2.1 直线的斜率-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：1.直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 核心素养：1.通过学习直线的倾斜角、直线的斜率这些概念，提升数学抽象素养.2.通过利用过两点的直线的斜率公式解决问题，提升数学运算素养． 核心概念掌握 知识点一　直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角． 2．当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0. 3．倾斜角的取值范围是0≤α<π． 4．平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角α，而且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 知识点二　直线的斜率 1．一条直线的倾斜角α的正切值k称为这条直线的斜率，即k＝tanα． 2．倾斜角是的直线没有斜率．倾斜角α≠的直线都有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率来表示直线的倾斜程度． 3．设直线l的倾斜角为α，且经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，此直线的斜率公式为k＝tanα＝． 1．对直线倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件 ①x轴正向；②直线向上的方向；③小于π的非负角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． 2．运用斜率公式时应该注意的问题 (1)斜率公式与A，B点的先后顺序无关. (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． 3．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下： 斜率k k＝tanα>0 k＝0 k＝tanα<0 不存在 倾斜角α 锐角 0 钝角 在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示： ①当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大； ②当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0. 解决此类问题，常采用数形结合思想． 4．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．(　) (2)任意一条直线都有斜率．(　) (3)倾斜角越大，斜率也越大．(　) (4)倾斜角为0的直线只有一条，即x轴．(　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知直线经过点A(－2，0)，B(－5，3)，则该直线的倾斜角为(　) A. B. C. D. (2)如图1所示，直线l的倾斜角为____________． (3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为____________． (4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为____________． (5)过点(0，1)和(－3，0)的直线的斜率为____________． 答案　(1)B　(2)　(3)0　(4)k1<k3<k2 (5) 核心素养形成 题型一　直线的倾斜角与斜率的概念 例1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为，则直线l的倾斜角为____________． [解析]　有两种情况： ①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为，即直线l的倾斜角为. ②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为，即直线l的倾斜角为. [答案]　或 (2)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率． [解]　直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan＝. ∵直线l2的倾斜角α2＝＋＝， ∴直线l2的斜率k2＝tan＝tan＝－tan＝－. 感悟提升 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0≤α<π；③充分结合图形进行分析． [跟踪训练1]　(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　) A．α＋ B．α－ C.－α D．当0≤α<时，倾斜角为α＋；当≤α<π时，倾斜角为α－ 答案　D 解析　根据题意，画出图形，如图所示： 因为0≤α<π，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不符合题意．通过画图(如图所示)可知，当0≤α<时，l1的倾斜角为α＋；当≤α<π时，l1的倾斜角为＋α－π＝α－.故选D. (2)如图所示，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，其中l1∥l4，则(　) A．k1<k2<k3<k4 B．k1＝k4<k2<k3 C．k3<k2<k1＝k4 D．k4＝k1<k3<k2 答案　D 解析　由l1与l4平行，知l1与l4的倾斜角相等，所以斜率相等，故排除A.从图上可知l3的倾斜角比l2的倾斜角小，并且是小于的角，所以k2>k3>0.而l1与l4的倾斜角是钝角，故k1＝k4<0，通过以上的分析可知D项是正确的． 题型二　直线的倾斜角与斜率的计算 例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率，并确定直线的倾斜角． (1)A(－，)，B(，－)； (2)A(a，a＋b)，B(c，b＋c)(a≠c)； (3)A(－3，1)，B(－3，10)． [解]　(1)存在．∵－≠，∴直线AB的斜率存在，由斜率公式知k＝＝－1，则直线AB的倾斜角α满足tanα＝－1，又0≤α<π，∴倾斜角α＝. (2)存在．∵a≠c，∴直线AB的斜率存在，由斜率公式知k＝＝1，则直线AB的倾斜角α满足tanα＝1，又0≤α<π，∴倾斜角α＝. (3)不存在．∵xA＝xB＝－3，∴直线AB的斜率不存在，倾斜角α＝. 感悟提升 斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论． [跟踪训练2]　(1)已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角． 解　∵l2过N(5，3)，M(8，6)， ∴l2的斜率k2＝＝1，∴l2的倾斜角为. 又l1，l2，l3，l4倾斜角之比为1∶2∶3∶4， ∴l1的倾斜角为，l3的倾斜角为，l4的倾斜角为. (2)已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1，1)，B(1，1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率． 解　kAB＝＝0，kAC＝＝－1. ∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在． 题型三　直线斜率公式的应用 例3　(1)已知A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)三点在同一条直线上，求a的值． [解]　由题意知该直线的斜率存在， ∵A，B，C三点共线， ∴kAB＝kBC，即＝， 解得a＝2或a＝. 故a的值为2或. (2)在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，1)，且斜率分别为，－的直线l1，l2. [解]　设直线l1上另一点B的坐标为(x1，y1)， 根据斜率公式有＝，即y1＝x1. 不妨取x1＝0，则y1＝0，于是得点B的坐标为(0，0)，即坐标原点O.过点A(2，1)及点O(0，0)作直线即为l1，如图所示． 设直线l2上另一点C的坐标为(x2，y2)，根据斜率公式有－＝，即y2＝－x2＋2.不妨取x2＝0，则y2＝2，于是得点C的坐标为(0，2)．过点A(2，1)及点C(0，2)作直线即为l2，如图所示． (3)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角α的范围． [解]　如图所示，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，∴≤α≤. 感悟提升 1.斜率公式解决三点共线问题 利用斜率证明A，B，C三点共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，而直线AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． 斜率反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的直线斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 2．斜率公式解决范围问题 (1)由倾斜角的大小(或范围)求斜率的值(或范围)利用定义式k＝tanα解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解． [跟踪训练3]　(1)已知某直线l的倾斜角α＝，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． 解　∵α＝，∴直线l的斜率k＝tan＝1， ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴kP1P2＝kP2P3＝k， ∴＝＝1，解得x2＝7，y1＝0. (2)在平面直角坐标系中，画出经过点P(1，－1)，且斜率分别为2，－2的直线l1，l2. 解　设直线l1上另一点A的坐标为(x1，y1)， 根据斜率公式有2＝， 即y1＝2x1－3. 不妨取x1＝0，则y1＝－3，于是得点A的坐标为(0，－3)． 过点P(1，－1)及点A(0，－3)作直线即为l1，如图所示． 设直线l2上另一点B的坐标为(x2，y2)， 根据斜率公式有－2＝， 即y2＝－2x2＋1. 不妨取x2＝0，则y2＝1，于是得点B(0，1)．过点P(1，－1)及点B(0，1)作直线即为l2，如图所示． (3)已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围． 解　如图所示，当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 又kAB＝＝， kAC＝＝， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 随堂水平达标 1．下列说法正确的是(　) A．直线和x轴的正方向所成的正角，叫作这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是0≤α≤π C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为π D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 答案　D 解析　对于A，倾斜角的定义中把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角叫倾斜角，∴A错误；对于B，倾斜角的范围是0≤α<π，∴B错误；对于C，与x轴平行的直线的倾斜角为0，∴C错误；D正确． 2．已知A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为，则a，b的值为(　) A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1 答案　D 解析　由直线AB的倾斜角是，可知直线AB垂直于x轴，所以A，B两点的横坐标相等，纵坐标不相等，于是a＝3，b∈R且b≠1.故选D. 3.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则(　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 答案　D 解析　由题图可得k1<0<k3<k2. 4．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则点B的坐标为____________． 答案　(1，0)或(0，－2) 解析　设B(x，0)或B(0，y)，则kAB＝或kAB＝，由kAB＝2，解得x＝1或y＝－2.所以点B的坐标为(1，0)或(0，－2)． 5．如图，已知三点A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解　直线AB的斜率kAB＝＝； 直线BC的斜率kBC＝＝＝－； 直线CA的斜率kCA＝＝＝1. 由kAB>0及kCA>0知，直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角． 课后课时精练 一、选择题 1．过点A(1，－3)和B(2，4)的直线的斜率为(　) A．1 B．－7 C．7 D. 答案　C 解析　k＝＝7. 2．m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(　) A．在同一条直线上 B．是直角三角形的顶点 C．是等腰三角形的顶点 D．是等边三角形的顶点 答案　A 解析　kAB＝＝－1，kBC＝＝－1，∴kAB＝kBC，∴A，B，C三点共线． 3．经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　) A．m<1 B．m>－1 C．－1<m<1 D．m>1或m<－1 答案　C 解析　∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝>0，∴－1<m<1. 4．若a＝，b＝，c＝，则(　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 答案　B 解析　＝表示函数y＝ln x图象上的点(x，y)与点D(1，0)连线的斜率，如图所示．令a＝kDA，b＝kDB，c＝kDC，由图知kDC<kDB<kDA，即c<b<a. 5．(多选)已知直线ax＋by＝ab，则下列说法正确的是(　) A．当a≠0，b＝0时，直线的倾斜角为直角 B．当a＝0，b≠0时，直线的倾斜角为平角 C．当ab<0时，直线的倾斜角为锐角 D．当ab>0时，直线的倾斜角为钝角 答案　ACD 解析　当a≠0，b＝0时，直线表示的是y轴，倾斜角为直角，A正确；当a＝0，b≠0时，直线表示的是x轴，倾斜角为0，B错误；当ab<0时，∵直线过(0，a)，(b，0)，∴斜率k＝＝－，由于ab<0，∴k>0，∴倾斜角为锐角，故C正确；同理可知D正确．故选ACD. 二、填空题 6．已知A(x，0)，B(2，)两点，且直线AB的倾斜角为，则直线AB的斜率为____________，x的值为____________． 答案　　1 解析　斜率k＝tan＝，由＝，解得x＝1. 7．已知A(－1，2)，B(3，2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是____________． 答案　(1，6) 解析　设点P(x，y)，则有＝2，且＝－2，解得x＝1，y＝6，即点P的坐标是(1，6)． 8．已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，当m∈____________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m∈____________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈____________时，直线MN的倾斜角为钝角． 答案　(－∞，－5)∪(1，＋∞)　{－5}　(－5，1) 解析　当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝，kMN>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝，kMN<0，则－5<m<1. 三、解答题 9．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，求a的值． 解　由题意，直线AB，BC的斜率存在，则kAB＝kBC，即＝， 又a>0，∴整理得a2－2a－1＝0，解得a＝1＋或a＝1－(舍去)． ∴a的值为1＋. 10．已知直线l过点P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． 解 根据题中的条件可画出图形，如图所示， 又可得直线PA的斜率kPA＝－，直线PB的斜率kPB＝， 结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到，故斜率的变化范围为；当直线l由与y轴平行的位置变化到PA的位置时，它的倾斜角由增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是. 综上可知，直线l的斜率的取值范围是∪. 1．已知直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，直线l2的斜率为，求l1，l3，l4的斜率． 解　设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α，2α，3α，4α. 由0≤4α<π，得0≤α<. 由已知，得tan2α＝＝， 解得tanα＝(tanα＝－3舍去)，则 tan3α＝tan(α＋2α)＝＝， tan4α＝＝， 即直线l1，l3，l4的斜率分别为，，. 2．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2，3]时，求： (1)的最大值与最小值； (2)的取值范围． 解　(1)解法一：如图所示，由于点M(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点M(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)． 由于的几何意义是直线OM的斜率，且kOA＝2，kOB＝， ∴可求得的最大值为2，最小值为. 解法二：∵y＝－2x＋8， ∴＝－2. 设f(x)＝＝－2，则f(x)在[2，3]上单调递减． 当x＝2时，f(x)max＝2；当x＝3时，f(x)min＝. 故的最大值与最小值分别为2，. (2)由于＝，其几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率． 设函数y＝－2x＋8在x∈[2，3]的图象的左、右端点分别为A(2，4)，B(3，2)． ∵kNA＝，kNB＝， ∴≤≤. ∴的取值范围为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$