1.5.1 全称量词与存在量词-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第一章　空间向量与 立体几何 1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　全称量词与全称量词命题 1．(2024·豫南名校高一期中联考)下列命题是全称量词命题的是(　　) A．存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 D．∃x∈R，x2＝x 解析：对于A，C，D，均为存在量词命题；B中的命题是全称量词命题．故选B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 知识对点练 4 解 1 2 3 4 5 6 知识对点练 5 知识点二　存在量词与存在量词命题 3．(2024·合肥八中高一月考)下列命题中存在量词命题的个数是(　　) ①存在一个无理数，它的立方是有理数；②有些集合无真子集；③能被5整除的整数，个位上是5. A．0 B．1 C．2 D．3 答案 解析 解析：命题①②含有存在量词；命题③可以叙述为“一切能被5整除的整数，个位上是5”，是全称量词命题．故有2个存在量词命题． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 6 4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆； (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立． 解 解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． (3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1<0成立”，是存在量词命题． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 7 5．判断下列存在量词命题的真假： (1)∃x∈Z，x3＜1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)∃x∈Q，x2＝3； (4)∃x，y为正实数，x2＋y2＝0. 1 2 3 4 5 6 知识对点练 8 解 1 2 3 4 5 6 知识对点练 9 知识点三　由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围 6．(2024·常德二中高一月考)已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠∅. (1)若p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 1 2 3 4 5 6 知识对点练 10 解 1 2 3 4 5 6 知识对点练 11 40分钟综合练 一、单项选择题 1．给出下列命题： ①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋； ③每一个中学生都要接受爱国主义教育； ④有人既能写小说，也能搞发明创造． 其中全称量词命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 解析 解析：②③都含有全称量词． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 13 2．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　) A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B．∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 C．∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 答案 解析 解析：由于所给的等式∀a，b∈R均成立，故改写为全称量词命题为“∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 3．(2024·辽宁高一期末)已知命题：“∃x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<4} B．{a|a≤4} C．{a|a>4} D．{a|a≥4} 答案 解析 解析：“∃x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 解析：A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，因为方程x2－ax－1＝0的Δ＝a2＋4>0恒成立，所以B是假命题，D是真命题；C是存在量词命题．故选D. 4．下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．存在x∈R，使得x2＝x D．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析：A，C为全称量词命题；B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题为真命题；D显然是假命题．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 二、多项选择题 6．若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∀x∈M，x≤3”也为真命题，则集合M可以是(　　) A．{x|x<－5} B．{x|－3<x<－1} C．{x|x>3} D．{x|0≤x≤3} 答案 解析 解析：由“∀x∈M，x≤3”为真命题，可得M⊆{x|x≤3}，又“∀x∈M，|x|>x”为真命题，可得M⊆{x|x<0}，所以M⊆{x|x<0}．故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 7．(2024·菏泽一中高一月考)已知二次函数y＝2x2＋4x＋3，则下列命题中为真命题的是(　　) A．∃x∈R，y≤1 B．∃x∈R，y≥1 C．∀x∈R，y≤1 D．∀x∈R，y≥1 答案 解析 解析：由题意，知x＝－1是函数图象的对称轴方程，因为函数图象开口向上，所以y＝1为函数的最小值，即对所有的实数x，都有y≥1，因此A，B，D均为真命题，C为假命题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 三、填空题 8．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成存在量词命题为______________________． 答案 解析 解析：命题可分两部分，条件“有些负数”写为“∃x<0”，结论“不等式(1＋x)(1－9x2)>0”写为“(1＋x)(1－9x2)>0”． ∃x＜0，(1＋x)(1－9x2)＞0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 9．下列命题： ①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°. 既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是_______．(填上所有满足要求的序号) 答案 解析 解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含有存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形的内角和为180°. ①② ③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 10．若命题“∀x∈{x|0＜2x－3＜5}，一次函数y＝3x－a的图象都在x轴的下方”为真命题，则实数a的取值范围是__________________． 答案 解析 {a|a≥12} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 四、解答题 11．若x∈R，函数y＝ax2＋x＋1的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 13．[多选]下列全称量词命题与存在量词命题中，是真命题的为(　　) A．设A，B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在x∈A，使得x∉B C．∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数 D．∃x∈{y|y是无理数}，x3是无理数 答案 解析 解析：对于A，根据A⊆B的定义可知，对任意x∈A，都有x∈B，故A是真命题；对于B，若A不包含于B，则存在x∈A，使得x∉B，故B是真命题；对于C，π是无理数，而π2还是无理数，故C是假命题；对于D，π是无理数，而π3还是无理数，故D是真命题．故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 14．命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长．若命题p为真命题，则x的取值集合M＝____________． 答案 解析 解析：当命题p为真命题时，则存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长，可得4－3<x<3＋4，即1<x<7.所以x的取值集合M＝{x|1<x<7}． {x|1<x<7} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 15．命题p：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋3x＋2－a＝0”，若p和q均为真命题，求实数a的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 　　　　　　　　　　　　　 R 2．判断下列全称量词命题的真假： (1)∀x∈R，x2－x＋1≥； (2)三角形两边之和大于第三边； (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示． 解：(1)因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)， 所以“∀x∈R，x2－x＋1≥eq \f(3,4)”是真命题． (2)因为所有三角形中，任意两边之和大于第三边，故该命题是真命题． (3)如边长为1的正方形，其对角线的长度为eq \r(2)，eq \r(2)是无理数，故该命题是假命题． 解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， 所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由于使x2＝3成立的数只有±eq \r(3)，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3， 所以“∃x∈Q，x2＝3”为假命题． (4)因为x＞0，y＞0，所以x2＋y2＞0，所以“∃x，y为正实数，x2＋y2＝0”为假命题． 解：(1)由于p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A， 又B≠∅，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3≤2m＋4，,m＋3≥－3，,2m＋4≤6，)) 解得－1≤m≤1. 所以m的取值范围是{m|－1≤m≤1}． (2)由于q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥－1. 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3≤6，,2m＋4≥－3，))解得－1≤m≤3， 所以m的取值范围是{m|－1≤m≤3}．　 5．下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是(　　) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个x∈R，使x2≤0 C．两个无理数的和是无理数 D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)＞2 解析：由已知得{x|0<2x－3<5}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x<4))))，若“∀x∈{x|0<2x－3<5}，一次函数y＝3x－a的图象都在x轴的下方”为真命题，则当eq \f(3,2)<x<4时，y＝3x－a<0恒成立，所以3×4－a≤0，即a≥12，所以实数a的取值范围是{a|a≥12}．　 解：若a＝0，则函数为一次函数y＝x＋1，其图象为一条直线，对于x∈R，函数y＝x＋1的图象和x轴恒有公共点； 若a≠0，则函数为二次函数y＝ax2＋x＋1，其图象和x轴恒有公共点，只需Δ≥0，即Δ＝1－4a≥0，解得a≤eq \f(1,4). 综上所述，实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,4))))).　 解：q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≤5，,2m－1≥－2，))解得2≤m≤4， 即m的取值范围为{m|2≤m≤4}． 解：若p是真命题，则a≤x2对于x∈{x|1≤x≤2}恒成立，所以a≤(x2)min＝1. 若q是真命题，则关于x的方程x2＋3x＋2－a＝0有实数根， 所以Δ＝9－4(2－a)＝1＋4a≥0， 即a≥－eq \f(1,4)，若p和q均为真命题， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≥－\f(1,4)，))所以－eq \f(1,4)≤a≤1， 所以实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)≤a≤1)))).　 $$