1.1 第2课时 集合的表示-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第2课时　集合的表示 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　用列举法表示集合 1．用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)方程x2＝3x＋10的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合． 解 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 4 知识点二　用描述法表示集合 2．用描述法表示下列集合： (1)不等式x－2≥3的解组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 解 解：(1)解x－2≥3得x≥5，所以所求集合可表示为{x|x≥5}． (2)被5除余3的正整数组成的集合可表示为{x∈N*|x＝5n＋3，n∈N}． (3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合可表示为{y|y＝x2＋2x－10}． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 5 3．用描述法表示图中阴影部分(含边界)内的点构成的集合． 解 解：用描述法表示为{(x，y)|－2≤x≤3，－1≤y≤2，且xy≤0}． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 7 解析：由x3＝x，即x(x－1)(x＋1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确；集合表示中的符号“{　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集的正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确；集合{x|x＝2m＋1，m∈Z}表示所有奇数构成的集合，集合{x|x＝2m－1，m∈Z}也表示所有奇数构成的集合，故③正确． 5．给出下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③集合{x|x＝2m＋1，m∈Z}与{x|x＝2m－1，m∈Z}相等． 其中正确说法的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 8 6．已知集合A＝{x|x<5且x∈N*}，B＝{(a，b)|a＋b2＝1，b∈A}，用列举法表示集合B＝___________________________________________． 答案 解析 解析：∵x∈N*，且x<5，∴x＝1，2，3，4，∴A＝{1，2，3，4}．又a＋b2＝1，且b∈A，∴当b＝1时，a＝0；当b＝2时，a＝－3；当b＝3时，a＝－8；当b＝4时，a＝－15.∴B＝{(0，1)，(－3，2)，(－8，3)，(－15，4)}． {(0，1)，(－3，2)，(－8，3)，(－15，4)} 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 9 7．已知集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}，若A中只有一个元素，求k的值． 解 解：集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．应根据k是否为0分两种情况进行讨论：①k＝0，此时A＝{－1}，符合题意；②k≠0，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以k＝0或k＝1. 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 10 40分钟综合练 一、单项选择题 1．(2024·黑龙江月考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} B．{2} C．{1，3} D．{1，2，3} 答案 解析 解析：因为集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，所以M＝{1}．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 13 3．下列各组集合中，表示同一个集合的是(　　) A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{3，2}，N＝{2，3} C．M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{y|y＝x2} D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)} 答案 解析 解析：由于集合中的元素具有无序性，故{3，2}＝{2，3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 14 4．若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 解析 解析：由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a＝0}＝{2}，则其所有元素之和为2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 17 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 18 7．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A．x1x2∈A B．x2x3∈B C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A 答案 解析 解析：由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 19 三、填空题 8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a为________． 答案 解析 (2，5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 20 9．若集合A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝___________． 答案 解析 解析：当t＝－2，2，3，4时，x＝4，4，9，16，故集合B＝{4，9，16}． {4，9，16} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 21 答案 ①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 22 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 23 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 24 12．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 25 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 26 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 27 14．(2024·上海闵行高一期中)对于任意两个正整数m，n，定义运算“*”：当m，n都是偶数或奇数时，m*n＝m＋n；当m，n中一个为偶数、另一个为奇数时，m*n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a*b＝16}中的元素个数是___． 答案 解析 解析：当a，b都是偶数或奇数时，1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16；当a，b一奇一偶时，1×16＝16.集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有8×2＋1＝17个． 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 28 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 29 　　　　　　　　　　　　　 R 解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15， 所以所求集合可表示为{1，3，5，15}． (2)方程x2＝3x＋10的解是x＝－2或x＝5，所以所求集合可表示为{－2，5}． (3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即两直线的交点为(1，1)， 所以所求集合可表示为{(1，1)}． 解析：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝5，,x－y＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))∵方程组的解是有序实数对，∴其解集用集合表示应该是点集．故选ABD. 知识点三　集合表示法的综合应用 4．[多选]方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝5，,x－y＝1))的解集可以表示为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝5，,x－y＝1)))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1)))))) C．{2，1} D．{(2，1)} 解析：先求出方程组的解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2，1)．故选C. 2．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))的解组成的集合是(　　) A．{2，1} B．(2，1) C．{(2，1)} D．{－1，2} 解析：∵3＝eq \f(3,1)，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n，则分子为2n＋1，且n∈N*，∴集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N*)))).故选D. 5．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2)，\f(7,3)，\f(9,4)，…))可表示为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,2n)，n∈N*)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋3,n)，n∈N*)))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n－1,n)，n∈N*)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N*)))) 二、多项选择题 6．(2024·重庆云阳高一月考)下列集合中，与集合{－1，1}表示同一个集合的是(　　) A．{x||x|＝1} B．{x|x2＝1} C．{(x，y)|x＝－1，y＝1} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,x)，y∈Z)))) 解析：对于A，{x||x|＝1}＝{－1，1}，故A符合题意；对于B，{x|x2＝1}＝{－1，1}，故B符合题意；对于C，{(x，y)|x＝－1，y＝1}＝{(－1，1)}≠{－1，1}，故C不符合题意；对于D，只有当x＝1和x＝－1时，y＝－eq \f(1,x)∈Z，故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,x)，y∈Z))))＝{－1，1}，故D符合题意．故选ABD. 解析：由题知，a∈A，a∈B，所以a是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝x＋3))的解，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5，))即a为(2，5)． 解析：对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x，y)，所以①正确；对于②，方程eq \r(x－2)＋|y＋2|＝0的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))解集为{(2，－2)}或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2))))))，所以②不正确；对于③，因为集合{y|y＝x2－1，x∈R}等于集合{y|y≥－1}，集合{y|y＝x－1，x∈R}等于R，故这两个集合不相等，所以③正确． 解：由eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))可得a≠0，a≠1， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝a＋b，,1＝a2，,\f(b,a)＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝a2，,1＝a＋b，,\f(b,a)＝0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0，)) 所以a2024＋(b－1)2024＝2×(－1)2024＝2. 四、解答题 11．(2024·亳州高一月考)含有三个实数的集合可表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，也可表示为{a2，a＋b，0}，求a2024＋(b－1)2024的值． 解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－(a＋1)x＋b＝0. 因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1. 由根与系数的关系得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋1＝a＋1，,－3×1＝b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－3，))所以y＝x2＋3x－3. 将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x－3＝0， 解得x＝－3±2eq \r(3)， 所以B＝{－3－2eq \r(3)，－3＋2eq \r(3)}． 13．[多选](2024·江苏苏州高一月考)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)∈Z，－9≤m≤9))))，则满足A中有8个元素的m的值可能为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：当m＝6时，满足x∈Z，eq \f(m,x)∈Z的x有6，3，2，1，－1，－2，－3，－6，即集合A中有8个元素，故A符合题意；当m＝7时，满足x∈Z，eq \f(m,x)∈Z的x有7，1，－1，－7，即集合A中有4个元素，故B不符合题意；当m＝8时，满足x∈Z，eq \f(m,x)∈Z的x有8，4，2，1，－1，－2，－4，－8，即集合A中有8个元素，故C符合题意；当m＝9时，满足x∈Z，eq \f(m,x)∈Z的x有9，3，1，－1，－3，－9，即集合A中有6个元素，故D不符合题意．故选AC. 15．(2024·江苏高一月考)若x1，x2∈M＝{x|x＝a＋beq \r(2)，a，b∈Z}，证明：x1x2∈M，x1＋x2∈M. 证明：因为x1，x2∈M，所以存在a1，b1，a2，b2∈Z， 使得x1＝a1＋eq \r(2)b1，x2＝a2＋eq \r(2)b2， 则x1x2＝a1a2＋2b1b2＋eq \r(2)(a1b2＋a2b1)，x1＋x2＝a1＋a2＋eq \r(2)(b1＋b2)， 因为M＝{x|x＝a＋eq \r(2)b，a，b∈Z}， 所以x1x2∈M，x1＋x2∈M. $$