精品解析：上海市建平中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

上海市建平中学2023-2024学年高三上开学考数学试卷 2023.09 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用并集的定义直接求解 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 2. 已知复数（i为虚数单位），则______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简复数z，再利用模的公式求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 3. 设集合，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用集合集合的交、补运算求目标集合. 【详解】由题设，或，又， 所以. 故答案为： 4. 若，则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】由已知，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 5. 已知（i为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由的计算规律，可得， 所以. 故答案为： 6. 若“”是“”的必要条件，则a的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解，结合必要条件可得. 【详解】由可得或, 又“”是“”的必要条件，所以，故a的最大值为， 故答案为： 7. 不等式的解集为，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得：方程的根为，且，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：方程的根为，且， 则，解得， 所以. 故答案为：. 8. 已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式列式求解即可. 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 9. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为： 10. 设，若，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】分，两种情况讨论，结合可得答案. 【详解】当时，，符合题意； 当时，则，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知常数，集合，，若，则t的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据，得到，结合，得到，变形得到，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不等关系，求出答案. 【详解】设，则，解得， 因为，所以，即， 化简得到，其中， 整理得， 所以集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部， 而集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 因为，所以，故两圆内含或内切， 故圆心距小于等于半径之差，即，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】以复数为载体，考查核心内容为轨迹问题，数形结合进行求解，这是复数的模长相关题目的基本思路和方法. 12. 已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 将已知整理为，令2，得，即可将所求最值的关于xy的表达式转化为mn的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值. 【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即 令2，所以 所以x2+y2+x+4y 由均值不等式，当且仅当取等号 所以x2+y2+x+4y的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题. 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分） 13. “”是“且”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，例如，满足， 但不满足且，即充分性不成立； 若且，则，即必要性成立； 综上所述：“”是“且”的必要非充分条件. 故选：B. 14. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可知，联立方程求交点坐标即可. 【详解】由题意可知：， 联立方程，解得或（舍去）， 所以. 故选：D. 15. 已知常数，不等式的解集为M．不等式的解集为N，则下列关系式中不可能成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角不等式，结合不等式解集的意义逐项判断作答. 【详解】由三角不等式得：，当且仅当时取等号， 而不等式的解集为N，若，则有， 当时，对，即有， 因此成立，即，则， 于是得，显然A，C，D均有可能，B不可能. 故选：B 16. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于任一自变量x有唯一的y与之相对应，对x取特殊值，通过举反例排除即可． 【详解】A：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； B：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； C：令，当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； D：令，此时，即，符合题设． 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知集合，. （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求集合，再结合集合的运算求解； （2）根据题意分析可知，根据包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 由题意，集合，， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 若，则，可得，解得：. 故得实数a的取值的集合为. 18. 已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）6；（2）或． 【解析】 【分析】（1）将已知的根代入原方程，从而可求实数的值． （2）就的取值范围分类计算，从而可求实数的值． 【详解】解： （1）∵为方程的根，所以， 整理得到：，由可得. （2）由方程可得， 若即或，则， 则，即，解得， 若即，则，即，解得， 综上所述，实数的值为或． 19. 企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，技术人员的年人均投入为（其中）万元，研发人员的年人均投入增加. （1）要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少? （2）若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且对任意一种研发部人员的分类方式，需要同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），； （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入列不等式求解； （2）先根据条件①列不等式求出m的最小值，根据条件②列不等式求出m的最大值，通过m的最值可得答案. 【小问1详解】 依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元，则有， 解得. 因为，且，所以. 所以优化调整后的技术人员人数的范围是. 【小问2详解】 由题意知，现在研发部共有81人 假设存在正实数m同时满足题设中的条件①②，那么， 由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有， 解得（且）， 因为且，所以当时，， 所以； 由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有（且）. 即， 所以（且）. 由， 当且仅当，即时等号成立， 即， 所以. 综上所述，显然不存在正实数m同时满足题设条件（1）和（2）. 20. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，当，即时，，不合题意；  当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. 【小问3详解】 ，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 21. 已知集合中的n个元素都是正整数（，），且.若对任意的，且，都有，则称集合A具有性质M. （1）判断集合是否具有性质M，并说明理由； （2）已知集合A具有性质M，求证：； （3）已知集合A具有性质M，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1）具有性质P，理由见解析 （2）证明见解析 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解； （2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解； （3）利用所给性质先放缩法确定确定，再同理可得，假设 可推出矛盾，当时，利用基本不等式证明成立，即可得出n的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以集合具有性质P. 【小问2详解】 由题意可得：， 且，则， 可得：，， 则，即. 【小问3详解】 由（2）可得：，且， 可得，因此， 同理，可得， 又因为，可得，即，也均成立 当时，取，则，可知； 当时，； 所以. 因此集合A中元素个数的最大值为9. 【点睛】关键点点睛：根据，利用放缩法变为，先取，判断出，再分，时，与25 的大小即可， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市建平中学2023-2024学年高三上开学考数学试卷 2023.09 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则______. 2. 已知复数（i为虚数单位），则______ 3. 设集合，，则___________． 4. 若，则的最小值为_______________. 5. 已知（i为虚数单位），则______. 6. 若“”是“”的必要条件，则a的最大值为__________． 7. 不等式的解集为，则的值是_____． 8. 已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是_________. 9. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 10. 设，若，则a的取值范围为________． 11. 已知常数，集合，，若，则t的取值范围是____________. 12. 已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是_______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分） 13. “”是“且”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知常数，不等式的解集为M．不等式的解集为N，则下列关系式中不可能成立的是（ ）． A. B. C. D. 16. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知集合，. （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围. 18. 已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 19. 企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，技术人员的年人均投入为（其中）万元，研发人员的年人均投入增加. （1）要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少? （2）若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且对任意一种研发部人员的分类方式，需要同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 21. 已知集合中的n个元素都是正整数（，），且.若对任意的，且，都有，则称集合A具有性质M. （1）判断集合是否具有性质M，并说明理由； （2）已知集合A具有性质M，求证：； （3）已知集合A具有性质M，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $