精品解析：山东省淄博市第五中学2023届高三下学期寒假开学收心考试数学试题

高三下学期开学收心考试数学试题 第I卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合，且， 所以， 所以实数a的取值范围为， 故选：D. 2. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限． 故选B． 考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】结合平面向量共线，利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式求得，再利用二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】解：由，得， ∴. 故选：C. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据时，的符号可排除D，根据时，函数的函数值可排除C，即可得解. 【详解】解：因为，所以，所以函数为奇函数，排除A； 时，恒成立，排除D； 当时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知，排除C； 故选：B. 6. 若随机变量X满足正态分布，则有，.现有20000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布，则可估计本次测试数学成绩120分以上的学生人数约为（ ） A. 1587 B. 228 C. 455 D. 3174 【答案】C 【解析】 【分析】由于成绩大致服从正态分布，可知，，由正态分布的性质可求出数学成绩120分以上的概率，从而可求出答案 【详解】依据题意可知，，由于， 所以. 因此本次考试120分以上的学生约有人. 故选：C 7. 东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与人文景观为一体的新型公园．现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里河塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件：甲和乙至少一人选择映翠湖，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出事件A，事件B对应基本事件的个数，再结合条件概率公式即可解得. 【详解】甲和乙至少一人选择映翠湖对应的基本事件有个， ∵甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有个， ∴． 故选：C. 8. 已知等比数列的各项均为正数，公比为q，，，记的前n项积为，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论． 【详解】解：等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合 由题意得，，，故A、B正确． ，， ，故C正确， ，故D错误， 满足的最大正整数的值为12． 故选：． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数 C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的一个对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题中所给的函数解析式，利用正弦型函数的性质，确定出函数的周期，得到A项正确，根据平移变换的原则，求得移动之后的函数解析式，确定其不是奇函数，得到B项错误；求得点对应的函数值，确定其为对称中心的坐标，能够判断C项和D项的正误. 【详解】，∴，A正确； 将的图象右移个单位后， 得函数的图像， 不满足，所以不是奇函数，B错误； 因为，所以不是函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中线面的位置关系，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：若，，则，，则，故A正确； 对于B：若，，，则，故B正确； 对于C：若，，，则m与n可异面，可平行，故C错误； 对于D：由面面垂直的性质定理可得，D正确. 故选：ABD 11. 下列不等关系中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，当时，可得，对于B，当时进行判断，对于C，利用对数函数的性质进行判断，对于D，利用指数函数的性质进行判断即可 【详解】对于A：若，，则有，不正确： 对于B：若，则，不正确； 对于：因为，，，所以，正确； 对于D：，，所以，正确. 故选：CD 12. 已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的离心率 C. 点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则 D. 直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误. 【详解】解：由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则， 所以双曲线的实轴长为，故A错误； ，所以，故B正确； 设，则，，故C正确； 设、，则，两式作差得， 所以，，D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则，则， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理以及基本不等式可求得答案. 【详解】解：由余弦定理得，又，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以的最小值是， 故答案为：. 15. 已知点P在抛物线上，点F为该抛物线的焦点，又已知点A的坐标为，则周长的最小值为__________. 【答案】13 【解析】 【分析】由抛物线可知焦点，准线方程为，所以等于到准线的距离，因此的最小值为点到直线的距离,进而求得周长最值. 【详解】因为A在抛物线内部，抛物线的焦点，抛物线的准线方程为， 的周长为，， ∴当过A作准线的垂线交抛物线于点P时，最小，此时，周长的最小值为. 故答案为：13 16. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同.南粤流行的“五角粽子”（又称“塔粽”），其形状可以看成所有棱长均相等的正四棱锥.现制作一个棱长均为的五角粽子，需要在该粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的体积与粽子体积的比值为__________. 【答案】(结果可以写成) 【解析】 【分析】根据球的体积要达到最大，则球与正四棱锥五个面都相切，然后利用等体积法求得球的半径即可. 【详解】球的体积要达到最大，则需要球与正四棱锥五个面都相切， 正四棱锥的高为， 设球的半径为r， 所以四棱锥的体积， 解得， 则. 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答. 已知点在内，，若___________，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 【解析】 【分析】选择①，根据可得，再根据余弦定理得，求出，即可求得角，再根据三角形的面积公式即可得解. 选择②，根据可得，从而可得，再根据余弦定理得，求出，即可求得角，再根据三角形的面积公式即可得解. 选择③，根据可求得，再利用余弦定理求得，再利用余弦定理可求的角 ，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：选择①， 因为点在内，，， 所以，所以， 由余弦定理得， 即，解得， 又，所以， 所以. 选择②， 因为，所以， 所以， 又因为点在内，， 所以，所以， 由余弦定理得， 即，解得， 又，所以， 所以. 选择③， 因为，所以， 在中 ，， 在中，， 又，所以， 所以. 18. 已知数列的通项公式为，数列的首项为. （1）若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列； （2）若是公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义和通项公式可求得答案； （2）由等比数列的通项公式求得，再由可解得，根据分组求和法，以及等比数列的求和公式可求得答案. 【小问1详解】 解：因为数列的首项为，是公差为3的等差数列，所以， 所以， 所以，所以数列是以6为公差的等差数列； 【小问2详解】 解：因为是公比为2的等比数列，又数列的首项为，，所以， 所以， 又因为，所以，所以，解得， 所以 ， 所以数列的前项和为. 19. 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式.上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝，上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式. （1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列； （2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式—全概率公式.其特殊情况如下：如果事件，相互对立并且，则对任一事件B有.设表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率. ①用表示； ②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由. 【答案】（1）分布列答案见解析；（2）①；②王先生积极响应该市政府的号召，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，先算出和 再根据得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同分析即可； （2）设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知 ，带入相关量即可求出递推关系式，再通过构造法求出通项公式，再说明即可. 【详解】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，则， ，， 由已知随机变量X的可能取值为1，2，3； ； ； . 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P （2）①设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知. 所以. ②由①知，， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，. 因为恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召. 【点睛】本题是概率和数列的一道综合试题，需要根据全概率公式构建递推关系，从而求出第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式的概率. 20. 如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，､，，，PC与AD相交于O，现沿着AD折成四棱锥（如图2）. （1）当四棱锥的体积最大时，求点B到平面PCD的距离； （2）在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间距离公式进行求解即可； （2）利用空间夹角公式进行求解即可. 小问1详解】 在图1中，在中，，，∴. 易知四边形ABCO为正方形，∴，即O为AD的中点， 在图2中，当四棱锥的体积最大时， 侧面底面ABCD，此时平面ABCD， 以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，， ∴，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则 取，得. 则B点到平面PCD的距离. 【小问2详解】 假设存在，且设. ∵，∴，∴， ∴. 设平面CAQ的一个法向量为，又，， 则 取，得. 又易知平面CAD的一个法向量为， ∵二面角的余弦值为， ∴， 整理化简，得，解得或（舍去）. ∴线段PD上存在满足题意的点Q，且. 21. 已知平面上动点P到点F（1，0）距离比点P到y轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲线C，若点A（1，n）（n＞0），点B在曲线C上，且满足（O为坐标原点）． （1）求曲线C的方程及点B坐标； （2）过点B引圆（x﹣4）2+y2＝r2（0＜r＜2）的两条切线BP，BQ，切线BP、BQ与抛物线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点的纵坐标记为t，求t的取值范围． 【答案】（1）y2＝4x，B（2，2）；（2）（﹣6，﹣4）． 【解析】 【分析】（1）设P（x，y），根据题意可得＝|x|+1，化简即得曲线C的方程，设B（，y0），解方程组即得点B的坐标； （2）设切线BP的方程为y＝k1（x﹣2）+2，切线BQ的方程为y＝k2（x﹣2）+2，所以k1+k2＝，k1k2＝，再求出t＝＝﹣2﹣，即得解. 【详解】解：（1）设P（x，y）， 根据题意可得＝|x|+1， 化简得y2＝2|x|+2x， 当x＜0时，y＝0，不合题意， 当x≥0时，y2＝4x， 所以曲线C的方程为y2＝4x， 设B（，y0）， 因为， 所以（﹣1，0）+（﹣1，y0）＝2（0，n）， 所以， 解得y02＝8， 因为n＞0， 所以＝＝2， 所以曲线C的方程为y2＝4x，B（2，2）． （2）由（1）可知B（2，2）， 设切线BP的方程为y＝k1（x﹣2）+2， 则圆心（4，0）到切线AP的距离d＝＝r， 所以（4﹣r2）k12+8k1+8﹣r2＝0， 设切线BQ的方程为y＝k2（x﹣2）+2， 同理可得（4﹣r2）k22+8k2+8﹣r2＝0， 所以k1，k2是方程（4﹣r2）k2+8k+8﹣r2＝0的两根， 所以k1+k2＝，k1k2＝， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，得k1y2﹣4y﹣8k1+8＝0， 所以2y1＝， 所以y1＝﹣2， 同理y2＝﹣2， 所以t＝＝ ＝﹣2+2• ＝﹣2+2• ＝﹣2+2• ＝﹣2﹣， 因为0＜r＜2， 所以﹣2﹣∈（﹣6，﹣4）． 所以t的取值范围为（﹣6，﹣4）． 【点睛】方法点睛：求取值范围常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）基本不等式法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 22. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）若时，求的单调区间； （2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）写出时函数表达式，运用导数与函数单调性的知识进行求解即可； （2）将存在性问题转化为最值问题，原题即求对任意成立的的取值范围，分类讨论的范围即可求解. 【小问1详解】 若时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意可知，即求成立的的取值范围， 因为，，所以， 所以（当且仅当时取等号）， 即，即求对任意成立的的取值范围， 当时，，此时在上单调递增， 且有，不满足； 当时，易知，显然成立； 当时，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】此类题目需要综合运用导数与函数之间的关系求解，对于任意或存在性问题需要转化为最值问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三下学期开学收心考试数学试题 第I卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若随机变量X满足正态分布，则有，.现有20000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布，则可估计本次测试数学成绩120分以上的学生人数约为（ ） A. 1587 B. 228 C. 455 D. 3174 7. 东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与人文景观为一体的新型公园．现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里河塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件：甲和乙至少一人选择映翠湖，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的各项均为正数，公比为q，，，记的前n项积为，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数 C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的一个对称中心 10. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 11. 下列不等关系中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 12. 已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线实轴长为 B. 双曲线的离心率 C. 点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则 D. 直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________. 14. 在中，角对边分别为.若，则的最小值是___________. 15. 已知点P在抛物线上，点F为该抛物线的焦点，又已知点A的坐标为，则周长的最小值为__________. 16. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同.南粤流行的“五角粽子”（又称“塔粽”），其形状可以看成所有棱长均相等的正四棱锥.现制作一个棱长均为的五角粽子，需要在该粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的体积与粽子体积的比值为__________. 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 已知点在内，，若___________，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知数列的通项公式为，数列的首项为. （1）若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列； （2）若是公比为2的等比数列，求数列的前项和. 19. 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式.上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝，上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式. （1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列； （2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式—全概率公式.其特殊情况如下：如果事件，相互对立并且，则对任一事件B有.设表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率. ①用表示； ②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由. 20. 如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，､，，，PC与AD相交于O，现沿着AD折成四棱锥（如图2）. （1）当四棱锥的体积最大时，求点B到平面PCD的距离； （2）在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知平面上动点P到点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲线C，若点A（1，n）（n＞0），点B在曲线C上，且满足（O为坐标原点）． （1）求曲线C方程及点B坐标； （2）过点B引圆（x﹣4）2+y2＝r2（0＜r＜2）的两条切线BP，BQ，切线BP、BQ与抛物线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点的纵坐标记为t，求t的取值范围． 22. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）若时，求的单调区间； （2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$