2.2.2 直线的两点式方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 2.2.2　直线的两点式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程与截距式方程． 教学重点：会求直线的两点式方程、截距式方程． 教学难点：能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题． 核心素养：通过学习直线的两点式方程及截距式方程，提升逻辑推理素养和数学抽象素养． 核心概念掌握 知识点一　直线的两点式方程 我们把过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，称为直线的两点式方程，简称两点式． 如果直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x2≠x1且y2≠y1，两点式方程可以写成＝． 知识点二　直线的截距式方程 直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.当ab≠0时，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a和b确定，称为直线的截距式方程． 1．直线的两点式方程应注意的问题 要注意方程＝和方程(y2－y1)·(x－x1)＝(x2－x1)(y－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线． 2．直线的截距式方程 (1)截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线． (2)直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是在x轴上的截距，y项分母对应的是在y轴上的截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如－＝－1就不是直线的截距式方程． (3)由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便． (4)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程．(　) (2)与x轴平行的直线没有两点式方程．(　) (3)过原点的直线没有截距式方程．(　) (4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是＝.(　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x－4y＝0 (2)过点A(1，1)，B(2，3)的直线的两点式方程为____________． (3)过点C(0，2)，D(－3，0)的直线的截距式方程为____________． (4)已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是____________． 答案　(1)C　(2)＝　(3)＋＝1 (4)－2 核心素养形成 题型一　直线的两点式方程 例1　(1)已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　) A．－ B. C．－ D. [解析]　由两点式方程知直线过点(－5，0)，(3，－3)，故kl＝＝－.故选A. [答案]　A (2)已知三角形的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程． [解]　过点A(－5，0)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程． AC边上的中线是顶点B与AC边中点的连线．设线段AC的中点为D(x，y)， 则即D. 由两点式得直线BD的方程为＝，整理可得8x＋11y＋9＝0，此即为AC边上的中线所在直线的方程． 感悟提升 直线的两点式方程的注意事项 (1)已知任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，便可以利用直线的两点式(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0求其方程；当x1≠x2且y1≠y2时，可用＝求其方程． (2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误． [跟踪训练1]　已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程． 解　∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点的横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4，1)， ∴由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0. ∵B(2，2)，C(4，1)， ∴由直线方程的两点式可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 题型二　直线的截距式方程 例2　(1)已知直线＋＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为(　) A.， B．－，－ C.，7 D．－，－7 [解析]　＋＝－1可化为＋＝1，所以直线在x，y轴上的截距分别为－，－7，故a＝－，b＝－7. [答案]　D (2)已知直线过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． [解]　设直线与两坐标轴的交点为(a，0)，(0，b)． (ⅰ)当ab≠0时，直线方程为＋＝1. 由点P在此直线上，有＋＝1，① 又由已知得|a|＝|b|，② 联立方程①②可得a＝b＝5或a＝－1，b＝1. 所以直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0. (ⅱ)当a＝b＝0时，直线过原点和P(2，3)，易知直线方程为3x－2y＝0. 综上所述，所求直线的方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0或3x－2y＝0. 感悟提升 用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点且不与坐标轴重合时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论． [跟踪训练2]　直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． 解　设直线l的方程为＋＝1， 由已知，得a＋b＝12.① 又直线l过点(－3，4)，∴＋＝1.② 由①②解得或 故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. 题型三　直线方程的综合应用 例3　若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． [解]　因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. ①若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a， 则直线l的方程为＋＝1， 即x＋y－a＝0. ∵|a|·|a|＝18，即a2＝36， ∴a＝±6， ∴直线l的方程为x＋y±6＝0. ②若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a，故直线l的方程为＋＝1，即x－y－a＝0. ∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6， ∴直线l的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 感悟提升 利用截距求面积 (1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与两坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与两坐标轴围成的三角形面积或周长较方便． (2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知道截距的大小，因此，需要进行分类讨论． [跟踪训练3]　已知直线l过点P(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为____________． 答案　4 解析　设直线l的截距式方程为＋＝1，依题意，a>0，b>0，又因为点P(2，1)在直线l上，所以＋＝1，即2b＋a＝ab.又因为△OAB的面积S＝|OA|·|OB|＝ab，所以S＝ab＝(2b＋a)≥＝，当且仅当2b＝a时等号成立，所以ab≥，解得ab≥8.从而S＝ab≥4，当且仅当2b＝a时，S取最小值4. 随堂水平达标 1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　) A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析　因为点(－2，1)和点(1，4)的横、纵坐标均不相等，所以代入直线的两点式方程，得＝.整理，得所求直线的方程为y＝x＋3.故选A. 2．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　) 答案　A 解析　化为截距式＋＝1，＋＝1，由图象知A正确． 3．(多选)已知直线l：y＝－ax＋2＋a在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值可以是(　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 答案　AC 解析　由题意知a≠0.在直线方程y＝－ax＋2＋a中，令x＝0，得y＝2＋a.令y＝0，得x＝.因为直线l在x轴和y轴上的截距相等，所以2＋a＝.解得a＝1或a＝－2.故选AC. 4．已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为____． 答案　2x－y＋1＝0 解析　由已知可得AB的中点坐标为(1，3)．由直线的两点式方程可得所求直线的方程为＝，即2x－y＋1＝0. 5．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程． 解　(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为M， BC边的中点为N， 因为M在y轴上，所以＝0，得x0＝－5. 又因为N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3. 即C(－5，－3)． (2)由(1)可得M，N(1，0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即y＝x－. 课后课时精练 一、选择题 1．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为(　) A．－ B．－ C. D．2 答案　A 解析　直线的方程为＝，化为截距式为＋＝1，则直线在x轴上的截距为－. 2．若直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案　B 解析　∵直线过第一、三、四象限，∴它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，即a>0，b<0.故选B. 3．已知M，A(1，2)，B(3，1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为(　) A．4x＋2y－5＝0 B．x－2y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．4x－2y－5＝0 答案　D 解析　因为A(1，2)，B(3，1)，所以线段AB的中点坐标为，所以过点M和线段AB的中点的直线方程为＝，即4x－2y－5＝0.故选D. 4．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为(　) A．y＝x B．y＝x C．y＝3x＋1 D．y＝x－1 答案　B 解析　由题意可知，l过平行四边形ABCD的中心，BD的中点为(3，2)，所以由两点式可得直线l的方程为＝，即y＝x. 5．(多选)过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程为(　) A．2x－5y＝0 B．x＋4y－3＝0 C．x＋2y－9＝0 D．3x－2y＋7＝0 答案　AC 解析　由题意知，当直线l在两坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为2x－5y＝0；当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，设直线l的方程为＋＝1，将点(5，2)代入方程得＋＝1，解得a＝.所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.综上，所求直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. 二、填空题 6．经过点P(－3，－2)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为____________． 答案　y＝x或x－y＋1＝0 解析　①当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，有－2＝k×(－3)，k＝，∴直线方程为y＝x；②当截距不为0时(不过原点)，设直线方程为＋＝1，将点(－3，－2)代入，得a＝－1，∴直线方程为x－y＝－1，即x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为y＝x或x－y＋1＝0. 7．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是____________． 答案　3 解析　直线AB的方程为＋＝1，P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3，即xy的最大值是3. 8．一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，经过点B(－1，6)，则入射光线所在直线的方程为____，反射光线所在直线的方程为____________． 答案　y＝2x－4　y＝－2x＋4 解析　∵点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即y＝－2x＋4.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为＝，即y＝2x－4.∴入射光线所在直线的方程为y＝2x－4，反射光线所在直线的方程为y＝－2x＋4. 三、解答题 9．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC边上的中线所在直线的方程并化为截距式方程． 解　(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线． 因为线段AB，AC的中点坐标分别为，，所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1. (2)因为BC边的中点为(2，3)， 所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0， 化为截距式方程为＋＝1. 10．已知在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC，BD交于点(－1，1)，其中A(－2，0)，B(1，1)．分别求该平行四边形的边AD，DC所在直线的方程． 解　设点C的坐标为(a，b)，点D的坐标为(c，d)． 由已知，得解得 ∴C(0，2)，D(－3，1)， ∴边AD所在直线的方程为＝， 即x＋y＋2＝0， 边DC所在直线的方程为＝， 即x－3y＋6＝0. 1．直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解　(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，a＋b＋＝12， 又因为直线l过点P， 所以＋＝1， 消去b，得5a2－32a＋48＝0， 解得或 所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1. (2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b， 得a2－6a＋8＝0， 解得或 所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1. 2．已知直线l：＋＝1. (1)若直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解　(1)由直线方程可知，直线过点(m，0)，(0，4－m)， ∴kl＝＝2，解得m＝－4. (2)依题意解得0<m<4， 又A(m，0)，B(0，4－m)， ∴S△AOB＝|m|·|4－m| ＝m·(4－m) ＝(－m2＋4m) ＝－(m－2)2＋2， ∴当m＝2时，(S△AOB)max＝2， 此时直线l的方程为＋＝1， 即y＝－x＋2. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$