2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.2　基本不等式 第2课时　基本不等式的应用 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 答案 ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 4 解析 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 5 证明 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 6 证明 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 7 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 8 答案 解析 36 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 9 答案 解析 8 100 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 10 7．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB>AD，矩形的周长为8 cm. (1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽？ 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 11 解析 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1.(2024·湖南部分学校高一联考)某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(　　) A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 9.如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2 (图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周 空白部分面积的最小值是________dm2. 解析 答案 56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 10.(2024·东莞高一期末)某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图(如图)是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为80 m2的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/m2；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为8元/m2；在四个矩形(图中阴影部分)上不做任何设计．设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，则绿化花园总造价S的最小值为________元． 答案 1440 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 30 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 31 14．(2024·上海普陀高一期末)若实数a，b，c满足a2＋b2＝c≤1，则a＋b－c的最大值为________． 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 32 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 33 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 34 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　利用基本不等式比较大小 1．(2024·渭南三贤中学高一期中)设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4；③(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；④eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≥eq \r(ab).其中所有恒成立的不等式的序号是________． 解析：对于①，a2＋1－a＝a2－2a＋1＋a＝(a－1)2＋a>0，故①正确；对于②，a＋eq \f(1,a)≥2，当且仅当a＝1时等号成立，且b＋eq \f(1,b)≥2，当且仅当b＝1时等号成立，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4，故②正确；对于③，(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＋1≥2＋2＝4，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(b,a)，即a＝b时等号成立，故③正确；对于④，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(1,b))＝eq \f(2,\r(ab))，则eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \f(2,\f(2,\r(ab)))＝eq \r(ab)，当且仅当a＝b时等号成立，故④不正确．　 证明：∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a2＋b2≥eq \f(（a＋b）2,2)， ∴eq \r(a2＋b2)≥eq \f(a＋b,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)(a＋b)(当且仅当a＝b≥0时等号成立)． 同理，eq \r(b2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(b＋c)(当且仅当b＝c≥0时等号成立)， eq \r(a2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋c)(当且仅当a＝c≥0时等号成立)． 三式相加得eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(a2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)＋eq \f(\r(2),2)(b＋c)＋eq \f(\r(2),2)(a＋c)＝eq \r(2)(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c≥0时等号成立)． 知识点二　利用基本不等式证明不等式 2．已知a，b，c∈R，求证：eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(a2＋c2)≥eq \r(2)(a＋b＋c)． 证明：因为x>0，y>0，z>0， 所以eq \f(y,x)＋eq \f(z,x)≥eq \f(2\r(yz),x)>0，当且仅当y＝z时等号成立， eq \f(x,y)＋eq \f(z,y)≥eq \f(2\r(xz),y)>0，当且仅当x＝z时等号成立， eq \f(x,z)＋eq \f(y,z)≥eq \f(2\r(xy),z)>0，当且仅当x＝y时等号成立， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥eq \f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8， 当且仅当x＝y＝z时等号成立． 3．已知x>0，y>0，z>0，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8. 知识点三　利用基本不等式求参数的值或范围 4．[多选](2024·南通启东市通州区高一期末)已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，若(m＋3)xy≤x＋2y对任意的x>0，y>0恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(9,8) C.eq \f(10,7) D．2 解析：∵x>0，y>0，∴(m＋3)xy≤x＋2y⇔m＋3≤eq \f(x＋2y,xy)＝eq \f(1,y)＋eq \f(2,x)，即m＋3≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(2,x))) eq \s\do7(min)，eq \f(1,y)＋eq \f(2,x)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(2,x)))·(2x＋y)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2x,y)＋\f(2y,x)))≥eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2x,y)·\f(2y,x))))＝eq \f(9,2)，当且仅当eq \f(2x,y)＝eq \f(2y,x)，即x＝y＝eq \f(2,3)时，等号成立，即m＋3≤eq \f(9,2)，解得m≤eq \f(3,2).故选ABC.　 5．已知4x＋eq \f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 解析：4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即4x2＝a时等号成立．由题意得a＝4×32＝36.　 知识点四　利用基本不等式解决实际应用问题 6．用17列货车运一批货物从A市以v km/h的速度匀速行驶直达B市．已知A，B两市间铁路线长400 km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20))) eq \s\up12(2) km，则这批货物全部运到B市最快需要________h，此时货车的速度是________km/h. 解析：这批货物全部运到B市需要的时间为eq \f(400＋16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))\s\up12(2),v)＝eq \f(400,v)＋eq \f(16v,400)≥2eq \r(\f(400,v)·\f(16v,400))＝8，所以最快需要8 h，当且仅当eq \f(400,v)＝eq \f(16v,400)，即v＝100时，等号成立．此时货车的速度是100 km/h.　 解析：(1)由题意可得AD＝4－x， 且x>4－x>0，可得2<x<4， 由CE＝AE＝x－DE，在Rt△ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2， 即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2， 化简可得DE＝4－eq \f(8,x)(2<x<4)． (2)S△ADE＝eq \f(1,2)AD·DE＝eq \f(1,2)(4－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(8,x)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－x－\f(8,x)))≤2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－2\r(x·\f(8,x))))＝12－8eq \r(2)， 当且仅当x＝2eq \r(2)，4－x＝4－2eq \r(2)时， 等号成立，即队徽的长和宽分别为2eq \r(2) cm，4－2eq \r(2) cm时，△ADE的面积取得最大值．　 解析：设AB＝x(x>0)米，则种植花卉区域的面积S＝(x－4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1800,x)－2))＝－2x－eq \f(7200,x)＋1808.因为x>0，所以2x＋eq \f(7200,x)≥2eq \r(14400)＝240，当且仅当x＝60时等号成立，则S≤－240＋1808＝1568，当且仅当AB＝60米，BC＝30米时，种植花卉区域的面积取得最大值，为1568平方米．故选C.　 2．已知m＝a＋eq \f(1,a－2)(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不确定 解析：因为a>2，所以a－2>0，所以m＝a＋eq \f(1,a－2)＝(a－2)＋eq \f(1,a－2)＋2≥2eq \r(（a－2）·\f(1,a－2))＋2＝4，当且仅当a＝3时，等号成立．由b≠0得b2≠0，所以4－b2<4，即n<4，所以m>n.故选A.　 3．若不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A．λ＜eq \f(1,2) B．λ＜1 C．λ＜2 D．λ＜3 解析：∵不等式a2＋b2＋2>λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，∴λ<eq \f(a2＋b2＋2,a＋b).∵eq \f(a2＋b2＋2,a＋b)≥eq \f(\f(（a＋b）2,2)＋2,a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(2,a＋b)≥2eq \r(\f(a＋b,2)·\f(2,a＋b))＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴λ<2.故选C. 4．若当x≥0时，不等式a(x＋1)≤x2＋3恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0≤a≤3} B．{a|0≤a≤2} C．{a|a≤2} D．{a|a≤3} 解析：原不等式可化为a≤eq \f(x2＋3,x＋1)，因为eq \f(x2＋3,x＋1)＝eq \f(（x＋1）2－2（x＋1）＋4,x＋1)＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)－2≥2eq \r(（x＋1）·\f(4,x＋1))－2＝2，当且仅当x＋1＝eq \f(4,x＋1)，即x＝1时，等号成立，又a≤eq \f(x2＋3,x＋1)恒成立，所以a≤2.故选C.　 5．设a，b，c都大于0，则3个数a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a)的值(　　) A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2 解析：因为a，b，c都大于0，所以a＋eq \f(1,b)＋b＋eq \f(1,c)＋c＋eq \f(1,a)＝a＋eq \f(1,a)＋b＋eq \f(1,b)＋c＋eq \f(1,c)≥2eq \r(a·\f(1,a))＋2eq \r(b·\f(1,b))＋2eq \r(c·\f(1,c))＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，若a＋eq \f(1,b)<2，b＋eq \f(1,c)<2，c＋eq \f(1,a)<2，则a＋eq \f(1,b)＋b＋eq \f(1,c)＋c＋eq \f(1,a)<6，与前面矛盾，所以三个数a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a)的值至少有一个不小于2.故选D.　 二、多项选择题 6．设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋b2>a B．a2＋b2>b C．a<2ab<eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)<a2＋b2<1 解析：∵0<a<b，a＋b＝1，∴0<a<b<1，∵a<eq \f(a＋b,2)<b，∴a<eq \f(1,2)<b.∵a2＋b2－a＝(1－a)2＋a2－a＝2a2－3a＋1＝(2a－1)(a－1)>0，∴a2＋b2>a，故A正确；∵a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝(2b－1)(b－1)<0，∴a2＋b2<b，故B错误；∵b>eq \f(1,2)，∴2b>1，∴a<2ab，又ab<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，∴a<2ab<eq \f(1,2)，故C正确；∵a2＋b2>eq \f(（a＋b）2,2)＝eq \f(1,2)，a2＋b2<a＋b＝1，∴eq \f(1,2)<a2＋b2<1，故D正确．　 7．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．v＝eq \f(a＋b,2) B．v<eq \r(ab) C．v>a D．v<b 解析：设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，则v＝eq \f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq \f(2ab,a＋b)，由基本不等式，可知v<eq \f(a＋b,2)，故A错误；∵0<a<b，∴a＋b>2eq \r(ab)>0，∴v＝eq \f(2ab,a＋b)<eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，故B正确；∵v－a＝eq \f(2ab,a＋b)－a＝eq \f(2ab－a2－ab,a＋b)＝eq \f(a（b－a）,a＋b)>0，∴v>a，故C正确；∵v－b＝eq \f(2ab,a＋b)－b＝eq \f(2ab－ab－b2,a＋b)＝eq \f(b（a－b）,a＋b)<0，∴v<b，故D正确．故选BCD.　 三、填空题 8.如图，正方形ABCD是一个展览厅的俯视图，△BEF是办公区域，AD＝2，△DEF的面积为eq \f(1,2)，则办公区域△BEF面积的最小值为________，此时DE＝________． 解析：设DE＝x，则DF＝eq \f(1,x)，所以办公区域△BEF的面积为2×2－eq \f(1,2)×2×(2－x)－eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x)))－eq \f(1,2)＝x＋eq \f(1,x)－eq \f(1,2)≥2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立．所以办公区域△BEF面积的最小值为eq \f(3,2)，此时DE＝1.　 解析：设阴影部分的长为x dm，则宽为eq \f(72,x) dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝(x＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(72,x)＋2))－72＝8＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))≥8＋2×2eq \r(x×\f(144,x))＝56(dm2)，当且仅当x＝eq \f(144,x)，即x＝12时等号成立． 解析：设DQ的长为y m，则4xy＋x2＝80，即y＝eq \f(20,x)－eq \f(x,4)，0<x<4eq \r(5)，所以S＝99x2＋8×4×eq \f(1,2)y2＝100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(64,x2)))－160≥100×2eq \r(x2×\f(64,x2))－160＝1440，当且仅当x2＝eq \f(64,x2)，即x＝2eq \r(2)时，等号成立，所以当x＝2eq \r(2)时，S取最小值1440.　 证明：因为eq \r(2)×eq \r(a＋1)≤eq \f(a＋3,2)，当且仅当a＝1时，等号成立，eq \r(2)×eq \r(b＋1)≤eq \f(b＋3,2)，当且仅当b＝1时，等号成立，所以eq \r(2)×eq \r(a＋1)＋eq \r(2)×eq \r(b＋1)≤eq \f(a＋3,2)＋eq \f(b＋3,2)＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，则eq \r(2)(eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋1))≤4，即eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋1)≤2eq \r(2)，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 四、解答题 11．(2024·资阳高一适应性考试)已知a>0，b>0，且a＋b＝2.求证：eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋1)≤2eq \r(2). 12．某厂家拟在明年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计明年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)设明年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数； (2)该厂家明年的促销费用投入为多少万元时获得的利润最大？ 解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，即k＝2. ∴x＝3－eq \f(2,m＋1). 又每件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)元， ∴y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.5×\f(8＋16x,x)))－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,m＋1)))－m＝28－eq \f(16,m＋1)－m(m≥0)． (2)y＝28－eq \f(16,m＋1)－m＝29－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（m＋1）＋\f(16,m＋1)))， ∵m≥0，∴(m＋1)＋eq \f(16,m＋1)≥2eq \r(16)＝8， 当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1， 即m＝3时，等号成立， ∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，ymax＝21. ∴该厂家明年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大，为21万元．　 13．[多选]若a>0，b>0，且eq \r(a)＋eq \r(b)＝4eq \r(ab)，则下列不等式恒成立的是(　　) A.eq \r(a)＋eq \r(b)≥1 B．ab≥eq \f(1,4) C．a＋b≤eq \f(1,2) D．a2＋b2≥eq \f(1,8) 解析：对于A，因为a>0，b>0，eq \r(a)＋eq \r(b)＝4eq \r(ab)，所以eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(ab))＝4，得eq \f(1,\r(a))＋eq \f(1,\r(b))＝4，则(eq \r(a)＋eq \r(b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))＋\f(1,\r(b))))＝2＋eq \f(\r(b),\r(a))＋eq \f(\r(a),\r(b))≥2＋2eq \r(\f(\r(b),\r(a))·\f(\r(a),\r(b)))＝4，当且仅当eq \f(\r(b),\r(a))＝eq \f(\r(a),\r(b))，即a＝b＝eq \f(1,4)时取等号，所以eq \r(a)＋eq \r(b)≥1，故A正确；对于B，由eq \r(a)＋eq \r(b)＝4eq \r(ab)及eq \r(a)＋eq \r(b)≥2eq \r(\r(a)\r(b))，得4eq \r(ab)≥2eq \r(\r(a)\r(b))，解得ab≥eq \f(1,16)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,4)时取等号，故B错误；对于C，a＋b≥2eq \r(ab)≥2eq \r(\f(1,16))＝eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,4)时取等号，故C错误；对于D，a2＋b2≥2ab≥eq \f(1,8)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,4)时取等号，故D正确．故选AD.　 解析：因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)，所以a＋b≤eq \r(2（a2＋b2）)，即a＋b≤eq \r(2) eq \r(c)，所以a＋b－c≤eq \r(2) eq \r(c)－c.因为a2＋b2＝c≤1，所以0≤c≤1，所以0≤eq \r(c)≤1.因为a＋b－c≤eq \r(2) eq \r(c)－c＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(c)－\f(\r(2),2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)，所以当eq \r(c)＝eq \f(\r(2),2)时，a＋b－c取得最大值eq \f(1,2). 解：因为x>eq \f(2,3)，y>2， 所以3x－2>0，y－2>0， 令a＝3x－2，b＝y－2， 则a>0，b>0，x＝eq \f(a,3)＋eq \f(2,3)，y＝b＋2， 所以eq \f(9x2,y－2)＋eq \f(y2,3x－2)＝eq \f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)＋\f(2,3)))\s\up12(2),b)＋eq \f(（b＋2）2,a)＝eq \f(a2,b)＋eq \f(4a,b)＋eq \f(4,b)＋eq \f(b2,a)＋eq \f(4b,a)＋eq \f(4,a)＝eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)＋eq \f(4a,b)＋eq \f(4b,a)＋eq \f(4,b)＋eq \f(4,a)≥2eq \r(\f(a2,b)·\f(b2,a))＋2eq \r(\f(4a,b)·\f(4b,a))＋2eq \r(\f(4,b)·\f(4,a))＝2eq \r(ab)＋8＋eq \f(8,\r(ab))≥2eq \r(2\r(ab)·\f(8,\r(ab)))＋8＝16，　 15．设正实数x，y满足x>eq \f(2,3)，y>2，不等式eq \f(9x2,y－2)＋eq \f(y2,3x－2)≥m恒成立，求m的最大值． 当且仅当eq \f(a2,b)＝eq \f(b2,a)且eq \f(4a,b)＝eq \f(4b,a)且eq \f(4,b)＝eq \f(4,a)且2eq \r(ab)＝eq \f(8,\r(ab))， 即a＝b＝2，即x＝eq \f(4,3)，y＝4时，等号成立， 又不等式eq \f(9x2,y－2)＋eq \f(y2,3x－2)≥m恒成立， 所以m≤16，即m的最大值为16. $$