1)由题意，知直线x－2y＋1＝0的一个法向量(1，－2)是AC边所在直线的一个方向向量， ∴AC边所在直线的方程为2x＋y－5＝0. (2)∵y＝1是AB边上中线所在直线的方程， ∴设AB的中点P(xP，1)，则B(2xP－1，－1)满足方程x－2y＋1＝0， ∴(2xP－1)－2×(－1)＋1＝0，得xP＝－1，∴P(－1，1)， 则AB边所在直线的方程为x－y＋2＝0. 1．已知菱形ABCD中，点A(－1，－2)，B(2，1)，直线BC的方向向量为a＝(1，7)，直线BD的法向量为v＝(2，－1)，求点C的坐标． 解　设点C的坐标为(x0，y0)，＝(x0－2，y0－1)． ∵∥a，∴(x0－2)×7－(y0－1)×1＝0， 即7x0－y0－13＝0.① 又＝(x0＋1，y0＋2)，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， ∴为BD的一个法向量，∴∥v， ∴2(y0＋2)＋(x0＋1)＝0， 即x0＋2y0＋5＝0.② 由①②，解得 ∴点C的坐标为. 2．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等． ∴a＝2，直线l的方程为3x＋y＝0. 若a≠2，由截距存在且均不为零有＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0. 此时直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2. ∴或 解得a≤－1. ∴实数a的取值范围是(－∞，－1]． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$