精品解析：湖北省孝感市汉川市部分学校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2024年秋季八年级数学训练题（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2、3、5 B. 3、4、5 C. 2、2、5 D. 3、4、8 2. 下列各图中，正确画出边上的高的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）． A. 6 B. 10 C. 8 D. 12 5. 在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2.5 D. 1.25 7. 如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. 是的边上的中线 C. 是的边上的高 D. 是的角平分线 8. 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（　　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 9. 如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过路程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A. 42° B. 46° C. 52° D. 56° 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 木工师傅在做好门框后，为了防止变形，常常按如图所示的方法钉上两根斜拉的木板条，其数学依据是三角形具有________. 12. 过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形的边数是_________． 13. 形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为______． 14. 如图，一个直角三角形纸板的直角边分别经过正八边形的两个顶点，则图中____ 15. 在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为__________ 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数． 17. 已知，三边长为4，10，x． （1）求x的取值范围. （2）当的周长为偶数时，求x． 18. 如图，在中，．的高与的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式．） 19. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD＝∠A，求∠BEA的度数． 20. 已知是三边长． （1）若满足，，试判断的形状； （2）化简： 21. （1）如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和. 即：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小. （2）如图2，若五角星的五个顶角的度数相等， 求∠1的大小. 22. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明． 23. 数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． （1）补全上面步骤； （2）仿照图1方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 24. 如图①，在 中，与的平分线相交于点P． （1）如果，求的度数； （2）如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． （3）如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季八年级数学训练题（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2、3、5 B. 3、4、5 C. 2、2、5 D. 3、4、8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是2，3，5的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是3，4，5的线段能组成三角形，故B符合题意； C、，长度是2，2，5的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是3，4，8的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列各图中，正确画出边上的高的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键．根据“点到直线的距离即为边上的高”，即可求解． 【详解】解：边上的高为点到直线的距离，即， 故选：D． 3. 如图，在中，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据进行计算即可得出答案，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 故选：B． 4. 正多边形一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）． A. 6 B. 10 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据正多边形的外角和性质计算，即可得到答案． 【详解】∵正多边形的一个外角的度数为30° 又∵正多边形的外角和为： ∴正多边形的边数为： 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形外角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解． 5. 在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并求出最大的角是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出各选项中的最大的角的度数，即可判断． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是直角三角形，选项A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是等边三角形，选项C符合题意； D、∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，选项D不符合题意． 故选：C． 6. 如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2.5 D. 1.25 【答案】C 【解析】 【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：∵AM是△ABC的中线， ∴ ==5， ∴点M到AC的距离为：÷4=2.5， 根据垂线段最短， 则MP的最小值2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键． 7. 如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. 是的边上的中线 C. 是的边上的高 D. 是的角平分线 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键． 【详解】解：A、根据三角形的角平分线的概念，∵，∴是的角平分线，是的角平分线，故原说法不正确； B、根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故原说法不正确； C、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故原说法正确； D、根据三角形的角平分线和高的概念，知是的高线，故原说法不正确． 故选：C． 8. 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（　　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得出∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，根据三角形的外角性质得出∠A＝∠ACM﹣∠ABC，∠P＝∠PCM﹣∠CBP，再代入求出∠A和∠P即可． 【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝60°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝120°﹣40°＝80°，∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝60°﹣20°＝40°， ∴∠A﹣∠P＝80°﹣40°＝40°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形的外角性质定理—三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解题的关键是找准三角形的外角，灵活运用三角形的外角性质定理． 9. 如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出机器人走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，机器人走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，进而即可求解． 【详解】解：∵机器人每次都是前进再逆时针旋转， ∴机器人走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴机器人第1次回到出发点时，一共走了， 故选：C． 10. 如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A 42° B. 46° C. 52° D. 56° 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠得出∠D=∠B=28°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，求出∠1=∠B+∠2+∠D即可． 详解】解：如图， ∵∠B=28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置， ∴∠D=∠B=28°， ∵∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D， ∴∠1=∠B+∠2+∠D， ∴∠1-∠2=∠B+∠D=28°+28°=56°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 木工师傅在做好门框后，为了防止变形，常常按如图所示的方法钉上两根斜拉的木板条，其数学依据是三角形具有________. 【答案】稳定性 【解析】 【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性． 【详解】结合图形，为了防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做是根据了三角形具有稳定性的数学道理． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在生活中的实际应用的问题，同时我们还要记得四边形具有不稳定性． 12. 过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形的边数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据从边形的一个顶点可以作对角线的条数为，求出边数即可得解． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线， ∴， 解得． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 13. 形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解． 【详解】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 14. 如图，一个直角三角形纸板的直角边分别经过正八边形的两个顶点，则图中____ 【答案】180º 【解析】 【分析】利用∠C=，求得∠3+∠4=，利用公式求出正八边形的每个内角的度数=，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵∠C=， ∴∠3+∠4=， ∵正八边形的每个内角的度数=， ∴∠1+∠2==， 故答案为：． 【点睛】此题考查直角三角形两锐角互余的性质，正多边形内角和公式，熟记正多边形内角和公式是解题的关键． 15. 在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为__________ 【答案】7或11 【解析】 【分析】分两种情况讨论，列出方程即可解决问题． 【详解】①当15是腰长与腰长一半时，， 解得， ∴底边长； 三边长为：10，10，7； ②当12是腰长与腰长一半时，， 解得， ∴底边长， 三边长为：8，8，11； 经验证，这两种情况都是成立的． ∴这个三角形的底边长等于7或11． 故答案为：7或11． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验是否符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n，根据内角和公式建立关于n的方程，解之即可． 【详解】解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°， ∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°， 设这个多边形的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝1080°， 解得n＝8， 答：该多边形的边数为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°、多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）． 17. 已知，的三边长为4，10，x． （1）求x取值范围. （2）当的周长为偶数时，求x． 【答案】（1）； （2）8或10或12． 【解析】 【分析】（1）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边计算确定． （2）根据偶数偶数=偶数，判定x为偶数，结合取值范围确定整数解即可． 【小问1详解】 解：∵的三边长为4，10，x． ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵的周长为偶数，是偶数， ∴x是偶数， ∵， ∴x的值可以是8或10或12． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，自然数的奇偶性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 18. 如图，在中，．的高与的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式．） 【答案】 【解析】 【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴ 所以与的比是． 【点睛】本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD＝∠A，求∠BEA的度数． 【答案】∠BEA度数是135°． 【解析】 【分析】设∠A＝x，则∠BCD＝x，在Rt△ACD中∠ADC＝90°-x，∠ADC是△BCD的一个外角，故可将∠CBD的度数表示出来，再根据BE平分∠ABC，得出∠CBE的度数，在△BCE中，∠BEA是△BCE的一个外角，求出∠BEA的度数即可． 【详解】解：设∠A＝x，则∠BCD＝x， ∵CD⊥AC， ∴∠ADC＝90°-x，又BE平分∠ABC， ∴∠CBE （∠ADC-∠BCD）＝， ∴∠BEA＝∠ECB +∠CBE＝90°+x+45°-x＝135°． 答：∠BEA的度数是135°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角以及角平分线的性质．三角形的内角和是180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．熟练地掌握三角形内角和与外角的相关内容是解题的关键． 20. 已知是的三边长． （1）若满足，，试判断的形状； （2）化简： 【答案】（1）是等边三角形；（2） 【解析】 【分析】（1）由性质可得a=b，b=c，故为等边三角形． （2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可． 【详解】（1）∵ ∴且 ∴ ∴是等边三角形． （2）∵是的三边长 ∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0 原式= = = 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键． 21. （1）如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和. 即：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小. （2）如图2，若五角星的五个顶角的度数相等， 求∠1的大小. 【答案】（1）180°；（2）108º 【解析】 【分析】（1）如图，把五个角和转化为同一个三角形内角和．利用三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，把五个角和转化为△AMN的内角和．即可. （2）由（1）结论可得五角星的每一个角等于36°，进而由三角形内角和求出∠1的度数． 【详解】解：（1）如图， ，， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+=180°. （2）如图2， ∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=36°， ∴∠1=∠BND=180°-∠B-∠D=108° 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，利用了转化思想求解，（1）是把五个角转化在一个三角形中求解是解题关键. 22. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明． 【答案】（1）∠E＝25°；（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）． 【解析】 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝35°， ∴∠ADC＝65°， ∴∠E＝25°； （2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）． 设∠B=n°，∠ACB=m°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2=∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°， ∵∠B=n°，∠ACB=m°， ∴∠CAB=（180-n-m）°， ∴∠BAD=（180-n-m）°， ∴∠3=∠B+∠1=n°+（180-n-m）°=90°+n°-m°， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE=90°， ∴∠E=90°-（90°+n°-m°）=（m-n）°=（∠ACB-∠B）． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解题关键． 23. 数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． （1）补全上面步骤； （2）仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 【答案】（1），， ， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系； （1）根据三角形三边关系进行解答即可； （2）利用三角形三边关系进行证明即可． 解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边． 【小问1详解】 解：由三角形的两边之和大于第三边，得，， 将不等式两边相加得：， 即； 故答案为：；；；． 【小问2详解】 解：在中，， 在中， 在中，， 将三个不等式相加得：， 即． 24. 如图①，在 中，与的平分线相交于点P． （1）如果，求的度数； （2）如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． （3）如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）的度数是或或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可． 【小问1详解】 ， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； 【小问2详解】 ，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； 【小问3详解】 延长得射线， 为的外角的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， 即， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，； ④，则，， 综合上述，的度数是或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$