1.4.1 充分条件与必要条件-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第一章　空间向量与 立体几何 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　充分条件与必要条件的判断 1．若集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x≤0，或x≥5}，则“x∈P”是“x∈∁RQ”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵Q＝{x|x≤0，或x≥5}，∴∁RQ＝{x|0<x<5}．又集合P＝{1，2，3，4}，∴x∈P⇒x∈∁RQ，但x∈∁RQ x∈P，∴“x∈P”是“x∈∁RQ”的充分条件但不是必要条件． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 2．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个必要条件但不是充分条件是(　　) A．a<0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 3．(2024·娄底新化县高一期末)已知x，y∈R，则“xy>0”是“x>0，y>0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 解析 解析：取x＝y＝－1，满足xy>0，但不满足x>0，y>0，故“xy>0”不是“x>0，y>0”的充分条件；若x>0，y>0，则xy>0，故“xy>0”是“x>0，y>0”的必要条件．故“xy>0”是“x>0，y>0”的必要条件但不是充分条件．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 解：(1)因为A⊆B，且a＝2，所以a≤b，即b≥2， 此时A真包含于B， 所以p是q的充分条件但不是必要条件． (2)因为B⊆A，所以b<a，则有a>2， 此时B真包含于A， 所以p是q的必要条件但不是充分条件． 4．(2024·龙岩北大附属实验学校高一月考)已知A＝{x|x<a}，B＝{x|x≤b}，p：x∈A，q：x∈B. (1)若A⊆B，且a＝2，求b的取值范围，并判断p是q的什么条件； (2)若B⊆A，且b＝2，求a的取值范围，并判断p是q的什么条件． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 解 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 知识点二　充分条件、必要条件的应用 6．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是_________________． 答案 解析 {a|－1≤a≤5} 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 7．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若“x∈A”是“x∈B”的一个充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案 解析 {m|m>1} 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 8．设p：a－1≤x≤a＋1，q：2≤x≤3. (1)当a＝0时，判断p是q的什么条件； (2)若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 40分钟综合练 一、单项选择题 1．“x为整数”是“2x＋1为整数”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案 解析 解析：由x为整数能推出2x＋1为整数，故“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分条件；由2x＋1为整数不能推出x为整数，故“x为整数”不是“2x＋1为整数”的必要条件．综上所述，“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分条件但不是必要条件．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 13 2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案 解析 解析：若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而当a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分条件但不是必要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 3．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案 解析 解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要条件但不是充分条件．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 答案 解析 解析：由|x|＝x，得x≥0.选项A和C既是必要条件也是充分条件，不符合题意；选项D是充分条件但不是必要条件，不符合题意；选项B符合题意．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A．必要条件 B．充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案 解析 解析：由题意可知“返回家乡”可以推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 7．(2024·江苏南京高一月考)下列选项中p是q的必要条件但不是充分条件的是(　　) A．p：a≤1，q：a<1 B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝B C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等 D．p：x2＋y2＝1，q：x＝1，y＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 解析 解析：对于A，∵a<1成立，则必有a≤1，而当a≤1时，不一定有a<1，∴p是q的必要条件但不是充分条件，故A符合题意；对于B，∵p：A∩B＝A⇔A⊆B，q：A∪B＝B⇔A⊆B，∴p既是q的充分条件，也是必要条件，故B不符合题意；对于C，∵两个三角形全等，则两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等时，不一定有两个三角形全等，∴p是q的充分条件但不是必要条件，故C不符合题意；对于D，当x＝1，y＝0时，x2＋y2＝1，反之，当x2＋y2＝1时，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要条件但不是充分条件，故D符合题意．故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 三、填空题 8．“A∩B＝{2}”是“2∈A且2∈B”的______________________条件． 答案 解析 解析：若A∩B＝{2}，则2∈A且2∈B一定成立，但是若2∈A且2∈B，则集合A与集合B还可能有其他公共元素，即A∩B＝{2}不一定成立，故“A∩B＝{2}”是“2∈A且2∈B”的充分条件但不是必要条件． 充分条件但不是必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 9．“a与b互为相反数”________“a与b的绝对值相等”的充分条件．(填“是”或“不是”) 答案 解析 解析：若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以“a与b互为相反数”是“a与b的绝对值相等”的充分条件． 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 10．(2024·南通中学高一月考)已知P＝{x|－a－4<x<a＋4}，Q＝{x||x|<6}．若P＝Q，则a＝________；若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，则a的取值范围为________． 答案 解析 2 {a|a<2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 14．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则“[x]≥[y]”是“x≥y”的__________________________．(填“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”“既是充分条件，也是必要条件”或“既不是充分条件，也不是必要条件”) 答案 解析 解析：[x]≥[y]，即[x]>[y]或[x]＝[y]，当[x]>[y]时，可推出x>y；但当[x]＝[y]时，如x＝2.1，y＝2.3，此时x<y，所以“[x]≥[y]”不能推出“x≥y”，即充分性不成立．x≥y，即x>y或x＝y，当x＝y时，必有[x]＝[y]；当x>y时，可推出[x]>[y]或[x]＝[y]，所以“x≥y”能推出“[x]≥[y]”，即必要性成立．所以“[x]≥[y]”是“x≥y”的必要条件但不是充分条件． 必要条件但不是充分条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 15．(2024·福建福州月考)设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充分条件，也是必要条件为a＋b＋c＝0. 证明 证明：充分性：∵a＋b＋c＝0， ∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0， ∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， ∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充分条件，也是必要条件为a＋b＋c＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 30 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：设一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)的两根为x1，x2，∵两根一正一负，∴Δ＝4－4a>0且x1x2＝eq \f(1,a)<0，∴a<0.又a<1a<0，但a<0⇒a<1，∴“a<1”是“a<0”的必要条件但不是充分条件．故选C.　 解：(1)x2＝x＋2⇒x＝±eq \r(x＋2)， x＝±eq \r(x＋2)⇒x2＝±xeq \r(x＋2)， 故x2＝x＋2xeq \r(x＋2)＝x2.故说法错误． (2)xeq \r(x＋2)＝x2⇒x＝0或eq \r(x＋2)＝x(其中x为正数)， 故xeq \r(x＋2)＝x2x2＝x＋2.故说法错误．　 5．判断下列说法是否正确，如果不正确，分析错误的原因． (1)“x2＝x＋2”是“x＝x2”的充分条件； (2)“x2＝x＋2”是“x＝x2”的必要条件． 解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥－1，))所以－1≤a≤5.　 解析：由题意，得AB，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1>－1，,m＋1>2，))解得m>1.　 解：(1)当a＝0时，p：－1≤x≤1，q：2≤x≤3，显然p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． (2)因为p是q的必要条件但不是充分条件， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≥3，,a－1<2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1>3，,a－1≤2，)) 解得2≤a≤3. 所以实数a的取值范围是{a|2≤a≤3}． 4．使|x|＝x成立的一个必要条件但不是充分条件的是(　　) A．x≥0 B．x2≥－x C.eq \r(x)≥0 D.eq \f(1,x)>0 二、多项选择题 6．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　) A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则＝ D．若x<y，则x2<y2 解析：p是q的必要条件，则q是p的充分条件．对于A，当x＝y＝0时，推不出eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，A不符合题意；对于B，x＝1⇒x2＝1，B符合题意；对于C，eq \r(x)＝eq \r(y)⇒x＝y，C符合题意；对于D，令x＝－2，y＝－3，则x2<y2x<y，D不符合题意．故选BC.　 解析：Q＝{x||x|<6}＝{x|－6<x<6}，若P＝Q，则a＋4＝6，a＝2.若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，则PQ，则需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋4>－a－4，,a＋4<6))或a＋4≤－a－4，得a<2.　 四、解答题 11．指出下列命题中，p是q的什么条件． (1)p：x－y＝0，q：＝1； (2)p：三角形是锐角三角形，q：三角形的内角中有锐角； (3)p：m>n，q：>1； (4)p：a＝±2，q：直线y＝－2x＋a与两坐标轴围成的三角形的面积等于1. 解：(1)若x＝y＝0，则x－y＝0成立，eq \f(x,y)＝1不成立； 但当eq \f(x,y)＝1时，必有x＝y，即x－y＝0成立． 故p是q的必要条件但不是充分条件． (2)若三角形是锐角三角形，则其内角都是锐角；但当三角形的内角中有锐角时，该三角形不一定是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形． 故p是q的充分条件但不是必要条件．　 (3)若m＝2，n＝－2，显然有m>n，但eq \f(m,n)＝－1<1； 若m＝－4，n＝－2，则有eq \f(m,n)＝2>1，但m<n， 即p不能推出q，q也不能推出p. 故p是q的既不充分也不必要条件． (4)若直线y＝－2x＋a与两坐标轴围成的三角形的面积等于1， 则eq \f(1,2)·|a|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1，解得a＝±2. 故p是q的充分条件也是必要条件． 解：依题意a>0.由p：x<1－a或x>1＋a， 可设M＝{x|x<1－a，或x>1＋a}， 由q：x<eq \f(1,2)或x>1，可设N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，或x>1)))). 要使p是q的充分条件但不是必要条件，则MN，应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a>1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a<\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq \f(1,2). 令a＝1，则M＝{x|x<0，或x>2}N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，或x>1))))， 即p⇒q，且qp.所以满足条件的最小正整数a＝1.　 12．已知p：x<1－a或x>1＋a和q：x<eq \f(1,2)或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a. 13．[多选]已知集合A，B为实数集R的非空子集，则AB的必要不充分条件可以是(　　) A．A∩B＝A B．A∩(∁RB)＝∅ C．(∁RB)(∁RA) D．B∪(∁RA)＝R 解析：A∩B＝A⇒A⊆BAB，而AB⇒A∩B＝A，故A符合题意；A∩(∁RB)＝∅⇒A⊆BAB，而AB⇒A∩(∁RB)＝∅，故B符合题意；(∁RB)(∁RA)⇒AB，故C不符合题意；B∪(∁RA)＝R⇒A⊆BAB，而AB⇒B∪(∁RA)＝R，故D符合题意．故选ABD. $$