1.1 第1课时 数列的概念与通项公式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第1课时　数列的概念与通项公式 (教师独具内容) 课程标准：1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊的函数． 教学重点：1.数列的有关概念.2.能由数列的前几项写出数列的一个通项公式． 教学难点：从函数的观点理解数列． 核心素养：从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，培养数学抽象素养和逻辑推理素养． 核心概念掌握 知识点一　数列及其有关概念 1．数列：按照一定顺序排成的一列数叫作数列． 2．项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第n项． 知识点二　数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 知识点三　数列的分类 类别 含义 有穷数列 只有有限多项的数列 无穷数列 有无穷多项的数列 知识点四　数列与函数的关系 数列{an}可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(3)，…. 知识点五　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．从函数的观点看，数列的通项公式就是数列的解析表达式． 知识点六　数列的表示方法 1.通项公式(解析法)； 2.列表法； 3.图象法． 1．从定义与函数两个角度理解数列的概念 (1)从定义角度考虑：数列的项与正整数1，2，3，…严格对应，对应的正整数是项数，数列中的项是有序的，有序性是数列的主要特征；再者，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的，例如：1，3，5，7，9和9，7，5，3，1不是同一个数列． (2)从函数角度看数列：数列与函数的关系为，也就是说数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数的解析式，其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 2．对数列通项公式的理解 (1)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是，是第几项． (2)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 如的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，就没有通项公式． (3)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，如数列：－1，1，－1，1，－1，1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋2等． 这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． (4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式可能并不唯一． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．(　) (2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．(　) (3)有些数列没有通项公式．(　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的(　) A．第100项 B．第12项 C．第10项 D．第8项 (2)若数列{an}的前4项分别是，－，，－，则该数列的一个通项公式为(　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ (3)若数列{an}满足＝n－2，那么15是这个数列的第____项． 答案　(1)C　(2)A　(3)5 核心素养形成 题型一　数列的概念与分类 例1　已知下列数列： (1)2，22，222，2222； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－1，0，－1，0，…，，…； (5)a，a，a，a，…. 其中，有穷数列是____________，无穷数列是____________．(将正确的序号填在横线上) [解析]　(1)是有穷数列，(2)是无穷数列，(3)是无穷数列，(4)是无穷数列，(5)是无穷数列． [答案]　(1)　(2)(3)(4)(5) 感悟提升 理解数列的概念应注意的几个方面 (1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的． (2)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，an或an＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集：{1，2，3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…或an＝f(n)(n＝1，2，3，…)，即对于有穷数列要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾． [跟踪训练1]　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1)1，，，…，，…； (2)1，2，22，…，263； (3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0，10，20，…，1000； (5)－1，1，－1，1，…； (6)6，6，6，…； (7)0，－1，0，…，cos，…. 解　(1)是无穷数列． (2)是有穷数列． (3)是无穷数列． (4)是有穷数列． (5)是无穷数列． (6)是无穷数列． (7)是无穷数列． 题型二　用观察法求数列的通项公式 例2　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)3，5，7，9，…； (2)，，，，…； (3)，－，，－，…； (4)，3，，，…； (5)0.9，0.99，0.999，0.9999，…； (6)，1，，，…； (7)，2，，8，…. [解]　(1)因为各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. (2)因为每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝. (3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·. (4)原数列可化为，，，，…，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的通项公式为an＝. (5)将原数列变形为1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…，故原数列的通项公式为an＝1－10－n＝1－. (6)将原数列变形为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1；对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故原数列的通项公式为an＝. (7)将数列变形为，，，，…，可知分子为n2，分母为2，所以原数列的通项公式为an＝. 【变式探究】把本例(5)改为“0.6，0.66，0.666，0.6666，…”，又如何求通项公式呢？ 解　数列0.6，0.66，0.666，0.6666，…变形为×0.9，×0.99，×0.999，×0.9999，…，所以原数列的通项公式为an＝. 感悟提升 用观察法求数列通项公式的一般规律 此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． [跟踪训练2]　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)，，，，…； (2)，，－，，－，，…； (3)7，77，777，…； (4)0，3，8，15，24，…； (5)－1，7，－13，19，…； (6)3，5，3，5，3，5，…. 解　(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母相差3，因而有an＝. (2)分母为2n，易看出第2，3，4，5，6项的分子均比分母少3，因此第1项为－，因此原数列可以化为－，，－，，…，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·. (3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，所以an＝(10n－1)． (4)原数列可化为0×2，1×3，2×4，3×5，4×6，…，所以an＝(n－1)(n＋1)＝n2－1. (5)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (6)此数列奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写作an＝此数列两项3与5的平均数为＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写作an＝4＋(－1)n. 题型三　数列通项公式的简单应用 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． [解]　(1)∵an＝3n2－28n， ∴a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49， 即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7或n＝(舍去)． ∴－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝. ∵－2∉N＋，∉N＋， ∴68不是该数列的项． 感悟提升 判断某数是否为数列的项的步骤 (1)将所给某数代入通项公式中； (2)解关于n的方程； (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，说明某数不是该数列的项. [跟踪训练3]　已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)试问和是不是该数列的项？如果是，是第几项？ 解　(1)由题意可知a4＝＝， a6＝＝. (2)令＝，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8， 由于n∈N＋，故n＝－8舍去． 所以是该数列的第5项． 令＝，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝或n＝－， 由于n∈N＋，所以不是该数列的项． 随堂水平达标 1．下面有四个结论，其中叙述正确的有(　) ①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案　B 解析　数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 2．数列，，，，，…的一个通项公式为(　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案　A 解析　第n项的分子为2n，分母为2n＋1.故选A. 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项 答案　C 解析　由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)． 4．数列{an}的通项公式为an＝则a3＋a6＝____________． 答案　8 解析　3是奇数，故a3＝3＋2＝5，6是偶数，故a6＝6－3＝3，所以a3＋a6＝5＋3＝8. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2或3. ∴数列中有两项是负数． (2)∵an＝n2－5n＋4＝－，二次函数y＝－的图象的对称轴为直线x＝. 又n∈N＋，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 课后课时精练 一、选择题 1．下列有关数列的说法正确的是(　) ①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列； ②数列{an}与{a2n－1}表示同一数列； ③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一； ④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N＋. A．①④ B．②③ C．③ D．①② 答案　C 解析　①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表示数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选C. 2．已知数列{an}的前3项为1，2，3，则下列可作为数列{an}的通项公式的有(　) ①an＝n； ②an＝n3－6n2＋12n－6； ③an＝n2－n＋1； ④an＝. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　将n＝1，2，3分别代入①②③④的通项公式中，可知①②④符合，对于③，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意，故可作为{an}通项公式的有3个．故选C. 3．已知数列{an}满足an＝n2＋n，那么(　) A．0是数列中的一项 B．21是数列中的一项 C．702是数列中的一项 D．以上答案都不对 答案　C 解析　∵an＝n(n＋1)，702＝26×27，∴702是第26项．故选C. 4．已知数列，，，3，，…，，…，则是这个数列的(　) A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 答案　D 解析　根据题意，此数列的通项公式为an＝，令＝，解得n＝25.故选D. 5．(多选)下列命题正确的是(　) A．已知数列{an}，an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第10项 B．数列，－，2，－，…的一个通项公式是an＝(－1)n＋1· C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝31 D．已知an＝3n＋1，则an＋1>an 答案　ABD 解析　对于A，由an＝＝⇒n＝10，故A正确；对于B，联想数列，，，，…，则an＝(－1)n＋1·，故B正确；对于C，由an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，故C错误；对于D，由an＋1－an＝3>0，易知D正确． 二、填空题 6．在数列0，，…，，…中，第3项是____________，是它的第____________项． 答案　　7 解析　令n＝3，则＝＝，所以第3项是；令＝，解得n＝7，所以是它的第7项． 7．在数列，2，x，2，，2，…中，x＝____________，该数列的一个通项公式是____________． 答案　　an＝(n∈N＋) 解析　各项可依次写为，，，，，，…，观察可知，根号下依次为偶数，故x2＝6，可得x＝，数列的通项公式为an＝(n∈N＋)． 8．数列{an}：0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式为____________． 答案　an＝1＋(－1)n(答案不唯一) 解析　根据题意，a1＝1＋(－1)1＝0，a2＝1＋(－1)2＝2，a3＝1＋(－1)3＝0，a4＝1＋(－1)4＝2，a5＝1＋(－1)5＝0，a6＝1＋(－1)6＝2，…，故an＝1＋(－1)n. 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)1，－2，3，－4，5，…； (2)5，55，555，5555，…； (3)1，3，6，10，15，…； (4)，，，，…； (5)1，－，，－，，…. 解　(1)这个数列的前4项1，－2，3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负，∴数列的通项公式是an＝(－1)n＋1·n. (2)∵数列9，99，999，9999，…的第n项为10n－1，数列1，11，111，1111，…的第n项应为(10n－1)，∴数列5，55，555，5555，…的通项公式是an＝(10n－1)． (3)注意到6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即，，，，，…，∴数列的通项公式为an＝. (4)注意各项的分子分别是12，22，32，42，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为an＝. (5)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，…，各项分子均为1，∴数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·. 10．已知数列{an}的通项公式是an＝. (1)求数列的第10项； (2)是不是数列的项？ 解　(1)数列的第10项为a10＝＝. (2)令an＝，即＝，解得n＝7. ∴是该数列的项，且是第7项． 1．已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求a8； (2)求证：0<an<1. 解　(1)a8＝＝. (2)证明：由题知an＝＝1－， ∵n∈N＋，∴3n＋1>3，∴0<<1， ∴0<1－<1，即0<an<1. 2．已知函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足f(2 an)＝2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：an＋1>an. 解　(1)由已知，得log22an－＝2n， 即an－＝2n，所以a－2nan－1＝0， 解得an＝n±， 因为0<x<1，即0<2 an <1，所以an<0， 所以an＝n－. (2)证明：因为＝ ＝<1， 而an<0(n＝1，2，3，…)，所以an＋1>an. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$