1.1 第2课时 递推公式及数列的性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 第2课时　递推公式及数列的性质 (教师独具内容) 课程标准：1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n项． 教学重点：1.理解数列的递推公式，会用递推公式求数列的项.2.数列单调性的判断与应用． 教学难点：1.判断数列的单调性.2.求数列的最值． 核心素养：通过学习数列的递推公式，提升数学运算素养和逻辑推理素养． 核心概念掌握 知识点一　数列的递推公式 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 知识点二　通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项an是序号n的函数式an＝f(n) 都可以确定数列 递推公式 已知一个数列的相邻两项之间的关系式 知识点三　数列的前n项和的定义及前n项和公式 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的前n项和公式． 显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是有an＝ 若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2)，则要用分段形式表示an. 知识点四　数列的单调性 一般地，对于一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列；如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列；各项都相等的数列叫作常数列． 递推公式的理解与应用 (1)与数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项． (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项． (4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列(若存在一个正整数t，使得∀n∈N＋，an＋t＝an，则数列{an}为周期数列，其周期为t)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　) (2)所有数列都有递推公式．(　) (3)仅由数列{an}的递推公式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)就能确定这个数列．(　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝an－5，则a4＝____________． (2)数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝nan，则a3＝____________． (3)数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2025－a2024＝____________． (4)设Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2024，Sn＋1＝Sn＋3n，则a4＝____________． 答案　(1)－17　(2)2　(3)2024　(4)27 核心素养形成 题型一　由递推公式写出数列的项 例1　已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝. [解]　(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1； a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16. 故该数列的一个通项公式为an＝(n－1)2. (2)∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝，a5＝＝， ∴它的前5项依次是1，，，，. 它的前5项又可写成，，，，， 故它的一个通项公式为an＝. 感悟提升 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． [跟踪训练1]　设数列满足a1＝1，an＝2＋(n>1，n∈N＋)，试写出这个数列的前4项． 解　∵a1＝1，an＝2＋(n>1)， ∴a2＝2＋＝3，a3＝2＋＝2＋＝， a4＝2＋＝2＋＝. 题型二　数列的通项an与前n项和Sn的关系 例2　已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式． (1)lg (Sn＋1)＝n＋1； (2)Sn＝2n2－3n. [解]　(1)因为lg (Sn＋1)＝n＋1， 所以Sn＋1＝10n＋1，即Sn＝10n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n. 从而数列{an}的通项公式为 an＝ (2)当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式， 所以an＝4n－5(n∈N＋)． 感悟提升 数列的通项an与前n项和Sn的关系 (1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写数列{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝表示． [跟踪训练2]　已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由题设知a1＝1. 当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1. 于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2， an＝an－1. 将以上(n－1)个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)． 题型三　数列的单调性 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求证：数列{an}是递增数列； (2)求从第几项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001. [解]　(1)证明：∵an＋1－an＝－＝ ＝， 由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列． (2)∵an＝＝1－， ∴|an－1|＝＝. 由<，得n2＋1>10000. 满足上式的n至少取n＝100. ∴从第100项开始，各项与1的差的绝对值小于0.0001. 感悟提升 判断数列单调性的方法 作差比较an＋1与an的大小，即比较an＋1－an与0的大小；或作商比较an＋1与an的大小，即比较与1的大小． [跟踪训练3]　已知数列{an}的通项公式为an＝，试讨论数列{an}的单调性． 解　∵an＋1－an ＝·(n＋2)－·(n＋1) ＝· ＝·， 又n∈N＋，>0， ∴当n≤7时，an＋1－an>0；当n＝8时，an＋1－an＝0；当n≥9时，an＋1－an<0. 因此数列{an}从第1项到第8项递增，从第9项起递减． 题型四　求数列中的最大(小)项 例4　已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋9n＋3，求数列{an}的最大项． [解]　解法一：假设an是最大项， 则有 即 解得≤n≤. 因为n是正整数，所以n＝2. 所以数列{an}的最大项是a2＝13. 解法二：由已知an＝－2n2＋9n＋3 ＝－2＋. 因为n为正整数，故当n＝2时，an取到最大值． 所以数列{an}的最大项为a2＝13. 感悟提升 求数列中最大(小)项的方法 (1)通常利用确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)．此方法适用于先增后减或先减后增型数列求最值项，要注意不等式组中的“≥”与“≤”，不是“>”与“<”． (2)也可利用函数的性质求最值项，如本例也可以利用二次函数y＝－2x2＋9x＋3的图象关于直线x＝对称这一性质来求最值项，但应注意n∈N＋，所以{an}的最大项是当n＝2时取得，而不是当n＝时取得． [跟踪训练4]　数列{an}的通项公式为an＝n2－7n＋50，求数列中的最小项． 解　解法一：∵an＝n2－7n＋50＝＋， ∴当n＝3或n＝4时，数列中的项最小，即最小项为a3＝32－7×3＋50＝38，a4＝42－7×4＋50＝38. 解法二：设数列{an}中的第n项最小， 则 即 解得3≤n≤4. ∴当n＝3或n＝4时，数列中的项最小，且最小项为a3＝a4＝38. 题型五　周期数列问题 例5　在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N＋)． (1)求证：an＋3＝an； (2)求a2024. [解]　(1)证明：an＋3＝1－ ＝1－＝1－ ＝1－＝1－ ＝1－＝1－(1－an)＝an. ∴an＋3＝an. (2)由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝，a2＝－1，a3＝2. 又a2024＝a3×674＋2＝a2＝－1，∴a2024＝－1. 感悟提升 求周期数列周期的方法 周期数列问题是数列中的一个重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中．解决周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解． [跟踪训练5]　已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2024＝(　) A．3 B．6 C．－3 D．－6 答案　B 解析　a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，a6＝a5－a4＝－6＋3＝－3，a7＝3，a8＝6，a9＝a3，a10＝a4，∴数列{an}的周期为6，∴a2024＝a6×337＋2＝a2＝6.故选B. 随堂水平达标 1．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an＝(　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵an＋1＝an，∴当n＝1时，a2＝a1＝，当n＝2时，a3＝a2＝，将n＝1，n＝2，n＝3代入四个选项检验可知B正确． 2．已知数列{an}满足a1＝，an＋an－1＝1(n∈N＋，n≥2)，那么a2025的值为(　) A. B. C．0 D. 答案　A 解析　由an＋an－1＝1得an＝1－an－1.又a1＝，∴a2＝，a3＝，a4＝，…，由此可知数列{an}的项以2为周期重复出现，∴a2025＝a1＝.故选A. 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为____________． 答案　1－ 解析　因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 4．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，数列{an}的前n项和为Sn，则a4＝____________，S60＝____________． 答案　－　 解析　∵an＋1＝，a1＝，∴a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝＝，∴数列{an}是以4为周期的周期数列，∴S60＝15×＝. 5．已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)． (1)求证：an＞－2； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解　(1)证明：由已知得，an＝(n∈N＋)． ∴an＝－＝－2＋. ∵n∈N＋， ∴＞0，∴an＞－2. (2)由an＝－2＋，得an＋1＝－2＋， ∴an＋1－an＝－＝. ∵n∈N＋， ∴＜0， 即an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列． 课后课时精练 一、选择题 1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　) A．1，2，3，4，… B．1，，2，2，… C.，2，，2，… D．0，，2，2，… 答案　B 解析　B中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1，其他选项均不符合．故选B. 2．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则数列{an}的通项公式可能是(　) A．an＝5－3n B．an＝3·2n－1－1 C．an＝5－3n2 D．an＝5·2n－1－3 答案　D 解析　由a1＝2，an＋1＝2an＋3可得a2＝7，当n＝2时，经验证只有D适合． 3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－，则此数列为(　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上均不正确 答案　A 解析　由an＝2n－，可得an＋1－an＝2，故此数列为递增数列． 4．已知数列{an}，an＝－n2＋λn＋1，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　) A．(－∞，3) B．(－∞，3] C．(－∞，2) D．(－∞，2] 答案　A 解析　∵数列{an}是递减数列，∴an＋1－an＝－(n＋1)2＋λ(n＋1)＋1＋n2－λn－1＝λ－2n－1<0，∴λ<2n＋1≤2×1＋1＝3.故选A. 5．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N＋)，则此数列(　) A．图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象 B．是递减数列 C．从第3项往后各项均为负数 D．有两项为1 答案　BC 解析　∵函数f(x)＝－x2＋2x＋1，数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N＋)，∴an＝－n2＋2n＋1.对于A，数列{an}的图象是函数图象上孤立的点，∴此数列的图象不是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象，故A错误；对于B，an＝－n2＋2n＋1＝－(n－1)2＋2，n∈N＋，∴此数列是递减数列，故B正确；对于C，a1＝2，a2＝1，a3＝－2，此数列是递减数列，∴从第3项往后各项均为负数，故C正确；对于D，此数列只有一项为1，故D错误．故选BC. 二、填空题 6．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋，则a6＝____________． 答案　－ 解析　∵an＋1＝2＋＝，a1＝－2，∴a2＝＝，a3＝＝6，a4＝－，a5＝，a6＝－. 7．已知数列{an}满足an＝ 且数列{an}是递增数列，则t的取值范围是____________． 答案　 解析　∵数列{an}满足 an＝且数列{an}是递增数列，∴解得<t<，即t的取值范围是. 8．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，a8＝2，则a1＝____________；若数列{an}的前n项和是Sn，则S2025＝____________． 答案　　 解析　∵数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，∴an＋2＝＝＝.∴an＋3＝＝＝an.∴数列{an}是周期为3的数列．∵a8＝2，∴2＝，解得a7＝，同理可得a6＝－1，则a1＝a7＝，a2＝a8＝2，a3＝a6＝－1.∴S2025＝(a1＋a2＋a3)×675＝×675＝. 三、解答题 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式． 解　∵Sn＝2n2－3n－1， ∴当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5. 又a1＝S1＝－2不适合上式， ∴an＝ 10．已知数列{an}的通项公式为an＝，求该数列的最大项． 解　an＝＝， 当x>0时，函数y＝x＋在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 所以当n＝4时，4＋＝， 当n＝5时，5＋＝>， 当n＝4时，n＋最小，此时最大， 即最大项为a4＝. 1．已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由． 解　解法一：作差比较an＋1与an的大小，判断数列{an}的单调性． 因为an＋1－an＝(n＋3)－(n＋2)·＝·. 当0<n<5时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝5时，a6－a5＝0，即a6＝a5； 当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 即最大项为a5＝a6＝. 解法二：作商比较an＋1与an的大小，判断数列{an}的单调性． ＝＝. 令>1，解得n<5；令＝1，解得n＝5； 令<1，解得n>5. 故有a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>…， 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项， 且最大项为a5＝a6＝. 解法三：解不等式． 假设数列{an}中有最大项，且最大项为第n项，则 即 解得即5≤n≤6. 所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝. 2．已知函数f(x)＝5－，数列{an}满足a1＝a，an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)若对于n∈N＋，均有an＋1＝an成立，求实数a的值； (2)若对于n∈N＋，均有an＋1>an成立，求实数a的取值范围． 解　(1)由题意得an＋1＝an＝a， 又知an＋1＝f(an)＝5－， ∴a＝，即a2－5a＋6＝0， 解得a＝2或a＝3，符合题意． ∴实数a的值为2或3. (2)由an＋1>an，即>an， 解得an<0或2<an<3， ∴要使a2>a1成立，则a1<0或2<a1<3. ①当a1<0时， a2＝5－>5， 而a3－a2＝－a2＝<0， 即a3<a2，不满足题意． ②当2<a1<3时， a2＝5－∈(2，3)，a3＝5－∈(2，3)，…，an∈(2，3)， 此时，an＋1－an＝－an＝>0， ∴an＋1>an，满足题意． 综上，实数a的取值范围为(2，3)． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$