1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　全称量词命题的否定 1．命题“实数都有算术平方根”的否定是____________________________． 解析：省略了全称量词“所有”，命题的否定：存在一个实数没有算术平方根． 答案 解析 存在一个实数没有算术平方根 1 2 3 4 5 6 知识对点练 4 2．写出下列全称量词命题的否定： (1)所有的长方形都是四边形； (2)任意实数x都是方程5x－12＝0的根； (3)对任意实数x，x2＋1≥0. 解 解：(1)命题的否定：存在一个长方形不是四边形． (2)命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根． (3)命题的否定：存在实数x，使得x2＋1＜0. 1 2 3 4 5 6 知识对点练 5 3．写出下列全称量词命题p的否定，并判断其真假． (1)p：所有矩形的对角线相等； (2)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根； (3)p：∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解． 解 解：(1) p：有的矩形的对角线不相等．假命题． (2) p：存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题． (3) p：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．真命题． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 6 知识点二　存在量词命题的否定 4．写出下列存在量词命题p的否定，并判断其真假． (1)p：∃x>1，x2－2x－3＝0； (2)p：有些自然数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形． 解 解： (1) p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.假命题． (2) p：所有的自然数都不是奇数．假命题． (3) p：所有的平行四边形都是矩形．假命题． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 7 解 1 2 3 4 5 6 知识对点练 8 解： (1)命题p的否定为∃1≤x≤2，x>a＋1，∵命题p的否定为真命题， ∴a＋1<2，∴a<1，即实数a的取值范围为{a|a<1}． (2)若命题p为真命题，则a＋1≥2，即a≥1.∵命题q的否定为真命题， ∴“∀1≤x≤2，一次函数y＝x＋a的图象在x轴或x轴上方”为真命题． ∴1＋a≥0，即a≥－1， ∴实数a的取值范围为{a|a≥1}． 知识点三　利用全称量词命题的否定、存在量词命题的否定求参数的取值范围 6．已知命题p：∀1≤x≤2，x≤a＋1，命题q：∃1≤x≤2，一次函数y＝x＋a的图象在x轴下方． (1)若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 知识对点练 9 40分钟综合练 一、单项选择题 1．命题“方程x2－x－2＝0有正根”的否定是(　　) A．∃x＞0，x2－x－2≠0 B．∀x＞0，x2－x－2≠0 C．∃x＜0，x2－x－2＝0 D．∀x＜0，x2－x－2＝0 答案 解析 解析：原命题即“∃x>0，x2－x－2＝0”，其否定为“∀x＞0，x2－x－2≠0”．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 11 2．命题“∃x<0，x2－3x＋1≥0”的否定是(　　) A．∃x<0，x2－3x＋1<0 B．∃x≥0，x2－3x＋1<0 C．∀x<0，x2－3x＋1<0 D．∀x≥0，x2－3x＋1<0 答案 解析 解析：命题“∃x<0，x2－3x＋1≥0”的否定是“∀x<0，x2－3x＋1<0”．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 13 4．对下列命题的否定，说法错误的是(　　) A．p：任何一个实数乘以0都等于0； p：存在一个实数乘以0不等于0 B．p：有些矩形是正方形； p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形； p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N，2n≤100； p：∀n∈N，2n>100 答案 解析 解析：C中 p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 5．下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2＞0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 7．命题p：“∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－a>0”的否定为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a>4 B．a≤4 C．a≥5 D．a<5 答案 解析 解析：由题可知綈p：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，即∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，则a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知A，C符合题意．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 三、填空题 8．命题“任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是_______________________． 答案 解析 解析：“任意x∈R”的否定为“存在x∈R”，“|x－2|＋|x－4|>3”的否定为“|x－2|＋|x－4|≤3”． 存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 9．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是____________． 答案 解析 {m|3≤m<8} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 10．若命题“∃x∈R，(c－2)x＋1≤0”为假命题，则实数c的取值集合是____． 答案 解析 解析：因为命题“∃x∈R，(c－2)x＋1≤0”为假命题，所以该命题的否定“∀x∈R，(c－2)x＋1>0”为真命题，故c－2＝0，即c＝2. {2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 12．(2024·北京人大附中朝阳分校高一月考)已知全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≥2}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}． (1)若A∩B＝B，求实数a的取值范围； (2)若∀x∈A，均有x∉B，求实数a的取值范围； (3)若∃x∈B，且x∉A，求实数a的取值范围． 解 解：(1)由题意，A＝{x|x≤0，或x≥4}．因为A∩B＝B，所以B⊆A， 当B＝∅，即a＋1≥2a－1，即a≤2时，符合题意； 当B≠∅，即a>2时，由B⊆A，得a＋1≥4或2a－1≤0， 得a≥3. 综上，实数a的取值范围是{a|a≤2，或a≥3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 13．[多选](2024·山东青岛高一期中)下列说法正确的是(　　) A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件 C．命题“∃x∈R，x2＋1＝0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≠0” D．若“1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则1≤m≤3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 14．(2024·黑龙江哈尔滨高一期末)若“∃x∈R，x2＋2x＋2＝m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________． 答案 解析 解析：因为“∃x∈R，x2＋2x＋2＝m”的否定是假命题，所以“∃x∈R，x2＋2x＋2＝m”是真命题，因此关于x的方程x2＋2x＋2－m＝0有实根，所以Δ＝22－4×1×(2－m)≥0，解得m≥1. {m|m≥1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 15．(2024·辽宁丹东高一月考)已知命题p：∀1≤x≤2，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2a＋a2＝0. (1)若命题 p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和 q均为真命题，求实数a的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 30 　　　　　　　　　　　　　 R 5．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，eq \r(2)x＋y＝3. 解：(1)命题的否定：“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定：“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：“∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 解析：因为命题“∃x∉A，使eq \r(2)x∉B”为假命题，所以其否定为真命题，即∀x∉A，都有eq \r(2)x∈B为真命题．故选C. 3．(2024·深圳外国语学校高中园高一月考)若命题“∃x∉A，使eq \r(2)x∉B”为假命题，则下列命题一定为真的是(　　) A．∀x∉A，都有eq \r(2)x∉B B．∀x∈A，都有eq \r(2)x∉B C．∀x∉A，都有eq \r(2)x∈B D．∀x∈A，都有eq \r(2)x∈B 解析：如果命题的否定为假命题，那么该命题为真命题．对于A，由1＜4x＜3，得eq \f(1,4)＜x＜eq \f(3,4)，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A不选；对于B，由5x＋1＝0，得x＝－eq \f(1,5)∉Z，故B为假命题，其否定为真命题，故B不选；对于C，由x2－1＝0，得x＝±1，故C为假命题，其否定为真命题，故C不选；对于D，对任意实数x，都有x2＋x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)＞0，故D为真命题，其否定为假命题．故选D. 二、多项选择题 6．下列命题的否定为假命题的是(　　) A．对任意的x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)≥0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 解析：∵p(1)是假命题，p(2)是真命题， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－m≤0，,8－m＞0，))解得3≤m＜8. 四、解答题 11．写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)p：任意奇数的平方还是奇数； (2)q：∃x∈{x|x是正实数}，使eq \r(x)<x； (3)r：∃x，y∈Z，eq \r(2)x＋y＝3； (4)s：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 解：(1) p：存在一个奇数的平方不是奇数． 奇数可表述为2n＋1，n∈Z，则(2n＋1)2＝4n(n＋1)＋1， 4n(n＋1)一定为偶数，故4n(n＋1)＋1一定为奇数， 所以 p是假命题． (2) q：∀x∈{x|x是正实数}，eq \r(x)≥x. 当x＝4时，eq \r(x)＝2<4＝x，故 q是假命题． (3) r：∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3. 当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，因此 r是假命题． (4) s：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0. 因为x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2， 当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立， 所以 s是真命题． (2)当a≤2时，B＝∅满足题意；当a>2时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,2a－1≤4，))解得－1≤a≤eq \f(5,2)，所以2<a≤eq \f(5,2). 综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(5,2))))). (3)∃x∈B，且x∉A的否定是∀x∈B，x∈A，先求∀x∈B，则x∈A成立时a的取值范围．当B＝∅，即a≤2时，满足题意；当a>2时，2a－1≤0或a＋1≥4， 即a≤eq \f(1,2)或a≥3，所以a≥3. 综上，a≤2或a≥3， 因此原命题∃x∈B，且x∉A为真时，实数a的取值范围是{a|2<a<3}． 解析：x＝eq \r(2)是无理数，x2＝2是有理数，故A错误；当x＝－1，y＝－2时，xy>0，但x＋y＝－3<0，“xy>0”不是“x＋y>0”的充要条件，故B错误；命题“∃x∈R，x2＋1＝0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≠0”，故C正确；“1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2≤1，,m＋2≥3，))两个等号不同时成立，解得1≤m≤3，故D正确．故选CD. 解：(1)根据题意，知当1≤x≤2时，1≤x2≤4. p：∃1≤x≤2，x2－a<0，为真命题，∴a>1.∴实数a的取值范围是{a|a>1}． (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1.命题q为真命题时，Δ＝4a2－4(2a＋a2)≥0，解得a≤0，∴ q为真命题时，a>0.∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a>0，))解得0<a≤1， 即实数a的取值范围为{a|0<a≤1}． $$