1.4.2 充要条件-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第一章　空间向量与 立体几何 1.4　充分条件与必要条件 1.4.2　充要条件 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　充要条件 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2－2x＋1＝0，得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 4 2．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 答案 解析 解析：a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 5 3．[多选](2024·枣庄三中高一月考)对任意实数a，b，c，下列命题中为真命题的是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 答案 解析 解析：对于A，因为a＝b时，ac＝bc成立，ac＝bc且c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A是假命题；对于B，a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2<b2；a＝－2，b＝1时，a2>b2，但a<b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B是假命题；对于C，因为a<3时，一定有a<5成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件，故C是真命题；对于D，“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D是真命题．故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 6 知识点二　从集合的角度看充分条件、必要条件和充要条件 4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 解析 解析：充分性：当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，可以推出A⊆B，故充分性成立；必要性：若A⊆B，则{1，a}⊆{1，2，3}，可得a＝2或a＝3，故必要性不成立．所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 7 5．若集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1＋a<x<1＋a}，则“2<a<3”是“B⊆A”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 8 知识点三　充要条件的证明与应用 6．已知A＝{x|3x＋a≥0}，B＝{x|x≥2}，若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则a＝________． 答案 解析 －6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 9 7．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)的充要条件是b＝0. 证明 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx. 当x＝0时，y＝0. 所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)． ②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)， 所以0＝0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)的充要条件是b＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 8．(2024·上海市复旦中学高一期中)求证：等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2. 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 11 证明：充分性：若a2－b2＝1， 则a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1成立． 必要性：若a4－b4－2b2＝1，则a4－b4－2b2－1＝0， 即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，∴a4－(b2＋1)2＝0， ∴(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0， ∵a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1＝0， 即a2－b2＝1成立． 综上所述，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 9．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 解析 解析：a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 解析 解析：若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 3．“a＋b<0”是“a<0，b<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 解析 解析：a＋b<0不能推出a<0，b<0，例如a＝－2，b＝1，满足a＋b<0，但是a<0，b>0，所以充分性不成立；若a<0，b<0，则a＋b<0，所以必要性成立，所以“a＋b<0”是“a<0，b<0”的必要不充分条件．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 4．(2024·连云港高级中学高一月考)已知下列所给的各组p，q中，p是q的充要条件的为(　　) A．p：a<0，q：|a|>0 B．p：两个三角形全等，q：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．p：a＝b，q：a2＝b2 D．p：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 二、多项选择题 6．设全集为U，下列条件中为B⊆A的充要条件的是(　　) A．A∪B＝A B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UB)⊆(∁UA) D．A∪(∁UB)＝U 答案 解析 解析：对于A，当A∪B＝A时，B⊆A，当B⊆A时，A∪B＝A，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，所以A符合题意；对于B，当(∁UA)∩B＝∅时，B⊆A，当B⊆A时，(∁UA)∩B＝∅，所以“(∁UA)∩B＝∅”是“B⊆A”的充要条件，所以B符合题意；对于C，当(∁UB)⊆(∁UA)时，A⊆B，所以C不符合题意；对于D，当A∪(∁UB)＝U时，B⊆A，当B⊆A时，A∪(∁UB)＝U，所以“A∪(∁UB)＝U”是“B⊆A”的充要条件，所以D符合题意．故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 7．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则下列结论正确的是(　　) A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件 C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 答案 解析 解析： A正确，Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；B正确，Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；C错误，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根,/)Δ＝b2－4ac>0；D正确，Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 三、填空题 8．函数y＝2x2＋mx＋3的图象过点(1，0)的充要条件是____________． 答案 解析 解析：函数y＝2x2＋mx＋3的图象过点(1，0)，所以2＋m＋3＝0，即m＝－5. m＝－5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 9．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为________，一个充分不必要条件可为___________________． 答案 解析 a≤9 6≤a≤9(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 10．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________． 答案 解析 解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0⇔n≤4.又n∈N*，所以n＝1，2，3，4，当n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；当n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；当n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；当n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根，所以n＝3或n＝4. 3或4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 13．[多选](2024·广东东莞高一月考)在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，则下列结论正确的是(　　) A．2025∈[3] B．－2∈[2] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3] D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 解析 解析：对于A，由2025＝4×506＋1，得2025∈[1]，故A错误；对于B，由－2＝4×(－1)＋2，得－2∈[2]，故B正确；对于C，所有整数被4除所得的余数只有0，1，2，3四种情况，即刚好分成[0]，[1]，[2]，[3]，共4类，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故C正确；对于D，若整数a，b属于同一“类”，则a＝4n1＋k，n1∈Z，b＝4n2＋k，n2∈Z，故a－b＝4(n1－n2)＋0，n1，n2∈Z，所以a－b∈[0]，反之，不妨设a＝4n1＋k1，n1∈Z，b＝4n2＋k2，n2∈Z，则a－b＝4(n1－n2)＋(k1－k2)，n1，n2∈Z，若a－b∈[0]，则k1－k2＝0，即k1＝k2，所以整数a，b属于同一“类”，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确．故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 14．设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数．则“A≠B”是“d(A，B)>0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 解析 解析：若A≠B，则A∪B≠A∩B，则card(A∪B)>card(A∩B)，故d(A，B)>0成立；若card(A∪B)>card(A∩B)，则A∪B≠A∩B，所以A≠B.所以“A≠B”是“d(A，B)>0”的充要条件． 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 15．设a，b，c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件． 解 解：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0的公共根为m， 则m2＋2am＋b2＝0，m2＋2cm－b2＝0， 两式相加得m＝－(a＋c)(m＝0舍去)， 将m＝－(a＋c)代入m2＋2am＋b2＝0，得 [－(a＋c)]2＋2a[－(a＋c)]＋b2＝0，整理得a2＝b2＋c2. 充分性：当a2＝b2＋c2时，方程x2＋2ax＋b2＝0等价于x2＋2ax＋a2－c2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 30 解 所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0， 该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)． 同理，方程x2＋2cx－b2＝0等价于[x＋(a＋c)][x＋(c－a)]＝0，该方程亦有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)． 显然x1＝x3，两方程有公共根． 故方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 31 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：∵B＝{x|－1＋a＜x＜1＋a}，B⊆A，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≤4，,－1＋a≥1，))解得2≤a≤3，∴2<a<3⇒B⊆A，反之不成立．故选A.　 解析：由3x＋a≥0，得x≥－eq \f(a,3).由题意知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(a,3)))))＝{x|x≥2}，所以－eq \f(a,3)＝2，a＝－6.　 证明：充分性：若a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2， 则等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2显然对任意实数x恒成立，充分性成立． 必要性：由于等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立， 分别将x＝0，x＝1，x＝－1代入可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c1＝c2，,a1＋b1＋c1＝a2＋b2＋c2，,a1－b1＋c1＝a2－b2＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝a2，,b1＝b2，,c1＝c2，))必要性成立． 故等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2.　 解析：对于A，|a|>0，解得a>0或a<0，所以a<0⇒|a|>0，但|a|>0a<0，故p是q的充分不必要条件，故A不符合题意；对于B，根据全等三角形的性质及判定可知，p⇔q，故p是q的充要条件，故B符合题意；对于C，由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件，故C不符合题意；对于D，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形的斜边相等，两直角三角形不一定全等，例如：Rt△ABC中∠B＝90°，AB＝1，BC＝eq \r(7)，斜边AC＝2eq \r(2)，Rt△DEF中∠E＝90°，DE＝EF＝2，斜边DF＝2eq \r(2)，故p是q的必要不充分条件，D不符合题意．故选B.　 5．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2，3)∈A∩的充要条件是(　　) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 解析：∁UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，∵P(2，3)∈A∩(∁UB)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×2－3＋m＞0，,2＋3－n＞0，))∴m＞－1，n＜5.故选A.　 解析：A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}．若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6；若A≠∅，则A⊆B⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋1≥3，,3a－5≤22，,3a－5≥2a＋1))⇔6≤a≤9.综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.　 四、解答题 11．设a，b∈R，证明p：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＋b3＋2＝0，,3ab＋1＝0))是q：a3＋b3＋2＋(3ab＋1)(a＋b)＝0的充分不必要条件． 证明：充分性显然成立，下证qp. q等价于a3＋b3＋3ab(a＋b)＋(a＋b)＋2＝0，即(a＋b)3＋(a＋b)＋2＝0， (a＋b＋1)[(a＋b)2－(a＋b)＋2]＝0， (a＋b＋1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(7,4)))＝0， 所以q⇔a＋b＋1＝0. 取a＝－2，b＝1，则q成立，但p不成立，所以qp. 故p是q的充分不必要条件． 证明：因为a≥eq \f(1,2)，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c图象的对称轴为直线x＝eq \f(a,2a2)＝eq \f(1,2a)，且0<eq \f(1,2a)≤1， 当x＝eq \f(1,2a)时，y取得最大值eq \f(1,4)＋c，所以y≤eq \f(1,4)＋c. 先证充分性：因为c≤eq \f(3,4)，且y≤eq \f(1,4)＋c≤eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，所以y≤1. 再证必要性：因为y≤1，所以只需eq \f(1,4)＋c≤1即可，从而c≤eq \f(3,4). 即结论得证． 12．已知a≥eq \f(1,2)，设二次函数y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对任意x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤eq \f(3,4). $$